【最新版】高中数学高三培优小题练第78练　高考大题突破练——范围与最值问题

这是一份【最新版】高中数学高三培优小题练第78练　高考大题突破练——范围与最值问题，共5页。试卷主要包含了 已知双曲线C等内容，欢迎下载使用。
考点一 范围问题
1. 已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，右顶点为A(1,0)，点P是其渐近线上的一点，且以PF为直径的圆过点A，|PO|＝2，点O为坐标原点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)当点P在x轴上方时，过点P作y轴的垂线与y轴相交于点B，设直线l：y＝kx＋m(km≠0)与双曲线C相交于不同的两点M，N，若|BM|＝|BN|，求实数m的取值范围．
解 (1)∵F(－c,0)，A(a,0)，双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，
以PF为直径的圆过点A，∴PA⊥AF，
不妨取点P在y＝eq \f(b,a)x上，设点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t，\f(b,a)t))，eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－a，\f(bt,a)))，eq \(FA,\s\up6(→))＝(a＋c,0)，
∵PA⊥AF，则eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(FA,\s\up6(→))＝(t－a)(a＋c)＝0，可得t＝a，则点P(a，b)，
∵|PO|＝2，则a2＋b2＝4，
∵a＝1，则b2＝3，
∴双曲线C的标准方程为x2－eq \f(y2,3)＝1.
(2)由题意可知B(0，eq \r(3))，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
线段MN的中点为Q(x0，y0)，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,x2－\f(y2,3)＝1，))得(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0，
依题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－k2≠0，,Δ＝－2km2－43－k2－m2－3>0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－k2≠0，,3＋m2－k2>0，))①
由根与系数的关系可得x1＋x2＝eq \f(2km,3－k2)，x1x2＝－eq \f(m2＋3,3－k2)，
则x0＝eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(km,3－k2)，y0＝kx0＋m＝eq \f(3m,3－k2)，
∵|BM|＝|BN|，
∴BQ⊥MN，
∴kBQ＝eq \f(y0－\r(3),x0)＝eq \f(\f(3m,3－k2)－\r(3),\f(km,3－k2))＝－eq \f(1,k)，
∴3－k2＝eq \f(4\r(3),3)m，②
又k2＝3－eq \f(4\r(3),3)m>0，③
由①②③得m0)的焦点为F，过点F与x轴垂直的直线交抛物线的弦长为2.
(1)求抛物线N的方程；
(2)点M(2,2)和点C(2,1)为两定点，点A和点B为抛物线N上的两动点，线段AB的中点Q在直线OM上(O为坐标原点)，求△ABC面积的最大值．
解 (1)由题意得抛物线N的焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，
在方程y2＝2px中，令x＝eq \f(p,2)，可得y＝±p，
所以弦长为2p，即2p＝2，解得p＝1，
所以抛物线N的方程为y2＝2x.
(2)由(1)知抛物线N的方程为y2＝2x，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，
因为线段AB的中点Q在直线OM上，
由M(2,2)可知直线OM的方程为y＝x，
设Q(m，m)(m≠0)，又A，B在抛物线N上，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y\\al(2,1)＝2x1，,y\\al(2,2)＝2x2，))
所以(y1－y2)(y1＋y2)＝2(x1－x2)，
又y1＋y2＝2m，eq \f(y1－y2,x1－x2)＝k，
所以km＝1，即得k＝eq \f(1,m)，
设直线AB的方程为y－m＝eq \f(1,m)(x－m)，
即x－my＋m2－m＝0，联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－my＋m2－m＝0，,y2＝2x，))
整理得y2－2my＋2m2－2m＝0，
所以Δ＝8m－4m2>0，即0