【最新版】高中数学高三培优小题练第42练　复　数

这是一份【最新版】高中数学高三培优小题练第42练　复　数，共5页。试卷主要包含了复数z＝eq \f的虚部为等内容，欢迎下载使用。
考点一 复数的概念
1．复数z＝eq \f(1＋i,1－i)的虚部为( )
A．0 B．－1 C．1 D．2
答案 C
解析 z＝eq \f(1＋i,1－i)＝eq \f(1＋i2,1－i1＋i)＝eq \f(2i,2)＝i，故复数的虚部为1.
2．下列是关于复数z＝eq \f(2,－1＋i)(i为虚数单位)的命题，其中真命题为( )
A．|z|＝2
B．z2＝2i
C．z的共轭复数为1＋i
D．z的虚部为－i
答案 B
解析 ∵z＝eq \f(2,－1＋i)＝eq \f(2－1－i,－1＋i－1－i)＝－1－i，
∴|z|＝eq \r(2)，A错误；
z2＝2i，B正确；
z的共轭复数为－1＋i，C错误；
z的虚部为－1，D错误．
3．(2022·杭州模拟)已知a，b∈R，eq \f(a,1＋i)＋eq \f(b,21－i)(i为虚数单位)是纯虚数，则a，b应满足( )
A．b＝－2a B．b＝a
C．ab＝1 D．ab＝0
答案 A
解析 eq \f(a,1＋i)＋eq \f(b,21－i)＝eq \f(2a1－i,21＋i1－i)＋eq \f(b1＋i,21＋i1－i)＝eq \f(2a＋b＋b－2ai,4)，
因为eq \f(a,1＋i)＋eq \f(b,21－i)(i为虚数单位)是纯虚数，所以2a＋b＝0，且b－2a≠0，解得b＝－2a.
考点二 复数的四则运算
4．(2021·全国乙卷)设2(z＋eq \x\t(z))＋3(z－eq \x\t(z))＝4＋6i，则z等于( )
A．1－2i B．1＋2i
C．1＋i D．1－i
答案 C
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq \x\t(z)＝a－bi，代入2(z＋eq \x\t(z))＋3(z－eq \x\t(z))＝4＋6i，可得4a＋6bi＝4＋6i，所以a＝1，b＝1，故z＝1＋i.
5．已知z1与z2是共轭虚数，以下四个命题不正确的是( )
A．|z1|＝|z2| B．z1z2＝|z2|2
C．z1＋z2∈R D.eq \f(z1,z2)∈R
答案 D
解析 由题意，复数z1与z2是共轭虚数，设z1＝a＋bi，z2＝a－bi，a，b∈R，b≠0，
|z1|＝eq \r(a2＋b2)，|z2|＝eq \r(a2＋b2)，所以A正确；
又由z1z2＝a2＋b2，|z2|2＝a2＋b2，所以z1z2＝|z2|2，所以B正确；
由于z1＋z2＝2a∈R，所以C正确；
由于eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,a－bi)＝eq \f(a＋bi2,a－bia＋bi)＝eq \f(a2－b2,a2＋b2)＋eq \f(2ab,a2＋b2)i不一定是实数，所以D不正确．
6．已知i是虚数单位，若复数z满足z·i2 023＝1＋i，则eq \x\t(z)2＝________.
答案 2i
解析 由z·i2 023＝1＋i，得z·(－i)＝1＋i，
∴z＝eq \f(1＋i,－i)＝－1＋i，
∴eq \x\t(z)2＝(－1－i)2＝1＋2i＋i2＝2i.
考点三 复数的几何意义
7．在复平面内，复数z＝1－2i对应的向量为eq \(OA,\s\up6(→))，复数z2对应的向量为eq \(OB,\s\up6(→))，其中O为坐标原点，则向量eq \(AB,\s\up6(→))所对应的复数为( )
A．4＋2i B．4－2i
C．－4－2i D．－4＋2i
答案 C
解析 复数z＝1－2i对应的向量为eq \(OA,\s\up6(→))，
则A(1，－2)，z2＝(1－2i)2＝－3－4i，
复数z2对应的向量为eq \(OB,\s\up6(→))，则B(－3，－4)，
eq \(AB,\s\up6(→))＝(－4，－2)对应的复数为－4－2i.
8．(2022·开封模拟)设(1＋i4n＋3)z＝i，n∈Z，则在复平面内，复数z对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案 B
解析 由(1＋i4n＋3)z＝i得z＝eq \f(i,1＋i4n＋3)＝eq \f(i,1＋i3)＝eq \f(i,1－i)＝eq \f(i1＋i,2)＝－eq \f(1,2)＋eq \f(i,2)，
因此z在复平面内对应的点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，位于第二象限．
9．(2022·重庆模拟)已知复数z1，z2满足(1＋i)z1＝－1＋7i，|z2|＝1，则|z2－z1|的最大值为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 D
解析 z1＝eq \f(－1＋7i,1＋i)＝eq \f(－1＋7i1－i,1＋i1－i)＝eq \f(6＋8i,2)＝3＋4i，令z2＝x＋yi，x，y∈R，由|z2|＝1⇒x2＋y2＝1，|z2－z1|＝|(x－3)＋(y－4)i|＝eq \r(x－32＋y－42)，
z2对应点在单位圆上，所以|z2－z1|表示的是单位圆上的点和点(3,4)的距离，(3,4)到圆心(0,0)的距离为eq \r(32＋42)＝5，单位圆的半径为1，所以|z2－z1|max＝5＋1＝6.
10．若复数z＝eq \f(a＋i,1－i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是________．
答案 (－1,1)
解析 由复数的运算法则，可得z＝eq \f(a＋i,1－i)＝eq \f(a＋i1＋i,1－i1＋i)＝eq \f(a－1,2)＋eq \f(a＋1,2)i，
因为复数z在复平面内对应的点在第二象限内，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a－1,2)0，))解得－1