【最新版】高中数学高三培优小题练第4练　函数的概念及表示

这是一份【最新版】高中数学高三培优小题练第4练　函数的概念及表示，共6页。试卷主要包含了以下四组函数中表示相同函数的是等内容，欢迎下载使用。
专题2　函数概念与基本初等函数Ⅰ第4练　函数的概念及表示考点一　函数的概念1．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译作：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合M＝，N＝，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是(　　)A．y＝2x   B．y＝x＋2C．y＝2x   D．y＝x2答案　D解析　在A中，当x＝4时，y＝8∉N，故A错误；在B中，当x＝1时，y＝3∉N，故B错误；在C中，当x＝－1时，y＝∉N，故C错误；在D中，任取x∈M，总有y＝x2∈N，故D正确．2．以下四组函数中表示相同函数的是(　　)A．f(x)＝|x|，g(x)＝B．f(x)＝，g(x)＝()2C．f(x)＝，g(x)＝x＋1D．f(x)＝·，g(x)＝答案　A解析　对于A，两个函数的定义域都为R，而且g(x)＝＝|x|，所以这两个函数是相同函数；对于B，f(x)＝的定义域为R，而g(x)＝()2的定义域为，定义域不相同，所以这两个函数不是相同函数；对于C，f(x)＝的定义域为，而g(x)＝x＋1的定义域为R，定义域不相同，所以这两个函数不是相同函数；对于D，f(x)＝·的定义域为，而g(x)＝的定义域为∪，定义域不相同，所以这两个函数不是相同函数． 考点二　求函数的解析式3．已知f(x)是一次函数，f(f(x))＝4x＋3，则f(x)等于(　　)A．2x＋1B．－2x－3C．4x＋3D．2x＋1或－2x－3答案　D解析　由题意设f(x)＝ax＋b，则f(f(x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3，∴ 解得或∴f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3.4．已知f(＋1)＝x＋2，则函数f(x)的解析式为__________．答案　f(x)＝x2－1解析　f＝x＋2＝2－1，令t＝＋1≥1，∴f(t)＝t2－1(t≥1)，则f(x)＝x2－1(x≥1)．5．已知f ＝x2＋－2，则f(x)的解析式为____________________________________．答案　f(x)＝x2－4，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析　∵f ＝x2＋－2＝2－4，令t＝x＋，当x>0时，t≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，当x<0时，t＝－≤－2，当且仅当x＝－1时取等号，∴f(t)＝t2－4，t∈(－∞，－2]∪[2，＋∞), ∴f(x)＝x2－4，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)． 考点三　函数的定义域6．函数f(x)＝＋的定义域为(　　)A．(－1,0)∪(0,2]   B．[－2,0)∪(0,2]C．[－2,2]   D．(－1,2]答案　A解析　因为f(x)＝＋，所以解得－1<x<0或0<x≤2，即函数的定义域为(－1,0)∪(0,2]．7．若函数y＝f(x)的定义域是[－2,2]，则函数y＝f(x＋1)＋f(x－1)的定义域为________．答案　[－1,1]解析　由题意得 得解得－1≤x≤1，所以函数y＝f(x＋1)＋f(x－1)的定义域为[－1,1]． 考点四　分段函数8．已知函数f(x)＝则f(f(1))等于(　　)A．－   B．2C．4   D．11答案　C解析　因为f(1)＝12＋2＝3，所以f(f(1))＝f(3)＝3＋＝4.9．设函数f(x)＝若f(a)>1，则实数a的取值范围是________．答案　(4，＋∞)解析　当a≥0时，f(a)＝a－1>1，解得a>4，符合a≥0；当a<0时，f(a)＝>1，无解．故a>4.10．设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f ＝________.答案　6解析　当0<a<1时，a＋1>1，f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，∵f(a)＝f(a＋1)，∴＝2a，解得a＝或a＝0(舍去)，∴f ＝f(4)＝2×(4－1)＝6；当a≥1时，a＋1≥2，∴f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，∴2(a－1)＝2a，无解．综上，f ＝6.11．已知函数f(x)＝，则函数g(x)＝f(2x)＋lg(2x＋1)的定义域为(　　)A.   B.C.   D.答案　B解析　令－x2＋x＋2≥0，解得－1≤x≤2，所以f(x)的定义域为[－1,2]，要使g(x)有意义，则解得－<x≤1.12．(2022·长沙模拟)已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x2＋2x＋6，则(　　)A．f(x)的最小值为2B．∃x0∈R，>2C．f(x)的最大值为2D．∀x∈R，>2答案　D解析　因为2f(x)＋f(－x)＝3x2＋2x＋6，①所以用－x代换x得2f(－x)＋f(x)＝3x2－2x＋6.②①×2－②得3f(x)＝3x2＋6x＋6，即f(x)＝x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1，从而f(x)只有最小值，没有最大值，且最小值为1，故A，C错误；＝＝＝2－<2，故B错误；＝＝＝2＋>2，故D正确．13．(2022·深圳模拟)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(n∈N*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．给出下列函数：①f(x)＝sin 2x；②g(x)＝x3；③h(x)＝x；④φ(x)＝ln x.其中是一阶整点函数的是(　　)A．①②③④   B．①③④C．①④   D．④答案　C解析　对于函数f(x)＝sin 2x，它的图象(图略)只经过一个整点(0,0)，所以它是一阶整点函数；对于函数g(x)＝x3，它的图象(图略)经过整点(0,0)，(1,1)，…，所以它不是一阶整点函数；对于函数h(x)＝x，它的图象(图略)经过整点(0,1)，(－1,3)，…，所以它不是一阶整点函数；对于函数φ(x)＝ln x，它的图象(图略)只经过一个整点(1,0)，所以它是一阶整点函数．14．若函数f(x)满足a≤f(x)≤b，定义b－a的最小值为f(x)的值域跨度，则下列函数中值域跨度为2的是________．(填序号)①f(x)＝cos 2x＋1；②f(x)＝；③f(x)＝|x|－；④f(x)＝.答案　①③解析　∵－1≤cos 2x≤1，∴0≤cos 2x＋1≤2，即函数f(x)＝cos 2x＋1的值域为，值域跨度为2；∵－x2＋2x＋1＝－2＋2≤2，∴f(x)＝的值域为，值域跨度为；∵f(x)＝|x|－＝∴函数f(x)＝|x|－的值域为，值域跨度为2；∵f(x)＝＝1－，又∵2x∈(0，＋∞)，∴∈(0,1)，∴1－∈(0,1)，值域跨度为1.