初中数学第2章 三角形综合与测试单元测试课时作业

这是一份初中数学第2章 三角形综合与测试单元测试课时作业，共30页。

湘教版初中数学八年级上册第二章《三角形》单元测试卷
考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，在△ABC中，延长CA至点F，使得AF=CA，延长AB至点D，使得BD=2AB，延长BC至点E，使得CE=3CB，连接EF、FD、DE，若S△DEF=36，则S△ABC为(    )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2. 如图，在△ABC，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=12(∠BAC−∠C)；④∠BGH=∠ABE+∠C，正确的是(    )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3. 下列命题：
①同旁内角互补；
②若n<1，则n2−1<0；
③直角都相等；
④相等的角是对顶角．
其中，真命题的个数有  
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 下列命题：①直角三角形两锐角互余；②全等三角形的对应角相等；③两直线平行，同位角相等：④对角线互相平分的四边形是平行四边形．其中逆命题是真命题的个数是(    )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，则AC边上的高BD的长为(    )
A. 4
B. 225
C. 245
D. 5
6. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，∠C=60°，BC=CD=8，将四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，则BE的长为(    )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 32
7. 三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的(    )
A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点
C. 三条高的交点 D. 三条角平分线的交点
8. 如图，等边三角形ABC的边长为6，O是三边垂直平分线的交点，∠FOG=120°，∠FOG的两边OF、OG与AB、BC分别相交于点D、E，∠FOG绕点O顺时针旋转时，下列结论：①OD=OE；②S△ODE=S△BDE；③S四边形ODBE=2738；④△BDE周长的最小值是9.其中正确的结论有  (    )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9. 如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA>OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM.下列结论：①AC=BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC.其中正确的结论有(    )

A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①②④
10. 如图，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，OA ①∠AMB=36°，②AC=BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD.其中正确的结论个数有个．(    )

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
11. 已知△ABC(AB A. B.
C. D.
12. 下列关于尺规的功能说法不正确的是(    )
A. 直尺的功能是：在两点间连接一条线段，将线段向两方向延长
B. 直尺的功能是：可作平角和直角
C. 圆规的功能是：以任意长为半径，以任意点为圆心作一个圆
D. 圆规的功能是：以任意长为半径，以任意点为圆心作一段弧
第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 在非直角三角形ABC中，∠A=50°，高BD和高CE所在的直线相交于点H，则∠BHC=          ．
14. 如图，设P是等边△ABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，则∠APB的度数是______．


15. 如图，在△ABC中，AB=BC，BE、CF分别是AC、AB边上的高，在BE上取点D，使BD=CA，在射线CF上取点G，使CG=BA，连接AD、AG，若∠DAE=38°，∠EBC=20°，则∠GAB=______°.
16. 如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交CD于点E.若DE=2，CE=3，则对角线AC的长为________．



三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 【推理证明】
(1)如图1，AB//CD，求证；∠AEC=∠A+∠C

小勇同学给出了如下证明，请在下面括号内填写上小勇推理的根据
证明：过点E作EF//CD
∵EF//CD∴∠2=∠C (______)
∵AB//CD，EF//CD∴AB//EF (______)
∴∠1=∠A
∵∠AEC=∠1+∠2∴∠AEC=∠A+∠C(等量代换)
备注：小勇同学在证明过程中，先过点E作EF//CD，是证明本题关键的一步，小勇同学作的EF这条线，叫做“辅助线”，通常用虚线表示，在几何证明过程中有时会用到．
【类比探究】
(2)在小学我们已知道“三角形内角和等于180°”这个结论，下面请作出合适的辅助线并用所学到的平行线的相关知识证明这个结论．
如图2，已知三角形ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°请写出证明过程(不写推理根据)

【综合运用】
请运用(1)(2)的经验和结论解答下列问题：
如图3，AB和CD交于点O，∠C=∠COA，∠CDB=∠BOD，∠CAB的平分线和∠CDB的平分线交于点P，若∠C+∠P+∠B=165°，直接写出∠C的度数______．


18. 已知命题：“P是等边△ABC内的一点，若P到三边的距离相等，则PA=PB=PC.”
(1)写出它的逆命题．判断其逆命题成立吗？若成立，请给出证明．
(2)进一步证明：点P到等边△ABC各边的距离之和为定值．
19. 在△ABC中，BD，CE相交于点F，试在下列设定的条件中选择若干个条件作为题设，另一个条件作为结论，组合成一个真命题，并写出证明．
①∠A=α；
②BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线；
③BD，CE是△ABC的两条高；
④∠BFC=90∘+12α；
⑤∠BFC=180°−α．
20. 在等腰△ABC中，AB=BC，高AD，BE所在的直线相交于点F，将△ACD沿直线AD翻折，点C的对称点C′落在直线BC上，连接FC′．
(1)如图1，当∠ABC=45°时，
①求证：BF=AC；
②求∠FC′D的度数．
(2)当∠ABC=135°时，补全图2，并求证：C′F//AB．


21. 在等边△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA上的动点，满足DE=EF，且∠DEF=60°.作点E关于AC的对称点G，连接CG，DG．
(1)当点D，E，F在如图1所示的位置时，请在图1中补全图形，并证明四边形DBCG是平行四边形；
(2)当AD

22. 如图，在▵ABC中，CD是边AB上的高，BE是边AC上的中线，且BD=CE.求证：

(1)点D在BE的垂直平分线上；
(2)∠BEC=3∠ABE．
23. 如图，在△ABC中，点E是AC上一点，AE=AB，过点E作DE//AB，且DE=AC．
(1)求证：△ABC≌△EAD；
(2)若∠B=76°，∠ADE=32°，∠ECD=52°，求∠CDE的度数．

24. 如图，△ABC和△ADE中，AB=AD，BC=DE，∠B=∠D，边AD与边BC交于点P(不与点B、C重合)，点B、E在AD异侧，I为△APC的内心(三条角平线的交点)．
(1)求证：∠BAD=∠CAE；
(2)当∠BAC=90°时，
①若AB=16，BC=20时，求线段PD的最大值；
②若∠B=36°，∠AIC的取值范围为m°<∠AIC

25. 定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”．
数学学习小组的同学从32根等长的火柴棒(每根长度记为1个单位)中取出    若干根，首尾依次相接组成三角形，进行探究活动．
小亮用12根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”；
小颖分别用24根和30根火柴棒摆出直角“整数三角形”；
小辉受到小亮、小颖的启发，分别摆出三个不同的等腰“整数三角形”．
(1)请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图；
(2)你能否也从中取出若干根摆出等边“整数三角形”？如果能，请画出示意图；如果不能，请说明理由．


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：如图，连接AE，CD，设△ABC的面积为m．

∵BD=2AB，
∴△BCD的面积为2m，△ACD的面积为3m，
∵AC=AF，
∴△ADF的面积=△ACD的面积=3m，
∵EC=3BC，
∴△ECA的面积=3m，△EDC的面积=6m，
∵AC=AF，
∴△AEF的面积=△EAC的面积=3m，
∴△DEF的面积=m+2m+6m+3m+3m+3m=18m=36，
∴m=2，
∴△ABC的面积为2，
故选：A．
如图，连接AE，CD，设△ABC的面积为m.利用等高模型的性质，用m表示出各个三角形的面积，可得△DEF的面积为18m，构建方程，可得结论．
本题考查三角形的面积，等高模型的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．

2.【答案】D 
【解析】解：设BE交FH于点J．
①∵BD⊥FD，
∴∠FGD+∠F=90°
∵FH⊥BE，
∴∠BGJ+∠DBE=90°，
∵∠FGD=∠BGJ，
∴∠DBE=∠F，
①正确；
②∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∠BEF=∠CBE+∠C，
∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，
∠BAF=∠ABC+∠C，
∴2∠BEF=∠BAF+∠C，
②正确；
③∠ABD=90°−∠BAC，
∠DBE=∠ABE−∠ABD=∠ABE−90°+∠BAC=∠CBD−∠DBE−90°+∠BAC，
∵∠CBD=90°−∠C，
∴∠DBE=∠BAC−∠C−∠DBE，
由①得，∠DBE=∠F，
∴∠F=∠BAC−∠C−∠DBE，
∴∠F=12(∠BAC−∠C)；
③正确；
④∵∠AEB=∠EBC+∠C，
∵∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE+∠C，
∵BD⊥FC，FH⊥BE，
∴∠FGD=∠FEB，
∴∠BGH=∠ABE+∠C，
④正确，
故选：D．
①根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FJD=∠BJH，证明结论正确；
②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；
③证明∠DBE=∠BAC−∠C，根据①的结论，证明结论正确；
④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确．
本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键．

3.【答案】A 
【解析】解：①同旁内角互补，错误，是假命题；
②若n<1，则n2−1<0，错误，是假命题；
③直角都相等，正确，是真命题；
④相等的角是对顶角，错误，是假命题，
故选A．
利用平行线的性质、不等式的性质、直角的定义及对顶角的性质分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、不等式的性质、直角的定义及对顶角的性质等知识，难度较小．

4.【答案】C 
【解析】解：①直角三角形两锐角互余逆命题是如果两个角互余那么这个三角形是直角三角形是真命题；
②全等三角形的对应角相等逆命题是对应角相等的两个三角形全等是假命题；
③两直线平行，同位角相等逆命题是同位角相等，两直线平行是真命题：
④对角线互相平分的四边形是平行四边形逆命题是如果平行四边形，那么它的对角线互相平分是真命题；
故选：C．
首先写出各个命题的逆命题，然后进行判断即可．
本题主要考查了写一个命题的逆命题的方法，首先要分清命题的条件与结论．

5.【答案】C 
【解析】解：过A作AE⊥BC于点E，

∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AE⊥BC，
∴EB=EC=12CB=3，
在Rt△ABE中，AE=AB2−BE2=52−32=4，
∴S△ABC=12⋅AC⋅BD=12⋅BC⋅AE=12×6×4=12，
∴12×5×BD=12，
解得BD=245．
故选：C．
过A作AE⊥BC于点E，根据勾股定理计算出底边上的高AE的长，然后计算三角形的面积，再以AC为底，利用三角形的面积计算出AC边上的高BD即可．
此题主要考查了勾股定理的应用，以及等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形底边上的高和中线重合．

6.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题主要考查的是等腰三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，特殊角的三角函数值，勾股定理，轴对称的性质，轴对称变换的有关知识，连接BD，AE，证出△CBD是等边三角形得到BD=BC=8，然后利用特殊角的三角函数值求出AB，再利用等腰三角形的判定及性质得到AE=CE，最后利用勾股定理进行求解即可．
【解答】
解：如图，连接BD，AE，

∵∠C=60°，BC=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD=BC=CD=8，∠CBD=60°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABD=90°−60°=30°，
∴AB=BDcos30°=8×32=43，
∵将四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，
∴△CEA是等腰三角形，CE=AE，
∵CE=BC−BE，
∴AE=BC−BE=8−BE，
在Rt△ABE中AE2=BE2+AB2，
∴(8−BE)2=BE2+432，
解得：BE=1．
故选A．  
7.【答案】B 
【解析】
【分析】
此题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得答案．
【解答】
解：三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的三边垂直平分线的交点，
故选：B．  
8.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的概念及其性质以及点线之间垂线段最短．
根据垂直平分线的性质，因为O是三边垂直平分线的交点，得到OB=OC=OA，计算出角度，证出三角形全等，根据三角形全等得到S四边形ODBE=S△BOC，作辅助线OH⊥DE，得到S△ODE=34OE2，从而计算出四边形面积为定值，最后根据点线之间垂线段最短，求得周长的最小值．
【解析】
解：如图，连接OB，OC，

利用等边三角形的性质得∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°.易证∠BOD=∠COE，则△BOD≌△COE，∴BD=CE，OD=OE，故①正确；
由S△BOD=S△COE可得S四边形ODBE=S△BOC=13S△ABC=33，故③错误；
作OH⊥DE于点H，则DH=EH，∠OEH=30°，易得S△ODE=34OE2，而S△ODE随OE的变化而变化，S四边形ODBE=S△ODE+S△BDE，为定值，故②错误；
△BDE的周长为BD+BE+OE=BC+DE=6+DE=6+3OE，由垂线段最短知，当OE⊥BC时，OE最小，此时OE=3，△BDE周长的最小值为6+3=9，故④正确．
故选B．  
9.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识;证明三角形全等是解题的关键.由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA=∠ODB，AC=BD， ①正确;
由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，得出∠AMB=∠AOB=40°， ②正确;
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：则∠OGC=∠OHD=90∘，由AAS证明△OCG≌△ODH(AAS)，得出OG=OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC， ④正确;
由∠AOB=∠COD，得出当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM=∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM=∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO=∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB=OC，而OA=OB，所以OA=OC，而OA>OC，故 ③错误;即可得出结论．
【解答】
解：∵∠AOB=∠COD=40∘，
∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，
即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD，
∴△AOC≌△BOD(SAS)，
∴∠OCA=∠ODB，AC=BD， ①正确;
∴∠OAC=∠OBD，
由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，
∴∠AMB=∠AOB=40∘， ②正确;
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图2所示：
则∠OGC=∠OHD=90∘，

在△OCG和△ODH中，
∠OCA=∠ODB∠OGC=∠OHDOC=OD
∴△OCG≌△ODH(AAS)，
∴OG=OH，
∴MO平分∠BMC， ④正确;
∵∠AOB=∠COD，
∴当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM=∠AOM
∵△AOC≌△BOD，
∴∠COM=∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO=∠BMO，
在△COM和△BOM中，
∠COM=∠BOMOM=OM∠CMO=∠BMO
∴△COM≌△BOM(ASA)，
∴OB=OC，
∵OA=OB，
∴OA=OC，
与OA>OC矛盾，
∴ ③错误;
正确的是①②④;
故选D．  
10.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA=∠ODB，AC=BD，②正确；
由全等三角形的性质得出∠OCA=∠ODB，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB，得出∠AMB=36°，①正确；
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示：则∠OGA=∠OHB=90°，由AAS证明△OGA≌△OHB(AAS)，得出OG=OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠AMD，④正确；
假设OM平分∠AOD，则∠DOM=∠AOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△DMO，得AO=OD，而OC=OD，所以OA=OC，而OA 【解答】
解：∵∠AOB=∠COD=36°，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，
即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD
∴△AOC≌△BOD(SAS)，
∴∠OCA=∠ODB，AC=BD，故②正确；
由三角形的外角性质得：
∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB，
得出∠AMB=∠AOB=36°，故①正确；
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，

则∠OGA=∠OHB=90°，
在△OGA和△OHB中，
∵∠OGA=∠OHB=90°∠OAG=∠OBHOA=OB，
∴△OGA≌△OHB(AAS)，
∴OG=OH，
∴MO平分∠AMD，故④正确；
假设OM平分∠AOD，则∠DOM=∠AOM，
在△AMO与△DMO中，∠AOM=∠DOMOM=OM∠AMO=∠DMO,
∴△AMO≌△DMO(ASA)，
∴AO=OD，
∵OC=OD，
∴OA=OC，
而OA 正确的个数有3个；
故选：B．  
11.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.由PB+PC=BC和PA+PC=BC易得PA=PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点P在AB的垂直平分线上，于是可判断D选项正确．
【解答】
解：∵PB+PC=BC，
而PA+PC=BC，
∴PA=PB，
∴点P在AB的垂直平分线上，
即点P为AB的垂直平分线与BC的交点．
故选B．  
12.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查了尺规作图．考查在尺规作图过程中直尺和圆规的作用．直尺指没有刻度的尺子，作用是作线段、直线和射线，圆规的作用是画圆和弧，据此可直接判断各选项的正误．
【解答】
解：根据直尺和圆规的作用可知：A、C、D选项正确，B选项错误．
故选B．
  
13.【答案】50°或130° 
【解析】
【分析】
本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角性质，分△ABC为锐角三角形及△ABC为钝角三角形两种情况，找出∠BHC的度数是解题的关键．
当△ABC为锐角三角形时，连接AH，延长AH交BC于点M，利用三角形内角和定理可求出∠ABD，∠ACE的度数，利用三角形的外角性质可得出∠BHM=∠BAH+∠ABH，∠CHM=∠CAH+∠ACH，再结合∠BHC=∠BHM+∠CHM即可求出∠BHC的度数；当△ABC为钝角三角形时，利用三角形内角和定理及对顶角相等，可得出∠BHE的度数，进而可得出∠BHC的度数．
【解答】
解：
当△ABC为锐角三角形时，连接AH，延长AH交BC于点M，如图1所示．
∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°，
∴∠ABD=180°−∠ADB−∠BAD=40°，∠ACE=180°−∠AEC−∠CAE=40°．
又∵∠BHM=∠BAH+∠ABH，∠CHM=∠CAH+∠ACH，
∴∠BHC=∠BHM+∠CHM
=∠BAH+∠ABH+∠CAH+∠ACH
=∠BAC+∠ABD+∠ACE=50°+40°+40°=130°；
当△ABC为钝角三角形时，如图2所示．
∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°，∠BHE+∠HBE+∠BEH=180°，
∠ABD=∠HBE，∠ADB=∠BEH=90°，
∴∠BHE=∠A=50°，
∴∠BHC=50°．
故答案为50°或130°．  
14.【答案】150° 
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，
可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，
连EP，如图，
∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，
∴△BPE为等边三角形，
∴PE=PB=4，∠BPE=60°，
在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，
∴AE2=PE2+PA2，
∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，
∴∠APB=90°+60°=150°．
故答案为150°．
将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数．
本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．

15.【答案】58 
【解析】解：∵BE、CF分别是AC、AB两边上的高，
∴∠BEA=∠CFA=90°，
∴∠ABE+∠BAC=90°，∠ACF+∠BAC=90°，
∴∠ABE=∠ACF，
在△ABD和△GCA中
BD=AC∠ABE=∠ACFAB=CG，
∴△ABD≌△GCA(SAS)，
∴∠AGC=∠BAD，
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴∠ABE=∠EBC=20°，
∵∠AGF+∠GAF=90°，∠ABE+∠BAD+∠DAE=90°，
∴∠GAF=∠ABD+∠DAE=20°+38°=58°，
即∠GAB=58°，
故答案为：58．
首先证明△ABD≌△GCA可得∠AGC=∠BAD，然后根据直角三角形两个锐角互余可得∠GAF=∠ABD+∠DAE=20°+38°=58°，进而可以解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ABD≌△GCA．

16.【答案】30 
【解析】
【分析】
本题考查了作图−基本作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理的有关知识，属于中档题．
连接AE，如图，利用基本作图得到MN垂直平分AC，则EA=EC=3，然后利用勾股定理先计算出AD，再计算出AC．
【解答】
解：连接AE，如图

由作法得MN垂直平分AC，
∴EA=EC=3，
在Rt△ADE中，AD=32−22=5，
在Rt△ADC中，AC=52+52=30．
故答案为30．  
17.【答案】两直线平行内错角相等  平行于同一条直线的两直线平行  70° 
【解析】解：【推理证明】
(1)证明：过点E作EF//CD，
∵EF//CD，
∴∠2=∠C (两直线平行内错角相等)，
∵AB//CD，EF//CD，
∴AB//EF (平行于同一条直线的两直线平行)，
∴∠1=∠A．
∵∠AEC=∠1+∠2，
∴∠AEC=∠A+∠C(等量代换)，
故答案为：两直线平行内错角相等；平行于同一条直线的两直线平行；
【类比探究】
(2)证明：过A点作AM//BC，

∴∠MAB=∠B，∠BAC+∠MAB+∠C=∠MAC+∠C=180°，
∴∠BAC+∠B+∠C=180°；
(3)【综合运用】
解：∵∠C=∠COA，∠CDB=∠BOD，∠COA=∠BOD，
∴∠C=∠CDB，
∴AC//BD，
∴∠CAO=∠B，
∵∠CAB的平分线和∠CDB的平分线交于点P，
∴∠CAO=2∠PAO，∠BDO=2∠BDP，
∵∠PAO+∠P=∠BDP+∠B，
∴2∠PAO+2∠P=2∠BDP+2∠B，
∴∠CAO+2∠P=∠BDC+2∠B，
∴∠B+2∠P=∠C+2∠B，即∠C+∠B=2∠P，
∵∠C+∠P+∠B=165°，
∴3∠P=165°，
解得∠P=55°，
∴∠B+∠C=110°，即∠A+∠CAO=110°，
∵∠C+∠CAO+∠AOC=180°，
∴∠AOC=70°，
∴∠C=70°．
故答案为：70°．
【推理证明】(1)利用平行线的判定与性质可证明结论；
【类比探究】(2)过A点作AM//BC，根据平行线的性质可证明∠BAC+∠B+∠C=180°；
【综合运用】由平行线的判定与性质可得∠CAO=∠B，利用角平分线的定义及三角形外角的性质可证明∠C+∠B=2∠P，结合∠C+∠P+∠B=165°可求解∠P的度数，即可求得∠B+∠C的度数，再利用三角形的内角和定理可求解∠C的度数．
本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质求解角的关系是解题的关键．

18.【答案】解：(1)逆命题：P 是等边三角形 ABC 内的一点，若 PA=PB=PC，则 P 到三边的距离相等． 该逆命题成立．
证明如下：∵PA=PB，
∴P 在 AB 的垂直平分线上，
∵AC=BC，
∴C 在 AB 的垂直平分线上，

∴CP 是 AB 的垂直平分线，
∴CP 平分∠ACB，
同理，BP 平分∠ABC，AP 平分∠BAC，
∴P 是△ABC 三个角的角平分线的交点，

∴PD=PE=PF．
(2)∵AB=BC=AC 且 S△ABC=S△ABP+S△PBC+S△APC，
∴由面积法可得 P 点到各边的距离之和=任意边上的高线长，即为定值． 
【解析】将原命题的题设与结论交换位置即可写出其逆命题；可证明其逆命题成立．先由PA=PB，AC=BC，根据线段垂直平分线的判定得出CP是AB的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质得出CP平分∠ACB，同理，BP平分∠ABC，AP平分∠BAC，那么P是△ABC三个角的角平分线的交点，根据角平分线的性质即可得出PD=PE=PF．
本题考查了命题与定理，角平分线、线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，难度适中．利用数形结合是解题的关键．

19.【答案】解：已知：∠A=α，BD、CE是△ABC的两条高，如图，

求证：∠BFC=180∘−α．
证明：∵BD、CE是△ABC的两条高，
∴∠ADB=90∘，∠AEC=90∘，
∴∠DFE=360∘−∠ADF−∠AEF−∠A=180∘−α，
∵∠BFC=∠DFE，
∴∠BFC=180∘−α． 
【解析】略

20.【答案】(1)①证明：∵AD是△ABC的高，∠ABC=45°，
∴∠BDF=90°=∠ADC，BD=AD，
∵BF是△ABC的高，
∴∠DBF=90°−∠C=∠DAC，
在△BDF和△ADC中，
∠DBF=∠DACBD=AD∠BDF=∠ADC，
∴△BDF≌△ADC(ASA)，
∴BF=AC；
②解：如图：

由①知：△BDF≌△ADC，
∴DF=DC，
∵将△ACD沿直线AD翻折，点C的对称点C′落在直线BC上，
∴DC=DC′，
∴DF=DC′，
∴△DFC′是等腰直角三角形，
∴∠FC′D=45°；
(2)补全图形如下：

∵∠ABC=135°，
∴∠ABD=45°，
∵AD是△ABC的高，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵AD，BE是△ABC的高，
∴∠ADC=90°=∠BDF=∠BEC，
∵∠EBC=∠DBF，
∴∠DFB=∠ACD，
∴△DBF≌△DAC(AAS)，
∴DF=DC，
∵将△ACD沿直线AD翻折，点C的对称点C′落在直线BC上，
∴DC=DC′，
∴DF=DC′，
∴∠DC′F=45°，
∴∠DC′F=∠ABD，
∴C′F//AB． 
【解析】(1)①由AD是△ABC的高，∠ABC=45°，可得∠BDF=90°=∠ADC，BD=AD，又BF是△ABC的高，有∠DBF=90°−∠C=∠DAC，即可证△BDF≌△ADC(ASA)，得BF=AC；
②由△BDF≌△ADC，得DF=DC，而将△ACD沿直线AD翻折，点C的对称点C′落在直线BC上，有DC=DC′，可得△DFC′是等腰直角三角形，故∠FC′D=45°；
(2)根据已知补全图形即可，由∠ABC=135°，得△ABD是等腰直角三角形，AD=BD，又AD，BE是△ABC的高，可证△DBF≌△DAC(AAS)，得DF=DC，根据将△ACD沿直线AD翻折，点C的对称点C′落在直线BC上，有DC=DC′，知DF=DC′，故∠DC′F=45°，从而∠DC′F=∠ABD，C′F//AB．
本题考查等腰三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练应用全等三角形判定和性质定理．

21.【答案】解：(1)如图1，即为补全的图形，

证明：在等边△ABC中，∠A=∠B=∠ACB=60°，
∵点E，点G关于AC对称，
∴∠ACG=∠ACB=60°，CE=CG，
∴∠A=∠ACG，
∴AB//CG，
即BD//CG，
∵∠DEF=60°，∠BED+∠CEF+∠DEF=180°，
∴∠BED+∠CEF=120°，
在△BDE中，
∠BDE+∠BED=180°−∠B=120°，
∴∠BDE=∠CEF，
在△BDE与△CEF中，
∠DBE=∠ECF∠BDE=∠CEFDE=EF，
∴△BDE≌△CEF(AAS)，
∴CE=BD，
∴CG=CE=BD，
∵BD//CG，
∴四边形ABCD是平行四边形；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=DG，∠DGC=∠B=60°，
∵BC=AB，AB=2DE，
∴DG=2DE，
∵DE=EF，∠DEF=60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴DE=DF，
∵点E，点G关于AC对称，
∴EF=GF，∠FEC=∠FGC，
∴DF=GF，
∴DG=2DF=2GF，
在△DFG中，DG2=DF2+GF2，
∴∠DFG=90°，
∵DF=GF，
∴∠FDG=∠FGD=45°，
∴∠CGF=∠CGD−∠FGD=15°，
∴∠BDE=∠CEF=∠CGF=15°． 
【解析】(1)根据题意即可补全图形；然后证明△BDE≌△CEF可得CE=BD，进而可以解决问题；
(2)根据题意证明△DEF是等边三角形，可得DE=DF，由点E，点G关于AC对称，可得EF=GF，∠FEC=∠FGC，所以DF=GF，进而可以解决问题．
本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△BDE≌△CEF．

22.【答案】解：(1)连接DE，
∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵BE是AC边上的中线，
∴AE=CE，
∴DE=CE，
∵BD=CE，
∴BD=DE，
∴点D在BE的垂直平分线上；
(2)∵DE=AE，
∴∠A=∠ADE，
∵∠ADE=∠DBE+∠DEB，
∵BD=DE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴∠A=∠ADE=2∠ABE，
∵∠BEC=∠A+∠ABE，
∴∠BEC=3∠ABE． 
【解析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
(1)连接DE，根据垂直的定义得到∠ADC=∠BDC=90°，根据直角三角形的性质得到DE=CE，根据线段垂直平分线的性质即可得到结论；
(2)根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．

23.【答案】(1)证明：∵DE//AB，
∴∠BAC=∠AED，
在△ABC和△EAD中，AE=AB∠BAC=∠AEDDE=AC，
∴△ABC≌△EAD(SAS)；

(2)解：∵△ABC≌△EAD，
∴∠B=∠EAD=76°，
由三角形的外角性质得，∠CED=∠EAD+∠ADE=76°+32°=108°，
在△CDE中，∠CDE=180°−∠CED−∠ECD=180°−108°−52°=20°． 
【解析】(1)根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠AED，再利用“边角边”证明即可；
(2)根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠EAD，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CED，再根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键．

24.【答案】(1)证明：∵在△ABC与△ADE中，
AB=AD∠B=∠DBC=DE，
∴△ABC≌△ADE(SAS)，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
即∠BAD=∠CAE；

(2)①在△ABC中，∠BAC=90°，
由勾股定理，得AC=BC2−AB2=202−162=12，
∵AD=AB=16，而PD=AD−AP=16−AP，
∴当AP⊥BC时，AP最小，PD最大，
此时，S△ABC=12BC⋅AP=12AB⋅AC，
即12×20×AP=12×16×12，
解得，AP=485，
∴PD的最大值为：16−485=325；

②如图，∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
设∠BAP=α，则∠PAC=90°−α，∠PCA=54°，
∵I为△APC的内心，
∴AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA，
∴∠IAC=12∠PAC，∠ICA=12∠PCA，
∴∠AIC=180°−(∠IAC+∠ICA)
=180°−12(∠PAC+∠PCA)
=180°−12(90°−α+54°)
=12α+108°，
∵0°<α<90°，
∴108°<12α+108°<153°，
即108°<∠AIC<153°，
∴m=108，n=153． 
【解析】(1)通过全等三角形的判定定理“边角边”证△ABC≌△ADE，推出∠BAC=∠DAE，可进一步推出∠BAD=∠CAE；
(2)①在△ABC中，由勾股定理，求得AC的长，当AP⊥BC时，AP最小，PD最大，由面积法求出AP的长，即可求出PD的最大值；
②如图，由已知可推出∠BAC=90°，设∠BAP=α，则∠PAC=90°−α，∠PCA=54°，推出∠AIC=12α+108°，因为0°<α<90°，可推出108°<∠AIC<153°，即可写出m，n的值．
本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，三角形的内心，三角形的内角和定理等，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用三角形的内角和定理等．

25.【答案】解：(1)小颖摆出如图1所示的“整数三角形”：

小辉摆出如图2所示三个不同的等腰“整数三角形”：
  
(2)不能摆出等边“整数三角形”．
理由如下：设等边三角形的边长为a，则等边三角形面积为34a2．
因为，若边长a为整数，那么面积34a2一定非整数．
所以不存在等边“整数三角形”． 
【解析】(1)根据为“整数三角形”的定义画出图形即可．
(2)不存在．设等边三角形的边长为a，则等边三角形面积为34a2.因为，若边长a为整数，那么面积34a2一定非整数，由此即可判断．
本题考查作图−应用设计作图、“整数三角形”的定义，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．