【最新版】高中数学高三培优小题练第29练　两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式

这是一份【最新版】高中数学高三培优小题练第29练　两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式，共7页。
考点一 公式的直接应用
1．(2022·内江模拟)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin α＝eq \f(3,5)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))等于( )
A.eq \f(1,7) B．7 C．－eq \f(1,7) D．－7
答案 A
解析 ∵sin α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
∴cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(4,5)，
∴tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(3,4)，
∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(tan α＋tan \f(π,4),1－tan α·tan \f(π,4))＝eq \f(1,7).
2．(2022·银川模拟)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，2sin 2α－1＝cs 2α，则cs α等于( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(\r(5),5) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(2\r(5),5)
答案 D
解析 ∵2sin 2α－1＝cs 2α，
∴4sin αcs α＝1＋cs 2α＝2cs2α，
∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
∴cs α>0，
∴2sin α＝cs α.又sin2α＋cs2α＝1，
∴cs α＝eq \f(2\r(5),5).
3．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的最小正周期和最大值分别为( )
A．π，1 B．π，eq \r(2)
C．2π，eq \r(2) D．π，eq \r(3)
答案 D
解析 依题意，y＝eq \f(\r(3),2)sin 2x＋eq \f(1,2)cs 2x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 2x－\f(\r(3),2)sin 2x))＝eq \r(3)sin 2x，
则ω＝2，T＝eq \f(2π,ω)＝π，
当2x＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，
即x＝kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)时，
sin 2x＝1，ymax＝eq \r(3)，
所以原函数的最小正周期和最大值分别为π，eq \r(3).
考点二 公式的逆用与变形用
4．sin 54°sin 66°＋cs 126°sin 24°等于( )
A．－eq \f(\r(3),2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
答案 C
解析 sin 54°sin 66°＋cs 126°sin 24°
＝sin 54°cs 24°－cs 54°sin 24°＝sin(54°－24°)＝sin 30°＝eq \f(1,2).
5．下列各式的值等于eq \f(\r(3),2)的是( )
A．2sin 67.5°cs 67.5° B．2cs2eq \f(5π,12)－1
C．1－2sin215° D.eq \f(2tan 22.5°,1－tan222.5°)
答案 C
解析 2sin 67.5°cs 67.5°＝sin 135°＝eq \f(\r(2),2)，故A不符合；
2cs2eq \f(5π,12)－1＝cs eq \f(5π,6)＝－eq \f(\r(3),2)，故B不符合；
1－2sin215°＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2)，故C符合；
eq \f(2tan 22.5°,1－tan222.5°)＝tan 45°＝1，故D不符合．
6．计算eq \f(2cs2α－1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α)))的结果为( )
A．1 B．2 C．－1 D．－2
答案 B
解析 eq \f(2cs2α－1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α)))
＝eq \f(cs 2α,\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)))cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)))
＝eq \f(cs 2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)))＝eq \f(2cs 2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α)))＝2.
7．(2022·琅琊模拟)tan 80°＋tan 40°－eq \r(3)tan 80°·tan 40°＝________.
答案 －eq \r(3)
解析 根据两角和的正切公式，
可得tan 120°＝tan(80°＋40°)
＝eq \f(tan 80°＋tan 40°,1－tan 40°tan 80°)＝－eq \r(3)，
所以tan 40°＋tan 80°
＝－eq \r(3)(1－tan 40°tan 80°)
＝－eq \r(3)＋eq \r(3)tan 40°tan 80°，
所以tan 80°＋tan 40°－eq \r(3)tan 80°tan 40°＝－eq \r(3).
考点三 角的变换
8．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋sin α＝eq \f(4\r(3),5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,6)))的值是( )
A．－eq \f(2\r(3),5) B.eq \f(2\r(3),5) C.eq \f(4,5) D．－eq \f(4,5)
答案 D
解析 由cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋sin α＝eq \f(4\r(3),5)，
可得eq \f(\r(3),2)cs α＋eq \f(1,2)sin α＋sin α＝eq \f(4\r(3),5)，
即eq \f(3,2)sin α＋eq \f(\r(3),2)cs α＝eq \f(4\r(3),5)，
所以eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4\r(3),5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,6)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝－eq \f(4,5).
9．(2022·沈阳模拟)若α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且sin α＝eq \f(2\r(5),5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－β))＝－eq \f(\r(10),10)，则sin β等于( )
A.eq \f(7\r(2),10) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,10)
答案 B
解析 β＝α－(α－β)，
∵eq \f(π,2)