【最新版】高中数学（新教材人教A版）培优综合检测二

这是一份【最新版】高中数学（新教材人教A版）培优综合检测二，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知复数z＝eq \f(1－i,2－i)，i为虚数单位，eq \x\t(z)是z的共轭复数，则eq \x\t(z)等于( )
A．eq \f(3,5)－eq \f(1,5)i B．eq \f(3,5)＋eq \f(1,5)i
C．－eq \f(3,5)＋eq \f(1,5)i D．－eq \f(3,5)－eq \f(1,5)i
答案 B
解析 z＝eq \f(1－i,2－i)＝eq \f(1－i2＋i,2－i2＋i)＝eq \f(2－i－i2,4－i2)，因为i2＝－1，所以z＝eq \f(3－i,5)＝eq \f(3,5)－eq \f(1,5)i，
故eq \x\t(z)＝eq \f(3,5)＋eq \f(1,5)i.
2．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|y＝x－1}，则集合A∩B的真子集的个数为( )
A．3 B．4 C．7 D．8
答案 A
解析 圆心(0，0)到直线y＝x－1的距离为d＝eq \f(1,\r(1＋1))＝eq \f(\r(2),2)0，b>0)的焦点在F1，过点F1的直线与两条渐近线的交点分别为M，N两点(点F1位于点M与点N之间)，且eq \(MN,\s\up6(→))＝3eq \(F1N,\s\up6(—→))，又过点F1作F1P⊥OM于P(点O为坐标原点)，且|ON|＝|OP|，则双曲线E的离心率e等于( )
A.eq \r(5) B.eq \r(3) C.eq \f(2\r(3),3) D.eq \f(\r(6),2)
答案 C
解析 由题意，可得示意图，如图所示．
其中|ON|＝|OP|，知△OPF1≌△ONF1，
又F1P⊥OM，eq \(MN,\s\up6(→))＝3eq \(F1N,\s\up6(—→))，即F1N⊥ON，且|F1N|＝|F1P|＝eq \f(|MN|,3)＝eq \f(|F1M|,2)，
∴在Rt△MPF1中，sin∠PMF1＝eq \f(|F1P|,|F1M|)＝eq \f(1,2)，
∴∠PMF1＝eq \f(π,6)，
∴在Rt△MNO中，∠MON＝eq \f(π,3)，若y＝eq \f(b,a)x与x轴的夹角为α，则2α＝eq \f(π,3)，即α＝eq \f(π,6)，
∴tan α＝eq \f(b,a)＝eq \f(\r(3),3)，由a2＋b2＝c2，即可得e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2\r(3),3).
8．(2022·吉林模拟)定义：若存在n个正数x1，x2，…，xn，使得f(－xi)＝－f(xi)(i＝1，2，…，n)，则称函数y＝f(x)为“n阶奇性函数”．若函数g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(mx＋m，x≤0，,xln x，x>0))是“2阶奇性函数”，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，0) B．(0，1)
C．(1，＋∞) D．(0，1)∪(1，＋∞)
答案 D
解析 依题意，方程g(－x)＝－g(x)有且只有两个正根，
即m(－x)＋m＝－xln x有且只有两个正根，
方程可以化为xln x＝m(x－1)，因此转化为
函数y＝xln x与y＝m(x－1)在y轴右侧的图象有两个交点，
先研究函数y＝xln x(x>0)的图象，
y′＝(xln x)′＝ln x＋1，
当00且m≠1.
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．(2022·武汉质检)某学校为了促进学生德、智、体、美、劳全面发展，制订了一套量化评价标准．下表是该校甲、乙两个班级在某次活动中的德、智、体、美、劳的评价得分(得分越高，说明该项教育越好)．下列说法正确的是( )
A．甲班五项得分的极差为1.5
B．甲班五项得分的平均数高于乙班五项得分的平均数
C．甲班五项得分的中位数大于乙班五项得分的中位数
D．甲班五项得分的方差小于乙班五项得分的方差
答案 AC
解析 甲班的极差为9.5－8＝1.5，故A正确；
甲班的平均数为eq \f(9.5＋9.5＋9＋9.5＋8,5)＝9.1，
乙班的平均数为eq \f(9.5＋9＋9.5＋9＋8.5,5)＝9.1，故B错误；
甲班的成绩从低到高排列为8，9，9.5，9.5，9.5，中位数为9.5，
乙班的成绩从低到高排列为8.5，9，9，9.5，9.5，中位数为9，故C正确；
甲班的成绩的方差为M＝eq \f(1,5)×(0.42＋0.42＋0.12＋0.42＋1.12)，
乙班的成绩的方差为N＝eq \f(1,5)×(0.42＋0.12＋0.42＋0.12＋0.62)，
M－N＝eq \f(1,5)×(0.42＋1.12－0.12－0.62)>0，
故D错误．
10．已知数列{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确的是( )
A．若Sn＝n2－1，则{an}是等差数列
B．若Sn＝2n－1，则{an}是等比数列
C．若{an}是等差数列，则S99＝99a50
D．若{an}是等比数列，且a1>0，q>0，则S2n－1·S2n＋1>Seq \\al(2,2n)
答案 BC
解析 对于A选项，若Sn＝n2－1，当n≥2时，an＝2n－1，a1＝0不满足an＝2n－1，故A错误；
对于B选项，若Sn＝2n－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，
由于a1＝21－1＝1满足an＝2n－1，
所以{an}是等比数列，故B正确；
对于C选项，若{an}是等差数列，
则S99＝eq \f(99a1＋a99,2)＝99a50，故C正确；
对于D选项，当n＝1时，S1·S3－Seq \\al(2,2)＝aeq \\al(2,1)(1＋q＋q2)－aeq \\al(2,1)(1＋q)2＝－aeq \\al(2,1)qSeq \\al(2,2n)不成立，所以D错误．
11．(2022·湛江模拟)在梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC＝2CB，将△BDC沿BD折起，使C到C′的位置(C与C′不重合)，E，F分别为线段AB，AC′的中点，H在直线DC′上，那么在翻折的过程中( )
A．DC′与平面ABD所成角的最大值为eq \f(π,6)
B．F在以E为圆心的一个定圆上
C．若BH丄平面ADC′，则eq \(DH,\s\up6(→))＝3eq \(C′H,\s\up6(——→))
D．当AD丄平面BDC′时，四面体C′－ABD的体积取得最大值
答案 ACD
解析 如图，在梯形ABCD中，
因为AB∥CD，AB＝2AD＝2DC＝2CB，E是AB的中点，
所以CD∥BE，CD＝BE，
所以四边形BCDE是平行四边形，
所以BC＝DE，所以DE＝eq \f(1,2)AB，
故AD⊥BD，∠BDC＝∠DBC＝eq \f(π,6).
在将△BDC沿BD翻折至△BDC′的过程中，∠BDC，∠DBC的大小保持不变，
由线面角的定义可知，DC′与平面ABD所成角的最大值为eq \f(π,6)，故A正确．
因为∠DBC大小不变，所以在翻折的过程中，C′的轨迹在以BD为轴的一个圆锥的底面圆周上，而EF是△ABC′的中位线，
所以点F的轨迹在一个圆锥的底面圆周上，但此圆的圆心不是点E，故B不正确．
当BH⊥平面ADC′时，BH⊥DH.
因为∠HC′B＝eq \f(π,3)，
所以DC′＝BC′＝2C′H，
所以eq \(DH,\s\up6(→))＝3eq \(C′H,\s\up6(——→))，故C正确．
在翻折的过程中，△BDC′的面积不变，
所以当AD⊥平面BDC′时，四面体C′－ABD的体积取得最大值，故D正确．
12．(2022·长沙长郡中学模拟)数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素．如我们熟悉的∞符号，我们把形状类似∞的曲线称为“∞曲线”．在平面直角坐标系Oxy中，把到定点F1(－a，0)，F2(a，0)的距离之积等于a2(a>0)的点的轨迹称为“∞曲线”C.已知点P(x0，y0)是“∞曲线”C上一点，下列说法中正确的有( )
A．“∞曲线”C关于原点O中心对称
B．－eq \f(a,2)≤y0≤eq \f(a,2)
C．“∞曲线”C上满足|PF1|＝|PF2|的点P有两个
D．eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PO))的最大值为eq \r(2)a
答案 ABD
解析 对于A，设动点C(x，y)，可得C的轨迹方程为eq \r(x－a2＋y2)·eq \r(x＋a2＋y2)＝a2，
把(x，y)关于原点O对称的点(－x，－y)代入轨迹方程，显然成立；
对于B，因为P(x0，y0)，故＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝eq \f(1,2)|F1F2|·|y0|，
又|PF1|·|PF2|＝a2，所以a2sin∠F1PF2＝2a·|y0|，
即|y0|＝eq \f(a,2)sin∠F1PF2≤eq \f(a,2)，故－eq \f(a,2)≤y0≤eq \f(a,2)，故B正确；
对于C，若|PF1|＝|PF2|，则P(x0，y0)在F1F2的中垂线即y轴上．
故此时x0＝0，
代入eq \r(x－a2＋y2)·eq \r(x＋a2＋y2)＝a2，
可得y0＝0，即P(0，0)，仅有一个，故C错误；
对于D，因为∠POF1＋∠POF2＝π，
故cs∠POF1＋cs∠POF2＝0，
eq \f(|OP|2＋|OF1|2－|PF1|2,2|OP||OF1|)＋eq \f(|OP|2＋|OF2|2－|PF2|2,2|OP||OF2|)＝0，
因为|OF1|＝|OF2|＝a，|PF1||PF2|＝a2，故2|OP|2＋2a2＝|PF1|2＋|PF2|2.
即2|OP|2＋2a2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|，所以2|OP|2＝(|PF1|－|PF2|)2.
又||PF1|－|PF2||≤|F1F2|＝2a，当且仅当P，F1，F2共线时取等号．
故2|OP|2＝(|PF1|－|PF2|)2≤(2a)2，
即|OP|2≤2a2，解得|OP|≤eq \r(2)a，故D正确．
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．(2022·济南模拟)已知向量a与向量b夹角为60°，且|a|＝1，b＝(3，4)，要使2a＋λb与a垂直，则λ＝________.
答案 －eq \f(4,5)
解析 因为2a＋λb与a垂直，
则(2a＋λb)·a＝2a2＋λa·b＝2×1＋λeq \r(32＋42)×cs 60°＝0，
解得λ＝－eq \f(4,5).
14．(2022·无锡模拟)某学科视导团有三名男专家和两名女专家，安排到五所学校进行教学视导，这五所学校中省级重点中学有三所，省级建设重点中学有两所，要求每所学校各派一位专家，两类学校都要有男专家，则不同的分派方案有________种(结果用数字作答)．
答案 108
解析 两类学校都要有男专家，则不同的分派方案有Aeq \\al(5,5)－Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,2)＝120－12＝108(种)．
15．变径圆弧螺旋线是以不同半径的圆弧连接而成的螺旋线，这种螺旋线极具美感．图1是鹦鹉螺的截面，其轮廓是等比变径圆弧螺旋线(半径构成等比数列)，图2是一段等差变径圆弧螺旋线(半径构成等差数列)，其中ABCDEF是边长为1的正六边形，弧FA1是以A为圆心，AF为半径的圆弧，弧A1B1是以B为圆心，BB1为半径的圆弧，弧B1C1是以C为圆心，CC1为半径的圆弧，依次类推，已知各圆弧的圆心角均等于正六边形的外角，则弧E1F1的长为________．
图1 图2
答案 2π
解析 由题意知，AB＝AF＝AA1＝1，
故BB1＝A1B＝2，
又因为图2是一段等差变径圆弧螺旋线，
所以公差d＝2－1＝1，
故FE1＝AF＋5d＝6，
又正六边形的外角等于60°，
所以∠E1FF1＝60°，
所以的长l＝6×eq \f(π,3)＝2π.
16．(2022·湘潭模拟)已知点A(1，0)和B(2，m)，点M(x，y)是函数y＝ln x图象上的一个动点，若对于任意的点M(x，y)，不等式eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OM,\s\up6(→))≥eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))(其中O是坐标原点)恒成立，则实数m＝________.
答案 －2
解析 由题意，eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝2，eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OM,\s\up6(→))＝2x＋my，所以2x＋my≥2恒成立，因为点M(x，y)是函数y＝ln x图象上的一个动点，所以2x＋mln x－2≥0恒成立，令f(x)＝2x＋mln x－2(x>0)，所以f′(x)＝2＋eq \f(m,x)＝eq \f(2x＋m,x)，当m≥0时，f′(x)>0，函数在(0，＋∞)上单调递增，无最小值；当m0，则x>－eq \f(m,2)；令f′(x)