【最新版】高中数学高三培优小题练第72练　直线与椭圆的位置关系

这是一份【最新版】高中数学高三培优小题练第72练　直线与椭圆的位置关系，共7页。试卷主要包含了已知椭圆C，已知椭圆E等内容，欢迎下载使用。
考点一 直线与椭圆的公共点问题
1．已知直线2kx－y＋1＝0与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,m)＝1恒有公共点，则实数m的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，9)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，＋∞))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，9))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(9，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(9，＋∞))
答案 C
解析 直线2kx－y＋1＝0恒过定点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1))，
直线2kx－y＋1＝0与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,m)＝1恒有公共点，即点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1))在椭圆内或椭圆上，
∴eq \f(0,9)＋eq \f(1,m)≤1，即m≥1，又m≠9，
∴1≤m9.
2．(2022·合肥模拟)曲线y＝eq \r(1－\f(x2,4))与直线y＝2x＋m有且只有一个公共点，则实数m的取值范围是________________．
答案 －4≤m0)相交于A，B两点，若椭圆的离心率为eq \f(\r(2),2)，焦距为2，则线段AB的长是( )
A.eq \f(2\r(2),3) B．2 C.eq \r(2) D.eq \f(4\r(2),3)
答案 D
解析 由题意得椭圆方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,2)＋y2＝1，,y＝－x＋1，))化简得3x2－4x＝0，
得x＝0或x＝eq \f(4,3)，代入直线方程得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(4,3)，,y＝－\f(1,3)，))
不妨令A(0,1)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，－\f(1,3)))，
所以|AB|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)－0))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)－1))2)＝eq \f(4\r(2),3).
4．已知椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若斜率为－1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D，且eq \f(|CD|,|AB|)＝eq \f(8\r(3),7)，则直线l的方程为______________．
答案 y＝－x±eq \f(\r(3),3)
解析 设直线l的方程为y＝－x＋m，
由题意知F1，F2的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，
所以以线段F1F2为直径的圆为x2＋y2＝1，
由题意知圆心(0,0)到直线l的距离d＝eq \f(|－m|,\r(2))0)的右焦点F，与椭圆交于A，B两点，且eq \(AF,\s\up6(→))＝2eq \(FB,\s\up6(→))，则该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),3) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),3)
答案 B
解析 由题意可知，直线的方程为y＝x－c，与椭圆方程联立得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,y＝x－c，))所以(b2＋a2)y2＋2b2cy－b4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＋y2＝\f(－2b2c,a2＋b2)，,y1y2＝\f(－b4,a2＋b2)，))又eq \(AF,\s\up6(→))＝2eq \(FB,\s\up6(→))，所以(c－x1，－y1)＝2(x2－c，y2)，所以－y1＝2y2，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－y2＝\f(－2b2c,a2＋b2)，,－2y\\al(2,2)＝\f(－b4,a2＋b2)，))所以eq \f(1,2)＝eq \f(4c2,a2＋b2)，即9c2＝2a2，所以e＝eq \f(\r(2),3).
11．若直线mx＋ny＝4与圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的交点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．0或1
答案 C
解析 因为直线与圆没有交点，所以eq \f(4,\r(m2＋n2))>2，所以m2＋n2