【最新版】高中数学高三培优小题练第30练　简单的三角恒等变换

这是一份【最新版】高中数学高三培优小题练第30练　简单的三角恒等变换，共7页。试卷主要包含了计算等内容，欢迎下载使用。
第30练　简单的三角恒等变换考点一　三角函数式的化简1．已知角α是第二象限角，则＋等于(　　)A．sin α＋cos α   B．sin α－3cos αC．3cos α－sin α   D．sin α－cos α答案　B解析　＋＝＋＝＋＝|sin α－cos α|＋2|cos α|，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以原式＝sin α－cos α－2cos α＝sin α－3cos α.2．设α∈，β∈(0，π)，若＝，则(　　)A．α＋β＝   B．α＋β＝πC．α－β＝   D．β－α＝答案　D解析　由＝，得(1＋sin α)(1＋cos β)＝(1－cos β)(1－sin α)，化简得sin α＋cos β＝0，∴sin α＝－cos β＝－sin＝sin，∵0<β<π，∴－<β－<，又0<α<，∴α＝β－，∴β－α＝.3．计算：＝______.答案　－4解析　原式＝＝＝＝＝－4. 考点二　三角函数式的求值4．已知α∈(0，π)，sin α＋2cos α＝2，则tan 等于(　　)A.  B.  C.  D.答案　B解析　因为α∈(0，π)，则∈，所以sin >0，因为sin α＋2cos α＝2sin cos ＋2－4sin2＝2，所以sin cos ＝2sin2，因为sin ≠0，故2sin ＝cos ，可得tan ＝.5．已知sin θ－cos θ＝，则cos2等于(　　)A.  B.  C.  D.答案　B解析　由sin θ－cos θ＝两边平方得，sin2θ－2sin θcos θ＋cos2θ＝，所以2sin θcos θ＝，即sin 2θ＝，所以cos2＝＝＝.6．已知tan＝－2，则等于(　　)A．2  B.  C．－2  D．－答案　D解析　由题意得tan＝＝－2，所以＝＝＝＝－.7．已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是(　　)A．cos(β－α)＝－   B．cos(β－α)＝C．β－α＝－   D．β－α＝答案　D解析　由题意知，sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β，将两式分别平方相加，得1＝(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝2－2(sin βsin α＋cos βcos α)＝2－2cos(β－α)，∴cos(β－α)＝，故选项A，B错误；∵α，β，γ∈，∴sin γ＝sin β－sin α>0，∴β>α，又α，β∈，∴0<β－α<，∴β－α＝，故选项D正确，C错误． 考点三　三角函数公式的综合应用8．已知函数f(x)＝sin x·sin－，则f(x)的值不可能是(　　)A．－  B.  C．0  D．2答案　D解析　∵f(x)＝sin x·sin－＝sin x－＝sin2x＋sin xcos x－＝·＋sin 2x－＝sin 2x－cos 2x＝sin.∴f(x)∈.9．如图，点A为单位圆上一点， ∠xOA＝，点A沿单位圆逆时针方向旋转角α到点B，则cos α等于(　　)A.   B.C.   D.答案　A解析　由题意得cos＝－，sin＝，∴cos α＝cos＝cos＋sin＝×＋×＝.10．已知函数y＝lg的零点是x1＝tan α和x2＝tan β(α，β均为锐角)，则α＋β等于(　　)A.   B.C.   D.答案　B解析　y＝lg的零点是方程x2－x＋＝1的解，即x2－x＋＝0.tan α＋tan β＝，tan α·tan β＝，α，β均为锐角，tan(α＋β)＝＝1，则α＋β＝ .11．已知sin α＝－，α∈，若＝2，则tan(α＋β)等于(　　)A.  B.  C.  D.答案　C解析　∵sin α＝－，α∈，∴cos α＝，又∵＝2，∴sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]．展开并整理，得cos(α＋β)＝sin(α＋β)，∴tan(α＋β)＝.12．(2022·武汉模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则等于(　　)A.  B.  C.  D．1答案　B解析　由O，A，B三点共线，从而得到b＝2a，因为cos 2α＝2cos2α－1＝2·2－1＝，解得a2＝，即＝，所以＝＝.13．曲线y＝f(x)＝ln x－在x＝1处的切线的倾斜角为α，则sin等于(　　)A.  B．－  C.  D．－答案　B解析　∵f＝ln x－，∴f′＝＋，∵y＝f在x＝1处的切线的倾斜角为α，f′＝3，∴tan α＝3,0<α<，又sin2α＋cos2α＝1，解得sin α＝，cos α＝，∴sin＝cos 2α＝cos2α－sin2α＝－.14．已知α∈，且2sin2α－sin αcos α－3cos2α＝0，则＝____.答案　解析　∵2sin2α－sin αcos α－3cos2α＝0，∴(2sin α－3cos α)(sin α＋cos α)＝0，又α∈，sin α＋cos α>0，∴2sin α＝3cos α，又sin2α＋cos2α＝1，∴cos α＝，sin α＝，∴＝＝＝.