【最新版】高中数学高三培优小题练第35练　正弦定理、余弦定理

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第35练　正弦定理、余弦定理考点一　利用正弦、余弦定理解三角形1．(2022·大连模拟)在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上一点，如图，∠BAD＝75°，DC＝1，AC＝，则AB等于(　　)A.  B.  C．2  D．3答案　B解析　∠ADC＝45°＋75°＝120°，在△ADC中，由余弦定理得AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos 120°，整理得AD2＋AD－6＝0，解得AD＝2，∠ADB＝60°，由正弦定理得＝，则AB＝＝＝.2．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，b＝2，且△ABC的面积为，则a的值为(　　)A．12  B．8  C．2  D．2答案　D解析　由题意可得，×b×c×sin A＝，即×2×c×＝，∴c＝2，又a2＝b2＋c2－2bccos A＝4＋4－8×＝12，∴a＝2.3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若bsin 2A＋asin B＝0，b＝c，则的值为(　　)A．1  B.  C.  D.答案　C解析　∵bsin 2A＋asin B＝0，∴由正弦定理得sin Bsin 2A＋sin Asin B＝0，即2sin Bsin Acos A＋sin Asin B＝0.由于sin Bsin A≠0，∴cos A＝－.∵0<A<π，∴A＝.又b＝c，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A＝2c2＋c2＋2c2＝5c2，∴＝. 考点二　正弦定理、余弦定理的应用4．(2022·太原模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B，A，C成等差数列，且b＝acos C＋accos A，则△ABC外接圆的面积为(　　)A.  B.  C．π  D.答案　A解析　因为B，A，C成等差数列，所以2A＝B＋C，则A＝，由正弦定理可知，sin B＝sin Acos C＋asin Ccos A，解得a＝1.所以△ABC外接圆的半径为＝，从而△ABC外接圆的面积为2π＝.5．(2022·洛阳模拟)在△ABC中，AD是角A的角平分线交BC于D，BC＝3，且AB＝2AC＝2AD，则△ABC的面积为(　　)A.  B.  C.  D.答案　C解析　设AD＝x，∠BAC＝2θ，根据三角形内角平分线性质定理，可知BD＝2，CD＝1，由余弦定理可得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos θ，∴4＝4x2＋x2－4x2cos θ，CD2＝AC2＋AD2－2AC·ADcos θ，∴1＝x2＋x2－2x2cos θ，消去θ可得，x＝，代回原式求出cos θ＝，由于2θ∈(0，π)，则sin θ>0，故sin θ＝，sin 2θ＝，∴△ABC的面积为x·2x·sin 2θ＝.6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若直线bx＋ycos A＋cos B＝0，ax＋ycos B＋cos A＝0平行，则△ABC一定是(　　)A．锐角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰或直角三角形答案　C解析　方法一　由两直线平行可得bcos B－acos A＝0，由正弦定理可知sin Bcos B－sin Acos A＝0，即sin 2A＝sin 2B，又A，B∈(0，π)，且A＋B∈(0，π)，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.若A＝B，则a＝b，cos A＝cos B，此时两直线重合，不符合题意，舍去，故A＋B＝，则△ABC是直角三角形．方法二　由两直线平行可得bcos B－acos A＝0，由余弦定理得a·＝b·，所以a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，所以c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，所以(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，所以a＝b或a2＋b2＝c2，若a＝b，则两直线重合，不符合题意，故a2＋b2＝c2.即△ABC为直角三角形．7．已知△ABC的三边a，b，c成等比数列，a，b，c所对的角依次为A，B，C，则sin B＋cos B的取值范围是(　　)A.   B.C.   D.答案　C解析　∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，∴cos B＝≥＝，当且仅当a＝c时取等号，∴B∈，∴sin B＋cos B＝sin，∵0<B≤，∴<B＋≤，∴1<sin≤.∴sin B＋cos B的取值范围是(1， ]． 考点三　解三角形应用举例8．(2022·西安模拟)一艘游船从海岛A出发，沿南偏东20°的方向航行8海里后到达海岛B，然后再从海岛B出发，沿北偏东40°的方向航行了16海里到达海岛C.若游船从海岛A出发沿直线到达海岛C，则航行的方向和路程(单位：海里)分别为(　　)A．北偏东50°，8海里B．北偏东70°，12海里C．北偏东70°，8D．北偏东50°，12海里答案　C解析　由题意知，在△ABC中，∠ABC＝20°＋40°＝60°，AB＝8海里，BC＝16海里，∴AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos ∠ABC＝82＋162－2×8×16×＝192，∴AC＝8海里，又＝，∴sin∠CAB＝1，∴∠CAB＝90°，∴航行的方向和路程分别为北偏东70°，8海里．9.(2022·武汉模拟)如图，为了测量B，C两点间的距离，选取同一平面上A，D两点，已知∠ADC＝90°，∠A＝60°，AB＝2，BD＝2，DC＝4，则BC的长为(　　)A．4  B．5  C．6  D．7答案　A解析　在△ABD中，由正弦定理可得＝，即＝，所以sin ∠ADB＝，又因为∠ADC＝90°，所以cos ∠BDC＝cos ＝sin ∠ADB＝.在△CBD中，由余弦定理可得BC2＝DC2＋BD2－2DC·BDcos ∠BDC，即BC2＝2＋2－2×4×2×＝48，所以BC＝4.10．(2021·全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(≈1.732)(　　)A．346  B．373  C．446  D．473答案　B解析　如图所示，根据题意过C作CE∥C′B′，交BB′于E，过B作BD∥A′B′，交AA′于D，则BE＝100，C′B′＝CE＝.在△A′B′C′中，∠C′A′B′＝75°，则BD＝A′B′＝.又在B点处测得A点的仰角为45°，所以AD＝BD＝，所以高度差AA′－CC′＝AD＋BE＝＋100＝＋100＝＋100＝＋100＝100(＋1)＋100≈373.11．如图所示，在△ABC中，已知∠A∶∠B＝1∶2，∠C的角平分线CD把三角形面积分为3∶2两部分，则cos A等于(　　)A.  B.  C.  D．0答案　C解析　∵CD为∠ACB的角平分线， ∴∠ACD＝∠BCD，∵＝＝＝，∴设AC＝3x，则CB＝2x，∵∠A∶∠B＝1∶2，设∠A＝α，∠B＝2α，在△ABC中，利用正弦定理＝＝，解得cos α＝，即cos A＝.12．(2022·河南省实验中学质检)“大玉米”是郑州新地标，被称为“中原第一高楼”，也被称为是世界上一座独一无二的标志性建筑．如图，它是圆柱塔式建筑，夜晚其布景灯采用黄色设计，外形宛如一根“大玉米”．某人在地面上点C处测得塔底B在南偏西70°，楼顶A的仰角为45°，此人沿南偏东50°方向前进280 m到点D，在点D处测得楼顶A的仰角为30°，按照此人的测量进行估算，则“大玉米”的高约为(　　)A．280 m   B．150 mC．290 m   D．170 m答案　A解析　如图所示，AB⊥平面BCD，其中∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，∠BCE＝70°，∠DCE＝50°.设塔高AB＝x，BC＝x，BD＝x，在△BCD中，由余弦定理得(x)2＝x2＋2802－2x·280 cos 120°整理得x2－140x－140×280＝0，解得x＝280或x＝－140(舍去)，所以“大玉米”的高约为280 m.13．已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝2且(2a－c)cos B＝bcos C，则△ABC面积的最大值为________．答案　3解析　由(2a－c)cos B＝bcos C得2acos B＝bcos C＋ccos B，由正弦定理得，2sin Acos B＝sin Bcos C＋sin Ccos B，即2sin Acos B＝sin(B＋C)，又∵A＝π－(B＋C)，∴2sin Acos B＝sin A，∵sin A≠0，∴cos B＝，又B∈(0，π)，∴B＝.∵b＝2，∴由余弦定理cos B＝得＝⇒ac＋12＝a2＋c2，由基本不等式得，ac＋12＝a2＋c2≥2ac，即ac≤12，又△ABC的面积为acsin B≤×12×＝3，当且仅当a＝c时，取等号，故△ABC面积的最大值为3.14．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积为(a2＋b2－c2)，且c＝4，则△ABC的周长的取值范围是__________．答案　解析　因为△ABC的面积为(a2＋b2－c2)，所以(a2＋b2－c2)＝absin C，所以×＝sin C.由余弦定理可得cos C＝，则cos C＝sin C，即tan C＝，所以C＝.由正弦定理可得＝＝＝，所以a＋b＝(sin A＋sin B)＝＝8sin.因为△ABC为锐角三角形，所以<A<，所以<A＋<，所以<sin≤1，则4<8sin≤8，即4<a＋b≤8.故△ABC的周长的取值范围是(4＋4,12]．