【最新版】高中数学高三培优小题练第59练　直线、平面垂直的判定与性质

这是一份【最新版】高中数学高三培优小题练第59练　直线、平面垂直的判定与性质，共8页。试卷主要包含了下列说法中，正确的有，下列命题正确的个数是等内容，欢迎下载使用。
考点一 直线与平面垂直的判定与性质
1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是( )
A．α∥β，且m⊂α
B．m∥n，且n⊥β
C．m⊥n，且n⊂β
D．m⊥n，且n∥β
答案 B
解析 A中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，符合题意；C，D中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意．
2．下列说法中，正确的有( )
①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直；
②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直；
③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面；
④垂直于角的两边的直线必垂直于角所在的平面；
⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
答案 B
解析 ①④不正确，其他三项均正确．
3.(2022·成都质检)如图所示，PA垂直于以AB为直径的圆O所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系中不正确的是( )
A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC
C．AC⊥PB D．PC⊥BC
答案 C
解析 因为PA垂直于以AB为直径的圆O所在的平面，
即PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，A正确；
又C为圆上异于A，B的任一点，所以BC⊥AC，
又因为PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，
所以BC⊥平面PAC，又因为PC⊂平面PAC，所以BC⊥PC，B，D均正确，故选C.
4．如图，设平面α∩β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是( )
A．EF⊥平面α B．EF⊥平面β
C．PQ⊥GE D．PQ⊥FH
答案 B
解析 因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，
所以EG⊥PQ.
若EF⊥平面β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ.
又EG与EF为相交直线，且EG⊥平面α，FH⊥平面α，则EG∥FH，
所以E，F，H，G四点共面，
所以PQ⊥平面EFHG，
因为GH⊂平面EFHG，
所以PQ⊥GH.
5．(2022·四川省眉山第一中学模拟)在三棱锥P－ABC中，点O是点P在底面ABC内的射影．若PA⊥BC，PB⊥AC，则O是△ABC的________心．
答案 垂
解析 连接AO，BO，如图所示，
因为O是点P在底面ABC内的射影，所以PO⊥平面ABC，
因为AC⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以PO⊥AC，PO⊥BC，
又因为PA⊥BC，PB⊥AC，且PA∩PO＝P，PB∩PO＝P，
所以BC⊥平面PAO，AC⊥平面PBO，
因为AO⊂平面PAO，BO⊂平面PBO，
所以BC⊥AO，AC⊥BO，
从而O是△ABC的垂心．
考点二 平面与平面垂直的判定与性质
6．设α，β，γ为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则其中正确命题的序号为( )
①α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β；③m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m，则m⊥γ.
A．①③ B．②③
C．②④ D．③④
答案 D
解析 对于①，α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故①错误；
对于②，α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m与β相交、平行或m⊂β，故②错误；
对于③，m⊥α，n⊥β，m⊥n，则由线面垂直的性质和面面垂直的判定定理得α⊥β，故③正确；
对于④，α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m，则由面面垂直的性质和线面垂直的判定定理得m⊥γ，故④正确．
7．(2022·银川模拟)如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是( )
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面BCD⊥平面ABD
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE
答案 C
解析 因为AB＝BC，且E是AC的中点，
所以BE⊥AC，
同理DE⊥AC，
由于DE∩BE＝E，DE，BE⊂平面BDE，所以AC⊥平面BDE，
因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE，
又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.
8．下列命题正确的个数是( )
①若平面α⊥平面β，则平面α内所有直线都垂直于平面β；
②若平面α⊥平面β，则平面α内一定存在直线垂直于平面β；
③若平面α不垂直于平面β，则平面α内一定不存在直线垂直于平面β；
④若平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，则l⊥γ.
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 对于①，若平面α⊥平面β，则平面α内存在直线不垂直于平面β，命题错误；对于②，若平面α⊥平面β，则平面α内一定存在直线垂直于平面β，如平面α内垂直于两平面交线的直线，命题正确；对于③，若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定有平面α垂直于平面β，与平面α不垂直于平面β矛盾，所以若平面α不垂直于平面β，则平面α内一定不存在直线垂直于平面β，命题正确；对于④，若平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，如图，
设α∩γ＝a，β∩γ＝b，在γ内直线a，b外任取一点O，作OA⊥a，交点为A，作OB⊥b，交点为B，因为平面α⊥平面γ，所以OA⊥α，又l⊂α，所以OA⊥l，同理可得OB⊥l，因为OA∩OB＝O，且OA⊂γ，OB⊂γ，所以l⊥γ，命题正确．
9.如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，又BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H一定在( )
A．直线AC上
B．直线AB上
C．直线BC上
D．△ABC的内部
答案 B
解析 ∵在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC.又∵BC1⊥AC，BC1∩AB＝B，BC1，AB⊂平面ABC1，
∴AC⊥平面ABC1，∴平面ABC⊥平面ABC1，
∴过C1作C1H⊥底面ABC，则C1H⊂平面ABC1，
∴点H一定在平面ABC与平面ABC1的交线AB上．
10．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图在堑堵ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，且AA1＝AB＝2.下列说法不正确的是( )
A．四棱锥B－A1ACC1为“阳马”
B．四面体A1C1CB为“鳖臑”
C．过A点分别作AE⊥A1C于点E，AF⊥A1B于点F，则EF⊥A1B
D．四棱锥B－A1ACC1体积的最大值为eq \f(2,3)
答案 D
解析 对于A，如图1，
图1
在堑堵ABC－A1B1C1中，由题意，CC1⊥平面ABC，则CC1⊥BC，又AC⊥BC，而CC1∩AC＝C，CC1，AC⊂平面ACC1A1，所以BC⊥平面ACC1A1，故A正确；
对于B，如图2，
图2
在四面体A1C1CB中，根据A中的推理有BC⊥平面ACC1A1，可知BC⊥A1C，BC⊥CC1，
由AC⊥BC，A1C1∥AC⇒A1C1⊥BC，又CC1⊥平面A1B1C1，所以A1C1⊥CC1，而CC1∩BC＝C，CC1，BC⊂平面BCC1，
所以A1C1⊥平面BCC1，所以A1C1⊥BC1，则B正确；
对于C，如图3，
图3
根据A中的推理有BC⊥平面ACC1A1，AE⊂平面ACC1A1，所以BC⊥AE，又AE⊥A1C，而BC∩A1C＝C，BC，A1C⊂平面A1BC，
所以AE⊥平面A1BC，则AE⊥A1B，而AF⊥A1B，且AE∩AF＝A，AE，AF⊂平面AEF，
所以A1B⊥平面AEF，于是A1B⊥EF，故C正确；
对于D，＝eq \f(1,3)××BC，因为AA1＝AB＝2，所以 ＝eq \f(2,3)×AC×BC，
因为AC⊥BC，由勾股定理，得AC＝BC＝eq \r(2)，则＝eq \f(4,3)>eq \f(2,3)，故D错误．
11．(2022·保定模拟)如图，在下列4个正方体中，点A，B，M，N，Q分别为正方体的顶点或所在棱的中点，则在这4个正方体中，满足直线AB⊥平面MNQ的个数为( )
图1 图2 图3 图4
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 对于图1，如图，连接BC.因为BC⊥MN，AC⊥MN，BC，AC⊂平面ABC，BC∩AC＝C，所以MN⊥平面ABC，从而MN⊥AB.同理可得NQ⊥AB.因为MN，NQ⊂平面MNQ，MN∩NQ＝N，所以AB⊥平面MNQ.
对于图2，因为NQ⊥AB，MN⊥AB，MN，NQ⊂平面MNQ，MN∩NQ＝N，所以AB⊥平面MNQ.
对于图3，因为AB与MQ不垂直，所以AB与平面MNQ不垂直．
对于图4，因为AB与NQ不垂直，所以AB与平面MNQ不垂直．
故满足直线AB⊥平面MNQ的个数为2.
12．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝eq \f(1,2)，则下列结论中不正确的是( )
A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A－BEF的体积为定值
D．△AEF的面积与△BEF的面积相等
答案 D
解析 如图，连接BD，则AC⊥平面BB1D1D，BD∥B1D1，
∴AC⊥BE，EF∥平面ABCD，三棱锥A－BEF的体积为定值，
从而A，B，C正确．
∵点A，B到直线B1D1的距离不相等，
∴△AEF的面积与△BEF的面积不相等，
故D错误．
13．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2，BB1＝3，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.
答案 1或2
解析 由已知得B1D⊥平面ACC1A1，又CF⊂平面ACC1A1，所以B1D⊥CF，
若CF⊥平面B1DF，则必有CF⊥DF，
设AF＝x(0