湘教版初中数学九年级上册期中测试卷（标准难度）（含答案解析）

湘教版初中数学九年级上册期中测试卷

考试范围：第一.二.三章；考试时间：120分钟；总分120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 若点是反比例函数的图象上的一点，则下列说法正确的是(    )

A. 图象位于第二、四象限 B. 当时，随的增大而减小
C. 点在函数图象上 D. 当时，

2. 如图所示，在直角平面坐标系中，点、、为反比例函数上不同的三点，连接、、，过点作轴于点，过点、分别作，垂直轴于点、，与相交于点，记、、四边形的面积分别为、、，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，分别在轴、轴上，，，斜边轴若反比例函数的图象经过的中点，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

4. 研究发现，近视镜的度数度与镜片焦距米成反比例函数关系，小明佩戴的度近视镜片的焦距为米，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼健康，现在镜片焦距为米，则小明的近视镜度数可以调整为(    )

A. 度 B. 度 C. 度 D. 度

5. 公元世纪，阿拉伯数学家花拉子米在其著作代数学中提到构造图形来寻找某个一元二次方程的解的方法：先构造边长为正方形，再分别以，为边作另一边长为的长方形，最后得到四边形是面积为的正方形，如图所示，花拉子米寻找的是下列哪个一元二次方程的解．(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知、、、为互不相等的实数，且，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知，是方程的两个实数根，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在▱中，为延长线上一点，为上一点，若，，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，：：，：：，则：的值是(    )
    

A. ： B. ： C. ： D. ：

10. 图是装了液体的高脚杯示意图数据如图，用去一部分液体后如图所示，此时液面(    )
     

A.  B.  C.  D.

11. 如图所示，在中，，相交于点，是的中点，连接并延长交于点，已知，则下列结论：；；；∽其中一定正确的是(    )
     

A.  B.  C.  D.

12. 如图，在中，如果与不平行，那么下列条件中，不能判断∽的是(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 直线与双曲线相交于点，，若点的坐标为，则点的坐标为          ．
14. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______．
15. 规定：，如：，若，则          ．
16. 如图，在中，，，为边上一点，且∽，则______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    如图，某反比例函数图象的一支经过点和点点在点的右侧，作轴，垂足为，连接，．
     

求该反比例函数的表达式

若的面积为，求直线的表达式．

18. 本小题分
    如图，一次函数的图象与坐标轴相交于点和点，与反比例函数相交于点．
    求出一次函数与反比例函数的解析式；
    若点是反比例函数图象上的一点，连接并延长，交轴正半轴于点，若：：时，求的面积．

19. 本小题分

已知关于的方程有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大，求的值．

20. 本小题分

已知关于的方程．

求证：该方程总有两个不相等的实数根

若该方程有一个根为，求的值．

21. 本小题分
    关于的一元二次方程．
    当时，利用根的判别式判断方程根的情况；
    若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的，的值，并求此时方程的根．
22. 本小题分

已知关于的一元二次方程．

当时，利用根的判别式判断方程根的情况

若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的，的值，并求此时方程的根．

23. 本小题分
    如图，中，分别是、上的点，且，．
    求证：∽；
    若，求的长度．

24. 本小题分
    以下各图均是由边长为的小正方形组成的网格，图中的点、、、均在格点上．
    在图中，：______．
    利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
    如图，在上找一点，使．
    如图，在上找一点，使∽．
     

25. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，．
    请画出关于轴对称的；
    将的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以，得到对应的点，，，请画出；
    是的位似图形吗？如果是，请写出位似中心的坐标；
    设的面积为，的面积为，求与的面积比，即：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：点是反比例函数的图象上的一点，
，
此反比例函数的表达式为．
A.因为，所以此函数的图象位于第一、三象限，故本选项说法错误
B.因为，所以在每一象限内，随的增大而减小，故本选项说法正确
C.因为 ，所以点不在此函数的图象上，故本选项说法错误
D.当时，，解得或，故本选项说法错误；
故选 B．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了反比例函数系数的几何意义，正确的识别图形是解题的关键．
根据反比例函数系数的几何意义得到，，，用排除法即可得到结论．
【解答】
解：点、、为反比例函数上不同的三点，
轴，，垂直轴于点、，
，，
，
，，，
当时，选项才成立，而题目并没有告诉相关信息，故不正确，
而，选项显然错误，
故选：．  

3.【答案】 

【解析】略
 

4.【答案】 

【解析】解：设函数的解析式为，
度近视眼镜镜片的焦距为米，
，
解析式为，
当时，度，
答：小明的近视镜度数可以调整为度，
故选：．
设函数的解析式为，由时，可求，进而可求函数关系式，然后把代入解析式即可求得答案．
本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，能根据题意得出方程是解此题的关键．
根据正方形的面积得出方程，再整理即可．
【解答】
解：四边形是面积为的正方形，
，
整理得：，
故选：．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，先把已知条件变形得到，，则可把、看作方程的两实数根，利用根与系数的关系得到，从而得到的值．
【解答】
解：，，
，，
而、、、为互不相等的实数，
、看作方程的两实数根，
，
．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．
根据根与系数的关系可得出、，将其代入中即可求出结论．
【解答】
解：，是方程的两个实数根，
，，
．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
由平行四边形的性质得出，，结合已知得出∽，利用相似三角形的性质结合题意求出的长度，即可得出的长度．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
∽，
，
，，
，
，
，
或舍去，
的长是，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：过点作交于，如图，

，
，
而：：，
，则，
，
，
：：，
，则，
．
故选：．
过点作交于，如图，利用平行线分线段成比例定理，得到，，则，，然后计算的值．
本题考查了平行线分线段成比例．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图：过作，垂足为，过作，垂足为，

，
∽，即相似比为，
，
，，
，
，
故选：．
高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．
本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：在▱中，，
又点是的中点，
，
，
∽，
，
，
，
；故正确；
，，
；故正确；
，
，
，故正确；
不平行于，
与只有一个角相等，
与不一定相似，故错误，
故选：．
根据相似三角形的判定和性质和平行四边形的性质，解答即可
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
根据相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似，结合选项进行判断即可．
此题考查了相似三角形的判定，属于基础题，关键是掌握相似三角形的几种判定定理．
【解答】
解：、，，则可判断∽，故本选项错误；
B、，，则可判断∽，故本选项错误；
C、，该比例不是使∽的对应边所成的比例，故本选项正确；
D、，，则可判断∽，故本选项错误．
故选：．  

13.【答案】 

【解析】略
 

14.【答案】 

【解析】解：是关于的一元二次方程，
，
，
有两个相等的实数根，
即，
，
，
故答案为：．
由是关于的一元二次方程，可得，根据有两个相等的实数根，可得，即可得．
本题考查一元二次方程的概念及根的判别式，解题的关键是求出、的值．
 

15.【答案】或 

【解析】解：依题意得，
整理，得，
因此，即，
直接开平方，得，
解得或．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
根据相似三角形的对应边成比例解答即可．
【解答】
解：∽，
，
，，
，
解得：．
故答案为．  

17.【答案】解：设反比例函数的表达式为．
由题意得，反比例函数的表达式为．

设点坐标为，过点作于点，则．
反比例函数的图象经过点，．．
解得．
．．
设直线的表达式为，将，的坐标代入，
得解得
直线的表达式为．

【解析】见答案
 

18.【答案】解：一次函数的图象与坐标轴相交于点，
，解得，
一次函数为：，
一次函数的图象经过点．
，
点坐标为，
反比例函数经过点，
，
反比例函数为：；

作于，于，

，
∽，
，
：：，点坐标为，
：：，，
，
，
点的纵坐标为，
把代入求得，
，
设直线的解析式为，
把，代入得，解得，
直线的解析式为，
令，则，
，
，
． 

【解析】用待定系数法即可求解；
证明∽，则，而：：，点坐标为，利用，即可求解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
 

19.【答案】解：设方程的两个实数根为，，
则有， ．
这两根的平方和比两根的积大，
，即 ，
，
解得，或，
由题意知，
解得，
故应舍去 
． 

【解析】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式以及一元二次方程的解法先设方程的两个实数根为，，根据根与系数的关系得到， ，再根据这两根的平方和比两根的积大得到关于的方程，求出的值，再根据根的判别式得到能使方程有解得的值即可．
 

20.【答案】解：证明：，
方程总有两个不相等的实数根．

把代入原方程，得，
即，
，，，
，

解得，．

【解析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的判别式．
计算，可得判别式的值为，由此可得结论；
将一个根据代入可得关于的一元二次方程，然后再用求根公式解答即可．
 

21.【答案】解：，
，
，
，
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根，
，
若，，则方程变形为，解得．
本题答案不唯一 

【解析】计算判别式的值得到，则可判断，然后根据判别式的意义判断方程根的情况；
利用方程有两个相等的实数根得到，设，，方程变形为，然后解方程即可本题答案不唯一．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

22.【答案】解：，，，
，
，
，
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根，
，
若，，则方程变形为，
解得取值不唯一． 

【解析】本题主要考查了根的判别式，解答本题的关键是掌握利用根的判别式判定一元二次方程的根的情况的思路与方法．
求出根的判别式的值，根据根的判别式的值的情况即可判断方程根的情况；
根据方程有两个相等的实数根，得出，不妨令，，得到方程，解这个方程，即可求解．
 

23.【答案】证明：，，
，
又，
∽；
解：∽，
，，
，
∽，
，即，
． 

【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的判定．
由，可得出，结合可证出∽；
由∽，利用相似三角形的性质可得出及，利用“同位角相等，两直线平行”可得出，进而可得出∽，再利用相似三角形的性质可求出的长．
 

24.【答案】解：：．

如图所示，点即为所要找的点；
如图所示，作点的对称点，
连接，交于点，
点即为所要找的点，
，
∽． 

【解析】

【分析】
本题考查了作图相似变换，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
根据两条直线平行，对应线段成比例即可得结论；
根据勾股定理得的长为，再根据相似三角形的判定方法即可找到点；
作点的对称点，连接与的交点即为要找的点，使∽．
【解答】
解：图中，
，
，
故答案为：．
见答案．  

25.【答案】解：如图所示：，即为所求；
如图所示：，即为所求；
将的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以，得到，
∽，
是的位似图形，位似中心的坐标为；
将的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以，得到，
相似比为：：，
则：：．
即：：． 

【解析】直接利用关于轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
直接利用将的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以，得出各对应点，进而得出答案；
根据位似图形的定义即可得到结论；
利用位似图形的性质得出答案．
此题主要考查了轴对称变换和位似变换以及位似图形的性质，正确得出对应点位置是解题关键．