【最新版】高中数学高三培优小题练第19练　函数的构造问题

这是一份【最新版】高中数学高三培优小题练第19练　函数的构造问题，共7页。试卷主要包含了下列三个数等内容，欢迎下载使用。
第19练　函数的构造问题考点一　由条件构造具体函数1．下列三个数：a＝ln －，b＝ln π－π，c＝ln 3－3，大小顺序正确的是(　　)A．a>c>b   B．a>b>cC．b>c>a   D．b>a>c答案　A解析　构造函数f(x)＝ln x－x，因为f′(x)＝－1<0对一切x∈(1，＋∞)恒成立，所以函数f(x)＝ln x－x在x∈(1，＋∞)上单调递减，从而有f >f(3)>f(π)，即a>c>b.2．已知x，y∈R，且2x＋3y>2－y＋3－x，则下列各式正确的是(　　)A．x－y>0   B．x＋y<0C．x－y<0   D．x＋y>0答案　D解析　因为2x＋3y>2－y＋3－x，所以2x－3－x>2－y－3y.令f(x)＝2x－3－x，因为f(x)＝2x－3－x＝2x－为增函数，f(x)>f(－y)，所以x>－y，即x＋y>0.3．(2022·宝鸡模拟)若ex＋x≥ax＋ln ax(a>0，x>0)，则a的最大值为(　　)A.  B.  C．e  D．2e答案　C解析　由题设，ex＋x≥eln ax＋ln ax，令g(x)＝ex＋x，则g′(x)＝ex＋1>0，即g(x)在(0，＋∞)上单调递增，而g(x)≥g(ln ax)，∴x≥ln ax＝ln a＋ln x，要使ex＋x≥ax＋ln ax，只需ln a≤x－ln x恒成立，令f(x)＝x－ln x，则f′(x)＝1－，当0<x<1时，f′(x)<0，即f(x)单调递减；当x>1时，f′(x)>0，即f(x)单调递增，∴f(x)≥f(1)＝1，故只需ln a≤1，即0<a≤e.4．已知函数f(x)＝ln x－2x，当x1>x2>1时，恒有f(x1)－f(x2)<m，则实数m的取值范围是________．答案　(－∞，1]解析　∵f(x1)－f(x2)<m，即f(x1)－<f(x2)－，令φ(x)＝f(x)－，∴当x1>x2>1时，φ(x1)<φ(x2)，∴φ(x)在(1，＋∞)上单调递减，∴当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＝－2＋≤0恒成立，即m≤2x2－x.∵y＝2x2－x在(1，＋∞)上单调递增，∴2x2－x>2×12－1＝1，∴m≤1.5．设一条平行于x轴的直线与曲线y＝ex，y＝相交于P，Q两点，则|PQ|的最小值为________．答案　＋ln 2解析　依题意设P(x1，t)，Q(x2，t)(x1>0，x2>0，t>0)，∵|PQ|＝x2－x1，又t＝，t＝，∴x1＝ln t，x2＝t2，∴|PQ|＝t2－ln t(t>0)，令φ(t)＝t2－ln t(t>0)，φ′(t)＝2t－＝，令φ′(t)>0⇒t>，φ′(t)<0⇒0<t<，∴φ(t)在上单调递减，在上单调递增，∴φ(t)min＝φ＝2－ln ＝＋ln 2. 考点二　由f′的关系式构造抽象函数6．已知函数f(x)的定义域为R，且满足f′(x)<2，f(2)＝8，则不等式f(x)<2x＋4的解集为(　　)A．(－∞，2)   B．(0,2)C．(2，＋∞)   D．(－2,2)答案　C解析　设φ(x)＝f(x)－2x，∴φ′(x)＝f′(x)－2<0，∴φ(x)在R上单调递减，又φ(2)＝f(2)－4＝4，∴不等式f(x)<2x＋4可转化为f(x)－2x<4，即φ(x)<φ(2)，∴x>2.7．f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，且g(3)＝0，则不等式f(x)g(x)>0的解集是(　　)A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)答案　D解析　令h(x)＝f(x)g(x)，∵f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，则h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)，因此函数h(x)在R上是奇函数．∵当x<0时，h′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，∴h(x)在(－∞，0)上单调递减．∵g(3)＝g(－3)＝0，∴h(3)＝f(3)g(3)＝0，进而h(－3)＝f(－3)g(－3)＝0，且h(0)＝f(0)g(0)＝0，要使h(x)＝f(x)g(x)>0，则0<x<3或x<－3.8．已知定义域为R的偶函数f(x)的导函数为f′(x)，当x<0时，xf′－f<0，若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)A．b<a<c   B．a<c<bC．a<b<c   D．c<a<b答案　D解析　令g(x)＝，由偶函数f知，当x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，g(－x)＝－g(x)，故g(x)＝为奇函数，当x<0时，g′(x)＝<0，则g(x)在(－∞，0)上单调递减，由奇函数性质知，g(x)在(0，＋∞)上单调递减，而ln 2<1<e<3，所以g(3)<g(e)<g(ln 2)，即c<a<b.9．(2022·郑州模拟)已知函数f(x)是定义在R上的函数，且满足f′(x)＋f(x)>0，其中f′(x)为f(x)的导函数，设a＝f(0)，b＝2f(ln 2)，c＝ef(1)，则a，b，c的大小关系是(　　)A．c>b>a   B．a>b>cC．c>a>b   D．b>c>a答案　A解析　令g(x)＝exf(x)，则g′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]>0，∴g(x)在R上单调递增，又0<ln 2<1，∴g<g<g，即f<2f<ef，即c>b>a.10．已知定义在上的函数f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，且恒有cos x·f′(x)＋sin x·f(x)<0成立，则(　　)A．f >f    B.f >f C．f >f    D.f >f 答案　C解析　根据题意，令g(x)＝，x∈，则其导函数g′(x)＝，又由x∈，恒有cos x·f′(x)＋sin x·f(x)<0，则有g′(x)<0，即函数g(x)在上为减函数，又由<，则有g>g，即>，分析可得f >f ；又由<，则有g>g，即>，分析可得f >f .11．(2022·焦作模拟)函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集为(　　)A.B.C.或D.或答案　A解析　构造函数g(x)＝ex·f(x)－ex，因为g′(x)＝ex·f(x)＋ex·f′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)]－ex>ex－ex＝0，所以g(x)＝ex·f(x)－ex为R上的增函数．又因为g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转化为exf(x)－ex>1，即g(x)>g(0)，所以x>0.所以原不等式的解集为.12．(2022·济南模拟)已知a>b>1，e为自然对数的底数，则下列不等式一定不成立的是(　　)A．aea>beb   B．aln b>bln aC．aln a>bln b   D．bea>aeb答案　B解析　设f(x)＝xex，x>1，则f′(x)＝(x＋1)ex>0在(1，＋∞)上恒成立，故函数f(x)单调递增，故f(a)>f(b)，即aea>beb，A正确；设g(x)＝，x>1，则g′(x)＝，故函数g(x)在(1，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，故当1<b<a<e时，g(a)>g(b)，即>，故aln b<bln a，B错误；设h(x)＝xln x，x>1，则h′(x)＝ln x＋1>0在(1，＋∞)上恒成立，故函数h(x)单调递增，h(a)>h(b)，即aln a>bln b，C正确；设k(x)＝，x>1，则k′(x)＝>0在(1，＋∞)上恒成立，故函数k(x)单调递增，故k(a)>k(b)，即>，故bea>aeb，D正确．13．(2022·广州模拟)已知实数a，b，c∈(0，e)，且2a＝a2,3b＝b3,5c＝c5，则(　　)A．c<a<bB．a<c<bC．b<c<aD．b<a<c答案　A解析　由2a＝a2,3b＝b3,5c＝c5，得＝，＝，＝，又2ln 5＝ln 52<ln 25＝5ln 2，即<，同理3ln 2＝ln 23<ln 32＝2ln 3，即<，所以<<，即<<，设函数f(x)＝，x∈(0，e)，f′(x)＝>0在(0，e)上恒成立，故函数f(x)在(0，e)上单调递增，所以c<a<b.14．设函数f(x)＝ln x＋，m∈R，若任意两个不相等正数a，b，b>a>0，都有<1恒成立，则m的取值范围是________．答案　解析　对任意b>a>0，<1恒成立，等价于f(b)－b<f(a)－a恒成立．设h(x)＝f(x)－x＝ln x＋－x(x>0)，则b>a>0，h(b)<h(a)．∴h(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴h′(x)＝－－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，∴m≥－x2＋x＝－2＋(x>0)，∴m≥.对于m＝，h′(x)＝0仅在x＝时成立．∴m的取值范围是.