【最新版】高中数学高三培优小题练第8练　幂函数与二次函数

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第8练　幂函数与二次函数考点一　幂函数1．已知幂函数f(x)的图象过点(8,2)，则f(27)等于(　　)A.   B．－C．－3   D．3答案　D解析　设幂函数y＝f(x)＝xa，∵幂函数f(x)的图象过点(8,2)，∴ 8a＝2，解得a＝.∴ f(x)＝，∴f(27)＝＝3.2．(2022·绵阳质检)如图是幂函数y＝xn的部分图象，已知n取，2，－2，－这四个值，则与曲线C1，C2，C3，C4相对应的n依次为(　　)A．2，，－，－2B．－2，－，，2C．－，－2,2，D．2，，－2，－答案　A解析　方法一　因为曲线C1，C2过点(0,0)，(1,1)，且在第一象限内为增函数，所以n>0，即n为2，，根据图象的增长速度可知，曲线C1对应的函数为y＝x2，曲线C2对应的函数为y＝；C3，C4过点(1,1)，且在第一象限内为减函数，所以n<0，即n为－，－2，根据图象的变化速度可知，曲线C3对应的函数为y＝，曲线C4对应的函数为y＝x－2.方法二　取x＝2，分别代入y1＝x2，y2＝，y3＝，y4＝x－2，可求得y1＝4，y2＝，y3＝，y4＝，比较可得y1>y2>y3>y4，所以与曲线C1，C2，C3，C4相对应的n依次为2，，－，－2.3．已知幂函数f(x)＝(n∈Z)的图象关于原点对称且在(0，＋∞)上单调递减，则n的取值集合为(　　)A．{－1,0,1,2}   B．{0,1,2}C．{2}   D．{0,2}答案　D解析　∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴2n2－5n－3<0，解得－<n<3，又n∈Z，∴n＝0,1,2，又f(x)的图象关于原点对称，∴f(x)为奇函数．经检验n＝0,2满足题意．4．(2022·开封质检)已知函数f(x)＝(x>0)，若f(a＋1)<f(10－2a)，则a的取值范围是________．答案　(3,5)解析　易知函数f(x)＝(x>0)是定义域内的减函数，根据题意可得解得据此可得a的取值范围是3<a<5. 考点二　二次函数的图象及性质5．已知二次函数f(x)，f(0)＝6，且f(3)＝f(2)＝0，那么这个函数的解析式是(　　)A．f(x)＝x2＋x＋6B．f(x)＝x2－x＋6C．f(x)＝x2＋5x＋6D．f(x)＝x2－5x＋6答案　D解析　由题意知，二次函数的对称轴为直线x＝.四个选项中只有D选项对称轴为直线x＝.6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论中正确的是(　　)①b＝－2a；②a＋b＋c<0；③a－b＋c>0；④abc<0.A．①③   B．②③C．②④   D．①④答案　D解析　由二次函数图象开口向下知a<0，对称轴为－＝1，即b＝－2a，则b>0，又f(0)＝c>0，故abc<0，由图象知f(1)＝a＋b＋c>0，f(－1)＝a－b＋c<0.7．函数f(x)＝x2－2x＋3在区间[0，a]上的最大值为3，最小值为2，则实数a的取值范围为(　　)A．(－∞，2]   B．[0,2]C．[1，＋∞)   D．[1,2]答案　D解析　∵f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，又∵f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，则a∈[1,2]．8．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a<0，b>0)有两个不同的零点x1，x2，－2和x1，x2三个数适当排序后既可成为等差数列，也可成为等比数列，则函数f(x)的解析式为(　　)A．f(x)＝x2－5x－4B．f(x)＝x2＋5x＋4C．f(x)＝x2－5x＋4D．f(x)＝x2＋5x－4答案　C解析　由题意，函数f(x)＝x2＋ax＋b(a<0，b>0)有两个不同的零点x1，x2，可得x1＋x2＝－a，x1x2＝b，则x1>0，x2>0，又由－2和x1，x2三个数适当排序后既可成为等差数列，也可成为等比数列，不妨设x2>x1，则2x1＝x2＋(－2)，x1x2＝4，解得x1＝1，x2＝4，所以－a＝x1＋x2＝5，b＝x1x2＝4，所以f(x)＝x2－5x＋4.9．(2022·合肥)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c有最小值，且f(1－x)＝f(1)＋f(x)，若f(x)在区间[2m，m＋1]上不单调，则实数m的取值范围是(　　)A.   B.C.   D.答案　A解析　f(x)＝ax2＋bx＋c有最小值，可得a>0，∵f(1－x)＝f(1)＋f(x)，即a(1－x)2＋b(1－x)＋c＝ax2＋bx＋2c＋a＋b，可得c＝0，b＝－a<0，对称轴x＝，∵f(x)在[2m，m＋1]上不单调，即2m<m＋1，且2m<<m＋1，解得－<m<.10．定义在R上的函数f(x)，当x∈(－1,1]时，f(x)＝x2－x，且对任意的x满足f(x－2)＝af(x)(常数a>0)，则函数f(x)在区间(5,7]上的最小值是(　　)A．－a3   B.a3C.   D．－答案　D解析　当x∈(1,3]，x－2∈(－1,1]，∴f(x)＝＝[(x－2)2－(x－2)]＝(x－2)·(x－3)，当x∈(3,5]，x－2∈(1,3]，∴f(x)＝(x－4)(x－5)，当x∈(5,7]，x－2∈(3,5]，∴f(x)＝(x－6)(x－7)＝(x2－13x＋42)，∴当x＝6.5时，f(x)min＝－.11．(2022·泉州模拟)若幂函数f(x)＝x (m，n∈N*，m，n互质)的图象如图所示，则(　　)A．m，n是奇数，且<1B．m是偶数，n是奇数，且>1C．m是偶数，n是奇数，且<1D．m是奇数，n是偶数，且>1答案　C解析　由图知幂函数f(x)为偶函数，且<1，排除B，D；当m，n是奇数时，幂函数f(x)非偶函数，排除A.12．设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，已知f(m)<0，则(　　)A．f(m＋1)≥0   B．f(m＋1)≤0C．f(m＋1)>0   D．f(m＋1)<0答案　C解析　因为f(x)图象的对称轴为x＝－，f(0)＝a>0，所以f(x)的大致图象如图所示；由f(m)<0，得－1<m<0，所以m＋1>0，所以f(m＋1)>f(0)>0.13．(2022·遵义模拟)若函数f(x)＝x2－2x＋1在区间[a，a＋2]上的最小值为4，则a的取值集合为(　　)A．[－3,3]   B．[－1,3]C．{－3,3}   D．{－1，－3,3}答案　C解析　∵函数f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，对称轴为x＝1，∵在区间[a，a＋2]上的最小值为4，∴当a≥1时，函数最小值为f(a)＝(a－1)2＝4，a＝－1(舍去)或a＝3，当a＋2≤1，即a≤－1时，函数最小值为f(a＋2)＝(a＋1)2＝4，a＝1(舍去)或a＝－3，当a<1<a＋2时，即－1<a<1时，函数最小值为f(1)＝0≠4，故满足条件的a的取值集合为{－3,3}．14．(2022·成都模拟)函数f(x)＝x(|x|－1)在[m，n]上的最小值为－，最大值为2，则n－m的最大值为________．答案　解析　当x≥0时，f(x)＝x(|x|－1)＝x2－x＝2－≥－，当x<0时，f(x)＝x(|x|－1)＝－x2－x＝－2＋，作出函数f(x)的图象如图所示．当x≥0时，由f(x)＝x2－x＝2，解得x＝2.当x＝时，f ＝－.当x<0时，由f(x)＝－x2－x＝－.即4x2＋4x－1＝0，解得x＝＝，∴x＝，∵f(x)在[m，n]上的最小值为－，最大值为2，∴n＝2，≤m≤，∴n－m的最大值为2－＝.