初中数学沪科版九年级上册22.3 相似三角形的性质第1课时教案

22.3相似三角形的性质

第1课时相似三角形性质定理1、2及其应用

教学目标

【知识与能力】

理解并掌握相似三角形的对应线段(高、中线、角平分线)之间的关系,理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比,掌握定理的证明方法,并能灵活运用相似三角形的判定定理和性质,提高分析和推理能力。

【过程与方法】

在对性质定理的探究中,学生经历“观察—猜想—论证—归纳”的过程,培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度,并在其中体会类比的数学思想,培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的数学品质,提高分析问题和解决问题的能力。

【情感态度价值观】

1.在学习和探讨的过程中,体验特殊到一般的认识规律.

2.通过学生之间的合作交流使学生体验到成功的喜悦,树立学好数学的自信心。

教学重难点

【教学重点】

相似三角形性质定理的探究及应用。

【教学难点】  

综合应用相似三角形的性质与判定定理探索相似三角形中对应线段之间的关系,理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比。

课前准备

课件、教具等。

教学过程

一、情境导入

在前面我们学习了相似多边形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，相似三角形是相似多边形中的一种，因此三对对应角相等，三对对应边成比例．那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将研究相似三角形的其他性质．

二、合作探究

探究点一：相似三角形性质定理1

【类型一】相似三角形对应高的比

例1  如图，△ABC中，DE∥BC，AH⊥BC于点H，AH交DE于点G.已知DE＝10，BC＝15，AG＝12.求GH的长．

解：∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC.

又∵AH⊥BC，DE∥BC，

∴AH⊥DE.

∴＝，即＝.

∴AH＝18.

∴GH＝AH－AG＝18－12＝6.

方法总结：利用相似三角形的性质：对应高的比等于相似比；将所求线段转化为求对应高的差．

【类型二】相似三角形对应角平分线的比

例2  两个相似三角形的两条对应边的长分别是6cm和8cm，如果它们对应的两条角平分线的和为42cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？

解：(方法一)设其中较短的角平分线的长为xcm，则另一条角平分线的长为(42－x)cm.

根据题意，得＝.解得x＝18.

所以42－x＝42－18＝24(cm)．

(方法二)设较短的角平分线长为xcm，则由相似性质有＝.解得x＝18.较长的角平分线长为24cm.

故这两条角平分线的长分别为18cm，24cm.

方法总结：在利用相似三角形的性质解题时，一定要注意“对应”二字，只有对应线段的比才等于相似比，而相似比即为对应边的比．列比例式时，尽可能回避复杂方程的变形．

【类型三】相似三角形对应中线的比

例3  已知△ABC∽△A′B′C′，＝，AB边上的中线CD＝4cm，求A′B′边上的中线C′D′的长．

解：∵△ABC∽△A′B′C′，CD是AB边上的中线，C′D′是A′B′边上的中线，

∴＝＝，

又∵CD＝4cm，

∴C′D′＝＝×4＝6(cm)．

即A′B′边上的中线C′D′的长是6cm.

方法总结：相似三角形对应中线的比等于相似比．

探究点二：相似三角形性质定理1的应用

例4  如图所示，路边有两根电线杆，分别在高为3m的A处和6m的C处用铁丝将两电线杆固定，求铁丝AD与铁丝BC的交点M距地面的高．

解析：如图所示，过点M作MH⊥BD于点H.由题意得AB∥MH∥CD，故△ABM∽△DCM，△BMH∽△BCD，故＝＝，＝，故MH可求．

解：过点M作MH⊥BD于点H，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴AB∥MH∥CD，∴△ABM∽△DCM，△BMH∽△BCD.∴＝＝＝，∴＝.又∵＝，∴＝，∴MH＝CD＝×6＝2(m)，即点M距地面的高为2m.

探究点三：相似三角形的周长比

例5 已知△ABC∽△A′B′C′，AD是△ABC的中线，A′D′是△A′B′C′的中线，若＝，且△A′B′C′的周长为20cm，求△ABC的周长．

解：因为△ABC∽△A′B′C′，所以它们周长的比等于它们的相似比，对应边中线的比等于相似比，即相似比k＝＝，＝.

已知△A′B′C′的周长为20cm，所以△ABC的周长为10cm.

易错提醒：在相似表达式△ABC∽△A′B′C′及对应中线比＝中，都是△ABC在前，△A′B′C′在后，而在解题时，△A′B′C′在前，△ABC在后，顺序已经不同了，所以相似比要随之调整或者直接把相关量代入关系式中求解．

三、板书设计

1．相似三角形中的对应线段之比：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．

2．相似三角形的周长之比等于相似比．

教学反思

通过探索相似三角形中对应线段和周长的比与相似比的关系，经历“观察－猜想－论证－归纳”的过程，渗透逻辑推理的方法，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度，并在其中体会类比的数学思想，培养学生大胆猜测、勇于探索、勤于思考的数学品质，提高分析问题和解决问题的能力．