【最新版】高中数学高三培优小题练第10练　对数与对数函数

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第10练　对数与对数函数考点一　对数式的运算1．(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　)A．1.5  B．1.2  C．0.8  D．0.6答案　C解析　4.9＝5＋lg V⇒lg V＝－0.1⇒V＝＝≈≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.2．若2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(　　)A．50   B．10C．5   D．±5答案　C解析　由2a＝5b＝m，可得a＝log2m，b＝log5m，由＋＝2可得 logm2＋2logm5＝2，即logm50＝2，解得m＝5.3．计算(lg 2)2＋lg 5·lg 20＋log23·log34＝________.答案　3解析　(lg 2)2＋lg 5·lg 20＋log23·log34＝(lg 2)2＋lg 5·(lg 4＋lg 5)＋2log23·log32＝(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋(lg 5)2＋2＝(lg 2＋lg 5)2＋2＝1＋2＝3. 考点二　对数函数的图象及应用4．已知m，n∈R，函数f(x)＝m＋lognx的图象如图所示，则m，n的取值范围分别是(　　)A．m>0,0<n<1B．m<0,0<n<1C．m>0，n>1D．m<0，n>1答案　C解析　由题图知函数为增函数，故n>1.又当x＝1时，f(1)＝m>0，故m>0.5．若函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝loga(|x|－1)的图象可以是(　　)答案　D解析　由f(x)＝ax(a>0且a≠1)在R上为减函数，得0<a<1，令g(x)＝loga(|x|－1)，所以函数g(x)＝loga(|x|－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，因为g(－x)＝g(x)＝loga(|x|－1)，所以函数g(x)为关于y轴对称的偶函数．所以函数g(x)＝loga(|x|－1)的图象，在x>1时是由函数y＝logax的图象向右平移一个单位长度得到的，可知选D.6．当0<x≤时，<logax，则实数a的取值范围为________．答案　解析　若<logax在x∈上成立，则0<a<1，且在区间上y＝的图象在y＝logax图象的下方，如图所示．由题意知<loga，∴解得<a<1，即实数a的取值范围是. 考点三　对数函数的性质及应用7．设a＝log20.2，b＝log0.53,5c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)A．c>a>b   B．c>b>aC．b>a>c   D．a>b>c答案　B解析　∵a＝log20.2＝log2＝－log25,2<log25<3，∴－3<a<－2，∵b＝log0.53＝＝－log23,1<log23<2，∴－2<b<－1，∵5c＝，∴c＝log5＝－log54,0<log54<1，∴－1<c<0.∴c>b>a.8．若函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是(　　)A．1<a<2B．0<a<2，a≠1C．0<a<1D．a≥2答案　A解析　令u(x)＝x2－ax＋1，函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，∴a>1，且u(x)min>0，∴Δ＝a2－4<0，∴1<a<2，∴a的取值范围是1<a<2.9．若loga<2，则a的取值范围是(　　)A.   B.C.   D.∪(1，＋∞)答案　D解析　因为loga<2，所以loga<logaa2，当0<a<1时，y＝logax为减函数，所以a2<，可得0<a<；当a>1时，y＝logax为增函数，所以a2>，可得a>1，综上所述，a的取值范围为∪.10．f(x)＝log24x·，x∈的最大值为________________．答案　解析　f(x)＝log24x·＝·＝－，令t＝log2x，t∈，则函数f(x)可化为y＝－(t2＋t－2)，t∈，当t＝－时，ymax＝ .11．太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量M大约是2×1030千克．地球是太阳系八大行星之一，其质量m大约是6×1024千克．下列各数中与最接近的是(　　)(参考数据：lg 3≈0.477 1，lg 6≈0.778 2)A．10－5.519   B．10－5.521C．10－5.525   D．10－5.523答案　D解析　因为＝3×10－6，所以lg ＝lg 3＋lg 10－6≈0.477 1－6＝－5.522 9≈－5.523.故≈10－5.523.12．设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则下列结论正确的个数是(　　)①<；②ab<0；③a＋b<0；④ab<a＋b.A．1  B．2  C．3  D．4答案　C解析　∵a＝log0.20.3＝>0，b＝log20.3＝<0，∴>0>，a＋b＝－＝＝，ab＝－·＝，∵lg>lg ，<0，∴ab<a＋b<0.故②③④正确．13．(2022·深圳质检)已知f(x)＝(x2－ax＋3a)在区间(2，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________．答案　[－4,4]解析　由题可知，f(x)＝(x2－ax＋3a)在区间(2，＋∞)上单调递减，设u＝x2－ax＋3a>0，因为函数y＝u在定义域内单调递减，则函数u＝x2－ax＋3a>0在区间(2，＋∞)上单调递增，由于二次函数u＝x2－ax＋3a的对称轴为x＝，由已知，应有≤2，且满足当x≥2时，u＝x2－ax＋3a≥0，即解得－4≤a≤4，所以实数a的取值范围是[－4,4]．14．已知函数f(x)＝|ln x|，实数m，n满足0<m<n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在区间[m2，n]上的最大值是2，则的值为____．答案　e2解析　由题意以及函数f(x)＝的性质可得－ln m＝ln n，所以＝n，且0<m<1<n，因为函数f(x)＝在上单调递减，在上单调递增，所以＝2或ln n＝2，当＝2时，m＝，又因为＝n，所以n＝e，此时f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，满足题意；当ln n＝2时，n＝e2，m＝，此时f(x)在区间[m2，n]上的最大值为＝4，不满足题意，综上，n＝e，m＝，＝e2.