【最新版】高中数学（新教材人教A版）培优单元检测八　直线与圆、圆锥曲线

这是一份【最新版】高中数学（新教材人教A版）培优单元检测八　直线与圆、圆锥曲线，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
单元检测八　直线与圆、圆锥曲线
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是(　　)
A．(－2，3)，1 B．(2，－3)，3
C．(－2，3)， D．(2，－3)，
答案　D
解析　∵圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝2，
∴圆的圆心坐标和半径长分别是(2，－3)，.
2．(2022·厦门模拟)若椭圆C：＋＝1的一个焦点坐标为(－1，0)，则实数m的值为(　　)
A．9 B．6
C．4 D．1
答案　C
解析　因为椭圆的焦点(－1，0)在x轴上，
所以a2＝5，b2＝m，所以c2＝a2－b2＝5－m，
所以5－m＝1，解得m＝4.
3．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点A(1，m)到其焦点的距离为3，则m等于(　　)
A．± B．±2
C．±2 D．±4
答案　B
解析　因为抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
所以其准线方程为x＝－，
因为抛物线y2＝2px(p>0)上一点A(1，m)到其焦点的距离为3，
所以1＋＝3，
所以p＝4，m2＝8，解得m＝±2.
4．(2022·长春模拟)已知直线l将圆C：x2＋y2＋x－2y＋1＝0平分，且与直线x＋2y＋3＝0垂直，则l的方程为(　　)
A．2x＋y＝0 B．2x＋y－3＝0
C．2x－y－4＝0 D．2x－y＋2＝0
答案　D
解析　因为直线l将圆C：x2＋y2＋x－2y＋1＝0平分，所以直线l过圆心，
因为直线l与直线x＋2y＋3＝0垂直，
所以直线l的斜率为2，
所以直线l的方程为2x－y＋2＝0.
5．点M，N是圆x2＋y2＋2kx＋2y－4＝0上的不同的两点，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半径等于(　　)
A．3 B．2　C. D．9
答案　A
解析　圆x2＋y2＋2kx＋2y－4＝0的圆心坐标为(－k，－1)，
因为点M，N在圆x2＋y2＋2kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，
所以直线x－y＋1＝0经过圆心，
所以－k＋1＋1＝0⇒k＝2，
所以圆的方程为x2＋y2＋4x＋2y－4＝0，即(x＋2)2＋(x＋1)2＝9，圆的半径为3.
6．已知点P是圆C：x2＋y2＋2y＝0上一点，则点P到直线l：2x－y＋4＝0的距离的最大值为(　　)
A．2 B.＋2　C.＋1 D.－1
答案　C
解析　由圆C：x2＋y2＋2y＝0，可得圆心坐标C(0，－1)，半径r＝1，则圆心C到直线l的距离为＝，所以点P到直线l的距离的最大值为＋1.
7．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线交抛物线C于A，B，以AF为直径的圆过点(0，2)，则直线AB的斜率为(　　)
A. B.　C. D.
答案　A
解析　由抛物线C：y2＝4x可得焦点为F(1，0)，设A(x1，y1)，
由抛物线的定义可得|AF|＝x1＋＝x1＋1，AF的中点为，
所以以AF为直径的圆的方程为2＋2＝2，
因为以AF为直径的圆过点(0，2)，
所以2＋2＝2，可得y1＝4，所以x1＝4，
所以点A(4，4)，所以直线AB的斜率为＝.
8．(2022·苏州质检)设点A，B分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点M，N分别在双曲线C的左、右支上，若＝5，2＝·，且||0)的焦距为2，且长轴长与短轴长之比为∶1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若不与坐标轴平行的直线l与椭圆相切于点P，O为坐标原点，求直线OP与直线l的斜率之积．
解　(1)设椭圆的焦距为2c，则2c＝2，且＝，又a2＝b2＋c2，
解得a2＝2，b2＝1，
所以所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)由题意，可设l的方程为y＝kx＋m (k存在且k≠0)，
与椭圆C联立消去y，可得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
由直线l与椭圆C相切，可设切点为P(x0，y0)，
由判别式Δ＝(4km)2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0，整理得m2＝1＋2k2.
解得x0＝－，y0＝，因此，直线OP的斜率为kOP＝－，
而直线l的斜率为k，
即直线OP与直线l的斜率之积为kOP·k＝－·k＝－.
20．(12分)已知双曲线C：x2－＝1，点P的坐标为(0，)，过P的直线l交双曲线C于点A，B.
(1)若直线l过C的左焦点F，求·的值；
(2)若点M的坐标为，求证：·为定值．
(1)解　由双曲线C：x2－＝1可得a＝1，b＝，
所以c＝＝＝，
所以F(－，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
kPF＝＝1，所以直线l的方程为y＝x＋，
由联立得x2－2x－5＝0，
所以x1＋x2＝2，x1x2＝－5，
·＝(＋x1)(＋x2)＋y1y2
＝2[(x1＋)(x2＋)]
＝2[x1x2＋(x1＋x2)＋3]
＝2×(－5＋×2＋3)＝8.
(2)证明　由题意知直线l的斜率存在，不妨设直线l：y＝kx＋，
由得(k2－2)x2＋2kx＋5＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，＝，＝，
·＝x1x2＋
＝x1x2＋
＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋
＝(1＋k2)·＋·＋＝.
所以·＝为定值．
21．(12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点(0，1)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点P(2，0)且不垂直于y轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若B点关于x轴的对称点为E，证明：直线AE与x轴相交于定点．
(1)解　由题意可知b＝1，e＝＝，a2＝b2＋c2，则解得a2＝2，
∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)证明　由题意可知直线l一定存在斜率，设斜率为k，直线l的方程为y＝k(x－2)，
联立消去y并化简得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0，
∵Δ＝(－8k2)2－4×(1＋2k2)×(8k2－2)>0，∴k20)，如图过P(2，－1)作抛物线的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，且直线AB的斜率为1.

(1)求p的值；
(2)直线l过点P与抛物线Г相交于C，D两点，与直线AB相交于点Q，若|PQ|2≤λ|PC|·|PD|恒成立，求λ的最小值．
解　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＝，y2＝，
由x2＝2py，得y＝， y′＝x，
切线PA的方程为y－＝(x－x1)，即y＝x－y1.
同理可得切线PB的方程为y＝x－y2，
因为P(2，－1)在切线PA，PB上，所以即
所以直线AB的方程为2x－py＋p＝0，
所以p＝2.
(2)由(1)得直线AB的方程为x－y＋1＝0，抛物线方程为x2＝4y，由题可知直线l的斜率存在，设斜率为k，则方程为y＝k(x－2)－1，
联立则xQ＝.
设C(x3，y3)，D(x4，y4)，
由得x2－4kx＋8k＋4＝0，
Δ＝16k2－4(8k＋4)>0，解得k1＋.
由根与系数的关系可得x3＋x4＝4k，x3x4＝8k＋4.
当k1＋时，x3，xQ，x4都大于2，
所以＋＝＋＝＋＝
＝＝＝2.
所以＋＝2>2，
所以|PQ|2|PQ|2，
故λ的最小值为1.