湘教版初中数学八年级上册期中测试卷（困难）（含答案解析）

湘教版初中数学八年级上册期中测试卷

考试范围：第一.二.三章；考试时间：120分钟；总分120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知分式的值为整数，则满足条件的整数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2. 若关于的分式方程无解，则的值为(    )

A. 或 B. 或
C. 或或 D. 或

3. 若关于的分式方程无解，则的是(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

4. 随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘公交车上学所需的时间少用了分钟，现已知小林家距学校千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的倍，若设乘公交车平均每小时走千米，根据题意可列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知直线，将一副三角板按如图所示放置在两条平行线之间，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，已知直线，点，分别在直线，上，连结点是直线，之间的一个动点，作交直线于点，连结若，则下列选项中 不可能取到的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 给出下列个命题：对顶角相等；互补的两个角中一定是一个为锐角，另一个为钝角；同旁内角相等，两直线平行；同旁内角的两个角的平分线互相垂直．其中真命题的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：可以由绕点逆时针旋转得到；点与的距离为；；；其中正确的结论是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 计算：的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 下列各数中是无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 在数轴上，点表示，现将点沿数轴做如下移动，第一次点向左移动个单位长度到达点，第二次将点向右移动个单位到达点，第三次将点向左移动个单位到达点，第四次将点向右移动个单位长度到达点，按照这种规律下去，第次移动到点，如果点与原点的距离不少于，那么的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 若互为相反数，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 已知，，则          ．
14. 分式有意义的的取值范围是_______________
15. 如图所示，四边形中，于点，，，点为线段上的一个动点．过点分别作于点，作于点连接，在点运动过程中，的最小值等于______．

16. 一个数的算术平方根为，比这个数大的数是________．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    某中学为了创建书香校园，去年购买了一批图书．其中故事书的单价比文学书的单价多元，用元购买的故事书与用元购买的文学书数量相等．
    求去年购买的文学书和故事书的单价各是多少元？
    若今年文学书的单价比去年提高了，故事书的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买文学书和故事书共本，且购买文学书和故事书的总费用不超过元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？
18. 本小题分

一项工程，甲、乙两公司合作，天可以完成，共需付工费元如果甲、乙两公司单独完成此项公程，乙公司所用时间是甲公司的倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少元．

甲、乙公司单独完成此项工程，各需多少天

若由甲、乙两公司完成这项工程可以单独完成，也可以合作完成，若要使施工费较少，应该如何安排施工单位

19. 本小题分
    先化简再求值：，其中．
20. 本小题分
    小王开车从甲地到乙地，去时走线路，全程约千米，返回时走线路，全程约千米．小王开车去时的平均速度比返回时的平均速度快千米小时，所用时间却比返回时多分钟．若小王返回时的平均车速不低于千米小时，求小王开车返回时的平均速度．
21. 本小题分
    已知：，、分别是、的角平分线，是中点，则线段与线段有怎样的关系？请说明理由．

22. 本小题分
    我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是，和，因为，所以这个三角形是常态三角形．
    若三边长分别是，和，则此三角形______常态三角形填“是”或“不是”；
    若是常态三角形，求此三角形的三边长之比请写出求解过程并将三边按从小到大排列；
    如图，中，，，，若是常态三角形，求的面积．

23. 本小题分
    如图，在中，是边上的高，是的平分线．
    若，，求的度数；
    若，，求的度数用含、的式子表示．

24. 本小题分

阅读材料

解决问题

填空：的小数部分是________；

已知是的整数部分，是的小数部分，求代数式 的值；

已知：是的整数部分，是其小数部分，请直接写出的相反数．

25. 本小题分
    如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．
     

实数的值是_____．

求的值；

在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了分式的值是整数的条件，把原式化简为的形式是解决本题的关键．首先把分式转化为，则原式的值是整数，即可转化为讨论的整数值有几个的问题． 

【解答】

解：

因为分式的值是整数

所以或或或，满足条件的整数有个．

故选D．

2.【答案】 

【解析】解：当时，或，
原分式方程可化为：，
去分母，得，
整理得，
分式方程无解，
，
，
把或，分别代入，
得或，
综上所述：的值为或或，
故选：．
首先最简公分母为，求出增根，在把分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程，字母系数为，满足这两个条件求出的值．
本题考查分式方程的解和解分式方程，掌握在本题中分式方程无解满足的两个条件：一次项系数为，最简公分母为，是解决此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论得出答案是解题关键．
直接利用分式方程的解法以及分式方程无解的意义分析得出答案．
【解答】
解：去分母得：，
则，
故，
当时，
解得：，
此时无解；
当时，
则或，
解得：或无解，
综上所述：或．
故选：．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了分式方程的应用，解题关键是理解题意找出等量关系列方程解题时，设乘公交车平均每小时走千米，根据“乘坐公交车上学所需时间乘坐私家车上学所需时间分钟”列方程即可．
【解答】
解：设乘公交车平均每小时走千米，乘私家车平均每小时走千米，
分钟小时，
根据题意可列方程为：
，
故选D．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查平行线的性质延长交直线于点，首先证明，再根据计算即可．
【解答】
解：延长交直线于点．

，
，
，
．
故选C．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查平行线的性质，解题的关键是利用平行线的性质求出的度数的范围，根据，得，得出，延长交直线于点，易得，而，得解．
【解答】
解：延长交直线于点，
，
，
又，
，
又直线，
，
，
在中，
是的一个与不相邻的外角，
，
，
故选A．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查对顶角、互为补角、平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据对顶角、互为补角、平行线的判定和性质一一判断即可．
【解答】
解：对顶角相等；是真命题；
互补的两个角中一定是一个为锐角，另一个为钝角；是假命题，可能都是直角；
同旁内角互补，两直线平行；因此原命题是假命题；
同旁内角的两个角的平分线互相垂直．是假命题，需要添加条件两直线平行；
因此是真命题的是．
故选A．  

8.【答案】 

【解析】

【解答】
解：由题意可知，，，
又，，
≌，又，
可以由绕点逆时针旋转得到，
故结论正确；
如图，连接，

，且，
是等边三角形，
．
故结论正确；
≌，．
在中，三边长为，，，这是一组勾股数，
是直角三角形，，
，
故结论正确；
，
故结论错误；
如图所示，将绕点逆时针旋转，使得与重合，点旋转至点．

易知是边长为的等边三角形，是边长为、、的直角三角形，
则，
故结论正确．
综上所述，正确的结论为：．
故选：．
【分析】
本题考查了旋转变换中等边三角形，直角三角形的性质．利用勾股定理的逆定理，判定勾股数、、所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点．在判定结论时，将向不同方向旋转，体现了结论结论解题思路的拓展应用．
证明≌，又，所以可以由绕点逆时针旋转得到，故结论正确；
由是等边三角形，可知结论正确；
在中，三边长为，，，这是一组勾股数，故是直角三角形；进而求得，故结论正确；
，故结论错误；
如图，将绕点逆时针旋转，使得与重合，点旋转至点．利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将转化为，计算可得结论正确．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了实数的运算，属于基础知识的考查根据绝对值和算术平方根的计算法则进行计算即可．
【解答】
解：原式．
故选C．  

10.【答案】 

【解析】解：属于有限小数，为有理数，不符合题意；
B.，为有理数，不符合题意；
C.属于分数，为有理数，不符合题意；
D.为无限不循环小数，为无理数，符合题意，
故选：．
有理数包括整数和分数，无理数包括无限不循环小数，将各数化简即得答案．
本题考查了无理数，关键在于学生要掌握无限不循环小数是无理数这个知识点．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了数字的变化规律，找出点表示的数的变化规律是解决本题的关键．
序号的点在点的左边，各点所表示的数依次减少，序号在点的右侧，各点所表示的数依次增加，于是可得每移动次点与原点的距离增加个单位，据此可得．
【解答】
解：第一次点向左移动个单位长度至点，则表示的数，；
第次从点向右移动个单位长度至点，则表示的数为；
第次从点向左移动个单位长度至点，则表示的数为；
第次从点向右移动个单位长度至点，则表示的数为；
第次从点向左移动个单位长度至点，则表示的数为；
第次从点向左移动个单位长度至点，则表示的数为；
第次从点向左移动个单位长度至点，则表示的数为；
第次从点向左移动个单位长度至点，则表示的数为；
第次从点向左移动个单位长度至点，则表示的数为；
，
如果点与原点的距离不少于，的最小值为，
故选：．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相反数，互为相反数的两个数的和为，求代数式的值，变形，再整体代入求代数式的值．
【解答】
解：
因为互为相反数
所以
所以
  





．
故选C．  

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了解三元一次方程组和求代数式的值的应用，解此题的关键是把作为已知数，求出、的值．再代入通过约分即可求出答案．
【解答】
解：解：
得：，
解得：，
把代入得：
解得：，
原式；
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题关键．根据分母不为零分式有意义，可得答案．
【解答】

解：由题意，得
．
解得，
故答案为．

15.【答案】 

【解析】解：，，
，四边形是平行四边形，
于点，
平行四边形是菱形，，
，
连接，如图所示：
，
，
即，
，
，
当最短时，有最小值，
由垂线段最短可知：当时，最短，
当点与点重合时，有最小值，最小值，
故答案为：．
证四边形是菱形，得，连接，由三角形面积关系求出，得当最短时，有最小值，则当时，最短，即可得出答案．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、最小值问题以及三角形面积等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了算术平方根及列代数式的知识，知道一个数的算术平方根，平方即可得出这个数，就可得出答案．

【解答】

解：一个数的算术平方根是，
这个数为，

比这个数大的数是，
故答案为．

17.【答案】解：设去年文学书单价为元，则故事书单价为元，根据题意得：
 ，
解得：，
经检验是原方程的解，当时，
答：去年文学书单价为元，则故事书单价为元．
设这所学校今年购买本文学书，根据题意得．
，
，
最小值是；
答：这所中学今年至少要购买本文学书． 

【解析】设去年文学书单价为元，则故事书单价为元，根据用元购买的故事书与用元购买的文学书数量相等，列出方程，再进行检验即可得出答案；
设这所学校今年购买本文学书，根据购买文学书和故事书的总费用不超过元，列出不等式，求出不等式的解集即可得出答案．
此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键，注意分式方程要检验．
 

18.【答案】解：设甲公司单独完成此项工程需天，则乙公司单独完成此项工程需天．
根据题意，得，
解得，
经检验知是方程的解且符合题意．

故甲公司单独完成此项工程，需天，乙公司单独完成此项工程，需天；
设甲公司每天的施工费为元，则乙公司每天的施工费为元，
根据题意得，解得，
甲公司单独完成此项工程所需的施工费：元；
乙公司单独完成此项工程所需的施工费：元；
故甲公司的施工费较少． 

【解析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是从实际问题中整理出等量关系并利用等量关系求解．
设甲公司单独完成此项工程需天，则乙工程公司单独完成需天，根据合作天完成列出方程求解即可．
分别求得两个公司施工所需费用后比较即可得到结论．
 

19.【答案】解：原式


，
，
原式． 

【解析】根据运算顺序，先算乘除，再算加减即可．
本题考查了分式的化简求值，掌握分式的约分、通分是解题的关键．
 

20.【答案】解：设小王开车返回时的平均速度为千米小时，
则小王开车去时的平均速度为千米小时，
根据题意得：，
解得：或舍去，
经检验：是原方程的解．
答：小王开车返回时的平均速度为千米小时． 

【解析】本题考查了分式方程的应用，根据时间路程速度结合去时与返回时时间的关系列出关于的分式方程是解题的关键．
设小王开车返回时的平均速度为千米小时，则小王开车去时的平均速度为千米小时，根据时间路程速度结合去时与返回时时间的关系即可得出关于的分式方程，解之并检验后即可得出结论．
 

21.【答案】解：，理由如下：
，
．
、分别是、的角平分线，
，．
．
又，，
≌．
． 

【解析】根据平行线的性质和角平分线定义证明，又，，所以≌，从而得到．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，求解线段相等的问题一般是找到与此线段有关的三角形，证明两三角形全等即可．
 

22.【答案】是 

【解析】解：，
是常态三角形，
故答案为：是；
是常态三角形，
设两直角边长为：、，斜边长为，
则，，
，
：：，
设，，
则，
此三角形的三边比为：：：；
在中，，，点为的中点，
，
是常态三角形，
当时，
解得：，
则，
，
的面积为：，
当时，
解得：，
则，
，
的面积为：，
的面积为或．
由，符合定义；
设两直角边长为：、，斜边长为，则，，可得：：，从而得出答案；
由是常态三角形，分或，可分别计算出的长，从而解决问题．
本题是新定义题，主要考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，读懂题意，进行分类讨论是解题的关键．
 

23.【答案】解：，，
，
是的平分线，
，
是边上的高，
，
，
；
，，
，
是的平分线，
，
是边上的高，
，
，
； 

【解析】根据三角形的内角和得到，根据角平分线的定义得到，根据余角的定义得到，于是得到结论；
根据角平分线的定义得到，根据角平分线的定义得到，根据余角的定义得到，于是得到结论．
本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．
 

24.【答案】解：；
是的整数部分，是的小数部分，
，
则
，，



． 

【解析】

【分析】
本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．
由于，可求的整数部分，进一步得出的小数部分；
先求出的整数部分和小数部分，再代入代数式进行计算即可；
先求出在哪两个整数之间，再求出在哪两个整数之间，即可得出的整数部分和小数部分，求出、的值，再求出的值，取其相反数即可．
解：，
的整数部分是，
的小数部分是．
故答案为；
见答案；
，
，
是的整数部分，是其小数部分，
，，
．
则的相反数为．
故答案为．  

25.【答案】解：；
，则，，
；
答：的值为．
与互为相反数，
，
，且，
解得：，，
，
的平方根为．
答：的平方根为． 

【解析】

【分析】
本题考查了数轴、非负数的性质、绝对值的意义，比较简单．
点表示，蚂蚁沿着轴向右爬了个单位到达点，所表示的数为；
，则，，进而化简，并求出代数式的值；
根据非负数的意义，列方程求出、的值，进而求出的值，再求出的平方根．
【解答】
解：由题意，得；
见答案．