人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示优质ppt课件

课题名

3.1.2 第1课时函数的表示法

教学目标

1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.

2.掌握求函数解析式的常见方法.

3.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.

教学重点

掌握求函数解析式的常见方法

教学难点

掌握求函数解析式的常见方法

教学准备

教师准备：幻灯片、黑板、投影

学生准备：笔、纸、课本

教学过程

一、 新课引入

某汽车行驶的速度是60千米/小时，行驶t(t∈[0,5])小时的路程为s.

   问题1：s关于t的表达式是什么？定义域是什么？

        提示：s＝60t，t∈[0,5]．

   问题2：还能用其他方法来表示该函数吗？

        提示：可用函数图像，表示如下：

二、讲授新课

函数的三种表示方法

注意：同一个函数可以用不同的方法表示．

小试牛刀

思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)任何一个函数都可以用列表法表示.(　　)

(2)任何一个函数都可以用图象法表示.(　　)

(3)函数的图象一定是其定义区间上的一条连续不断的曲线.(　　)

(4)函数f(x)＝2x＋1可以用列表法表示．(　　)

(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　

题型一 函数的表示法

点拨：(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)在实际操作中，仍以解析法为主．

例1 某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f(x)．

解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}．

用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}．

用列表法可将函数y＝f(x)表示为

用图象法可将函数y＝f(x)表示为如下图．

跟踪训练1

已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出

(1)f(g(3))＝__________；    (2)若g(f(x))＝2，则x＝__________.

解析(1)由表知g(3)＝1，∴f(g(3))＝f(1)＝2；

(2)由表知g(2)＝2，又g(f(x))＝2，得f(x)＝2，再由表知x＝1.

题型二　图象法表示函数

点拨：作函数图象的步骤及注意点

(1)作函数图象主要有三步：列表、描点、连线.作图象时应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图象.

(2)函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等等.

例2 作出下列函数的图象并求出其值域．

(1)y＝，x∈[2，＋∞)； (2)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．

解：(1)列表：

画图象，当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分(图1)，观察图象可知其值域为(0,1]．

(2)列表：

画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分(图2)．由图可得函数的值域是[－1,8]．

跟踪训练2

画出下列函数的图象：

(1)y＝x＋1(x≤0)；   (2)y＝x2－2x(x>1或x<－1).

解：(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1).

(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线.如图(2).

题型三  求函数解析式

点拨：(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．

(2)已知f(g(x))＝h(x)，求f(x)，常用的有两种方法：

①换元法，即令t＝g(x)，解出x，代入h(x)中，得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意：换元后新元的范围.

②配凑法，即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可.

(3)方程组法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．

例3-1 已知函数f(x)是一次函数，若f[f(x)]＝4x＋8，求f(x)的解析式．

解：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.又f[f(x)]＝4x＋8，∴a2x＋ab＋b＝4x＋8，

即解得或

∴f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8.

跟踪训练3

已知f(x)是二次函数且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，则函数f(x)的解析式为________.

解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1得c＝1，则f(x)＝ax2  ＋bx＋1，f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1]－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b＝2x.

故得解得a＝1，b＝－1，故得f(x)＝x2－x＋1.

例3-2 已知函数f(＋1)＝x＋2＋1，求f(x)的解析式。

解：配凑法：∵f(＋1)＝x＋2＋1＝(＋1)2，

∴f(x)＝x2.又＋1≥1，∴f(x)＝x2(x≥1)．

换元法：令t＝＋1，则x＝(t－1)2.由于x≥0，所以t≥1.

代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＋1＝t2，所以f(x)＝x2(x≥1)．

跟踪训练4

已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)．

解：配凑法：∵f(x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，∴f(x)＝x2－5x＋6.

换元法：令t＝x＋1，则x＝t－1，∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2 ＝t2－5t＋6，即f(x)＝x2－5x＋6.

例3-3 已知函数f(x)满足2f(x)＋f＝3x，求f(x)的解析式．

解：（1）∵2f(x)＋f＝3x，①∴将x用替换，得2f＋f(x)＝，②联立①②得解得f(x)＝2x－(x≠0)，即f(x)的解析式是f(x)＝2x－(x≠0)．

跟踪训练5

已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x).

解：∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，①∴将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.②∴由①②得3f(x)＝x2－6x，∴f(x)＝x2－2x.

三、课堂小结

1.函数的三种表示法

      列表法、图像法、解析式法

2.作函数图像的步骤

3.求函数解析式的四种方法

      待定系数法、换元法、配凑法、方程组法

四、达标检测 　

1.y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为(　　)

A．y＝        B．y＝－       C．y＝       D．y＝－

解析：设y＝，当x＝2时，y＝1，所以1＝，得k＝2.故y＝.

2.已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的表达式是(　　)

A.f(x)＝x2＋6x                B.f(x)＝x2＋8x＋7   

C.f(x)＝x2＋2x－3    D.f(x)＝x2＋6x－10

解析：法一　设t＝x－1，则x＝t＋1.∵f(x－1)＝x2＋4x－5

∴f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋ 6x；

法二　∵f(x－1)＝x2＋4x－5＝(x－1)2＋6(x－1)，∴f(x)＝x2＋6x，∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x.

3.一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则它的高y与x的函数关系为              .

解析：由梯形的面积公式有100＝·y，得y＝(x>0)．

4.已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2).

(1)画出f(x)图象的简图；

(2)根据图象写出f(x)的值域.

解：(1)f(x)图象的简图如图所示.

(2)由f(x)的图象可知，f(x)所有点的纵坐标的取值范围是[－1，3]，则f(x)的值域是[－1，3].

5.已知f(x)＝x＋b，f(ax＋1)＝3x＋2，求a，b的值．

解：由f(x)＝x＋b，得f(ax＋1)＝ax＋1＋b.

∴ax＋1＋b＝3x＋2，∴a＝3，b＋1＝2，即a＝3，b＝1.

6.(1) f＝－1，求f(x)的解析式。

(2)f(x)－2f(－x)＝9x＋2，求f(x)的解析式。

解：(1)f＝2－2，所以f(x)＝x2－2x.

因为≠0，所以＋1≠1，所以f(x)＝x2－2x(x≠1)．

(2)解 由条件知，f(－x)－2f(x)＝－9x＋2，则解得f(x)＝3x－2.

布置作业

完成对应课后练习

板书设计

1.函数的三种表示法

      列表法、图像法、解析式法

2.作函数图像的步骤

3.求函数解析式的四种方法

      待定系数法、换元法、配凑法、方程组法

教学反思

学生基本上能掌握本节课内容，不过学生在求函数解析式时会忘记标明函数的定义域。