数学八年级上册第5章 二次根式综合与测试单元测试一课一练

湘教版初中数学八年级上册第五章《二次根式》单元测试卷

考试范围：第五章；考试时间：120分钟；总分120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 要使代数式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如果，那么一定是  (    )

A. 负数或零 B. 正数或零 C. 正数 D. 负数

3. 、在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是(    )
    

A.  B.       C.  D.

4. 化简二次根式的结果为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 若，把化成最简二次根式为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知，，则有(    )

A.  B.  C.  D.

7. 计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 下列各式的运算或变形中，用到分配律的是

A.  B.
C. 由得 D.

9. 如果并且表示当时的值，即，表示当时的值，即，那么的值是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

11. 的值为(    )

A.  B.  C.  D. 以上都不对

12. 已知，，则代数式的值为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如果代数式有意义，那么字母的取值范围是______．
14. 实数、、在数轴上的位置如图所示，化简下列代数式的值______．

15. 在、、、、中，是最简二次根式的是______ ．
16. 当，时，的值为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    观察下列各等式：
    
    
    
    
    按以上等式规律，请完成第个等式______；
    按以上等式规律，请完成第个等式______，并证明这个等式的正确性；
    直接写出等式右边等于的等式．
18. 本小题分

如图，实数、、在数轴上的位置，化简：．

19. 本小题分

，，在数轴上的位置如图所示，化简．

20. 本小题分

阅读下列过程：

计算：．

解：原式

．

上述解答过程有错误吗如果有错误请改正．

21. 本小题分

先化简，再求值：，其中．

22. 本小题分

先化简，再求值：，其中．

23. 本小题分
    如图是一张等腰直角三角形彩色纸，要裁出几张宽度相等的长方形纸条，宽度都为，用这些纸条为一幅正方形照片镶边纸条不重叠图和图是两种不同裁法的示意图．
    
    求两种裁法最多能得到的长方形纸条的条数；
    分别计算两种裁法得到长方形纸条的总长度；
    这两种裁法中，被镶边的正方形照片的最大面积为多少？
24. 本小题分
    已知，求的值．
25. 本小题分
    已知二次根式．
    求使得该二次根式有意义的的取值范围；
    已知为最简二次根式，且与为同类二次根式，求的值，并求出这两个二次根式的积．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据题意，得
，
解得，；
故选：．
二次根式的被开方数是非负数．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了二次根式的性质，掌握二次根式的非负性是解题的关键，根据，即可得出，解得
【解答】
解：，
，解得
是负数或零．
故选A．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了实数与数轴，利用差的绝对值是大数减小数、二次根式的性质化简整式是解题关键根据差的绝对值是大数减小数，二次根式的性质，可化简代数式，根据整式的加减，可得答案．
【解答】
解：



．
故选B．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键原式利用二次根式的性质化简即可得到结果．
【解答】
解：，
，
．
故选A．  

5.【答案】 

【解析】试题分析：根据的符号得出，，进而化简得出即可．
，
．
故选：．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为，
所以．
故选B．
本题可先将分母有理化，然后再判断、的关系．
本题考查分母有理化的知识，找出分母的有理化因式是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了二次根式的运算，关键是熟练掌握二次根式的乘法利用二次根式的乘法进行简便运算即可得出结果．
【解答】
解：原式


．
故选B．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次根式的乘法，积的乘方，等式的性质，合并同类项，熟练掌握相应的运算法则是关键对各个选项依次分析即可．
【解答】
解：．，运用有理数的乘法；
B. ，运用了有理数的乘方；
C.由得，运用等式的性质；
D.，运用了分配律，
故选D．  

9.【答案】 

【解析】解：代入计算可得，，，，，
所以，原式．
故选：．
认真观察题中式子的特点，找出其中的规律，代入计算即可．
解答此类题目的关键是认真观察题中式子的特点，找出其中的规律．
 

10.【答案】 

【解析】解：、原式，故本选项错误；
B、原式，故本选项正确；
C、原式，故本选项错误；
D、原式，故本选项错误；
故选：．
根据完全平方公式，二次根式的化简以及去括号的法则进行解答．
本题综合考查了二次根式的加减法，实数的性质，完全平方公式以及去括号，属于基础题，难度不大．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查二次根式的运算，涉及绝对值的性质，二次根式的性质．根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案．

【解答】

解：原式

，
故选A．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次根式的化简求值：先把被开方数变形，用两个数的和与积表示，然后利用整体代入的思想代入计算．原式变形为，由已知易得，，然后整体代入计算即可．
【解答】
解：，，
原式．
故选C．  

13.【答案】且 

【解析】解：代数式有意义，
，解得且．
故答案为：且．
先根据分式及二次根式有意义的条件列出关于的不等式组，求出的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：从数轴可知：，，
原式

，
故答案为：．
根据数轴得出，，根据二次根式的性质得出，去掉绝对值符号后合并即可．
本题考查了二次根式的性质，绝对值，数轴的应用，主要考查学生的计算和化简能力．
 

15.【答案】 

【解析】解：在、、、、中，只有是最简二次根式．
故答案为：．
直接利用最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，分析得出答案．
此题主要考查了最简二次根式，正确把握定义是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意，知：，，；
原式



．
首先求出，，，再将所给的式子分母有理化，然后再代值求解．
此题考查二次根式的化简求值，关键是正确的对分式进行分母有理化，然后根据化简的结果，代值计算．
 

17.【答案】   

【解析】解：；
故答案为：；
．
证明：左边


，
为大于或等于的整数，
．
左边右边．
成立；
故答案为：；
等式右边等于的等式为：理由：
由题意得：
．
．
．
解得：或．
为大于或等于的整数，
．
等式右边等于的等式为：．
按以上等式规律即可得出结论；
利用配方法和二次根式的性质解答即可；
利用中的规律解答即可．
本题主要考查了二次根式的化简与计算，配方法，数字的变形规律，观察数字的变化从中发现规律是解题的关键．
 

18.【答案】解：由实数，，在数轴上的位置可得，，；
，，


． 

【解析】本题主要考查数轴，绝对值，二次根式的性质，整式的加减解答本题关键是要从数轴上，，的位置判断出，，的取值范围．先由实数、、在数轴上的位置，得出，，的取值范围，再判断，，的正负，根据式子的符号去绝对值，根据二次根式的性质化简，然后去括号，合并同类项即得结果．
 

19.【答案】解：由数轴可知：，

，，，

原式

【解析】本题考查绝对值的性质，解题的关键是根据数轴判断、、，与的大小关系，本题属于基础题型． 根据数轴判断、、、与的大小关系，然后根据绝对值的性质进行化简．
 

20.【答案】解：有错误，第一步除以，乘以它的倒数，结果算错，下面步骤接着错，
纠正如下，




． 

【解析】本题考查了二次根式的性质和化简，属于基础题．
根据二次根式的性质和化简方法，可得出结果，注意整体性．
 

21.【答案】解：原式



．
当时，原式． 

【解析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键，首先将括号里的分式进行化简，再直接与括号外的式子进行相乘，再进行加减化为最简形式，最后将的值代入即可．
 

22.【答案】解：原式

，

当时，

原式
．

【解析】此题考查了分式的化简求值，关键是通分，找出最简公分母分式的乘除运算关键是约分，约分后得到最简结果，再把代入进行计算即可．
 

23.【答案】解：如图，过点作于，

，，
，
，
，且，
如图裁法最多能得到条长方形纸条；
，
如图裁法最多能得到条长方形纸条；
如图，

是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
同理得：，
如图裁法得到长方形纸条的总长度；
如图，

同理可知是等腰直角三角形，且，
，，，
如图裁法得到长方形纸条的总长度；
如图，

如图裁法：，
，
如图裁法：，
，
，
这两种裁法中，被镶边的正方形照片的最大面积为 

【解析】如图，过点作于，利用的长可得如图裁法最多能得到的长方形纸条的条数，利用的长可得如图裁法最多能得到的长方形纸条的条数；
根据等腰直角三角形的性质分别计算如图和如图中长方形纸条的总长度；
因为四边形是正方形，所以它的面积为边长的平方，所以比较两种裁法的边长即可，根据两种裁法的总长可得如图中的的长，最后计算的长即可解答．
此题考查了等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理等知识，要仔细观察图形，掌握等腰直角三角形的性质是解本题的关键．
 

24.【答案】解：




，
，
，
，，，
则原式




． 

【解析】先将所求式子分母有理化，然后化简，再根据，可以用的代数式表示，再将关于的式子代入化简后的式子，整理化简即可．
本题考查二次根式的混合运算、分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式分母有理化的计算方法．
 

25.【答案】解：要使有意义，必须，
即，
所以使得该二次根式有意义的的取值范围是；

，
所以，
解得：，
这两个二次根式的积为． 

【解析】根据二次根式有意义的条件得出，求出不等式的解集即可；
先求出，得出，求出即可．
本题考查了二次根式有意义的条件和同类二次根式的定义等知识点，能根据知识点得出不等式或方程是解此题的关键．