【最新版】高中数学高三培优小题练第48练　推理与证明

这是一份【最新版】高中数学高三培优小题练第48练　推理与证明，共6页。试卷主要包含了下列证明中更适合用反证法的是等内容，欢迎下载使用。
考点一 合情推理与演绎推理
1．正切函数是奇函数，f(x)＝tan(x2＋2)是正切函数，因此f(x)＝tan(x2＋2)是奇函数，以上推理( )
A．结论正确 B．大前提不正确
C．小前提不正确 D．以上均不正确
答案 C
解析 大前提：正切函数是奇函数，正确；
小前提：f(x)＝tan(x2＋2)是正切函数，因为该函数为复合函数，故错误；
结论：f(x)＝tan(x2＋2)是奇函数，该函数为偶函数，故错误．
结合三段论可得小前提不正确．
2．已知 eq \r(2＋\f(2,3))＝2eq \r(\f(2,3))， eq \r(3＋\f(3,8))＝3eq \r(\f(3,8))， eq \r(4＋\f(4,15))＝4eq \r(\f(4,15))，…，依此规律，若 eq \r(9＋\f(b,a))＝9eq \r(\f(b,a))，则a＋2b的值是( )
A．79 B．81 C．100 D．98
答案 D
解析 由eq \r(2＋\f(2,3))＝2eq \r(\f(2,3))，eq \r(3＋\f(3,8))＝3eq \r(\f(3,8))，eq \r(4＋\f(4,15))＝4eq \r(\f(4,15))，…，
依此规律eq \r(n＋\f(n,n2－1))＝neq \r(\f(n,n2－1))，n≥2，
则eq \r(9＋\f(b,a))＝9eq \r(\f(b,a))，可得b＝9，a＝92－1＝80，故a＋2b＝80＋18＝98.
3．某校有A，B，C，D四件作品参加航模类作品比赛．已知这四件作品中恰有两件获奖．在结果揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品的获奖情况预测如下：
甲说：“A，B同时获奖”；
乙说：“B，D不可能同时获奖”；
丙说：“C获奖”；
丁说：“A，C至少一件获奖”．
如果以上四位同学中有且只有两位同学的预测是正确的，则获奖的作品是( )
A．作品A与作品B B．作品B与作品C
C．作品C与作品D D．作品A与作品D
答案 D
解析 根据题意，对A，B，C，D四个作品进行评奖，有两件获奖，
且有且只有两位同学的预测是正确的，
若作品A与作品B获奖，则甲、乙、丁是正确的，丙是错误的，不符合题意；
若作品B与作品C获奖，则乙、丙、丁是正确的，甲是错误的，不符合题意；
若作品C与作品D获奖，则乙、丙、丁是正确的，甲是错误的，不符合题意；
只有作品A与作品D获奖，则乙、丁是正确的，甲、丙是错误的，符合题意，
综上所述，获奖作品为作品A与作品D.
4．已知圆的方程是x2＋y2＝r2，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2，类比上述方法可以得到椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1类似的性质为________________．
答案 eq \f(x0x,a2)＋eq \f(y0y,b2)＝1
解析 类比过圆上一点的切线方程，可合情推理过椭圆 eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)处的切线方程为eq \f(x0x,a2)＋eq \f(y0y,b2)＝1.
考点二 间接证明与直接证明
5．用反证法证明命题“已知a，b∈N*，如果ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )
A．a，b都能被5整除
B．a，b都不能被5整除
C．a，b不都能被5整除
D．a不能被5整除
答案 B
解析 由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证，“a，b中至少有一个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”．
6．下列证明中更适合用反证法的是( )
A．证明eq \f(1,1×2)＋eq \f(1,2×3)＋…＋eq \f(1,n×n＋1)＝eq \f(n,n＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n∈N*))
B．证明eq \r(2)是无理数
C．证明cs4x－sin4x＝cs 2x
D．已知eq \f(1－tan x,2＋tan x)＝1，证明3sin 2x＝－4cs 2x
答案 B
解析 选项A，可得eq \f(1,1×2)＋eq \f(1,2×3)＋…＋eq \f(1,n×n＋1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…－\f(1,n＋1)))＝eq \f(n,n＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n∈N*))，适合直接证明；
选项B并不适合直接证明，适合反证法；
选项C，可得cs4x－sin4x＝(cs2x＋sin2x)·(cs2x－sin2x)＝cs 2x，适合直接证明；
选项D，可得tan x＝－eq \f(1,2)，将右边式子化简可得证明，也适合直接证明，
所以选项B的证明更适合用反证法．
7．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证eq \r(b2－ac)0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－3b)(b－c)>0
答案 C
解析 由a>b>c，且a＋b＋c＝0可得b＝－a－c，a>0，c0，
即证(a－c)(a－b)>0.
故求证“eq \r(b2－ac)0.
考点三 数学归纳法
8．利用数学归纳法证明“1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,2n－1)1)”的过程中，由假设“n＝k”成立，推导“n＝k＋1”也成立时，左边应增加的项数是( )
A．k B．k＋1 C．2k D．2k＋1
答案 C
解析 利用数学归纳法证明“1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,2n－1)1)”的过程中，假设“n＝k”成立，1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,2k－1)1)；当n＝k＋1时，
左边为1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,2k－1)＋eq \f(1,2k)＋eq \f(1,2k＋1)＋…＋eq \f(1,2k＋2k－1)1)，
故增加的项数为2k项．
9．对于不等式eq \r(n2＋n)