【最新版】高中数学高三培优小题练第2练　命题及充要条件

这是一份【最新版】高中数学高三培优小题练第2练　命题及充要条件，共5页。试卷主要包含了设原命题，已知p等内容，欢迎下载使用。
第2练　命题及充要条件考点一　四种命题1．已知x∈R，命题“若x2>0，则x>0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是(　　)A．0  B．1  C．2  D．3答案　C解析　命题“若x2>0，则x>0”的逆命题是“若x>0，则x2>0”，是真命题；否命题是“若x2≤0，则x≤0”， 是真命题；逆否命题是“若x≤0，则x2≤0”，是假命题．综上，以上3个命题中真命题的个数是2.2．(2022·安顺模拟)命题“若x，y都是奇数，则x＋y是偶数”的逆否命题是(　　)A．若x，y都是偶数，则x＋y是奇数B．若x，y都不是奇数，则x＋y不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x，y都不是奇数D．若x＋y不是偶数，则x，y不都是奇数答案　D解析　命题“若x，y都是奇数，则x＋y是偶数”的逆否命题为若x＋y不是偶数，则x，y不都是奇数．3．给出下列四个命题，其中为真命题的是(　　)①“若xy＝1，则lg x＋lg y＝0”的逆命题；②“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题；③“若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题．A．①②   B．①②③④C．②③④   D．①③④答案　B解析　对于①，原命题的逆命题为“若lg x＋lg y＝0，则xy＝1”，∵lg x＋lg y＝lg xy＝0，则xy＝1，故①为真命题；对于②，若a⊥(b－c)，则a·(b－c)＝0，即a·b＝a·c正确，故原命题的逆命题为真命题，则原命题的否命题也为真命题，故②为真命题；对于③，“若b≤0，则Δ＝4b2－4(b2＋b)≥0，方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”，原命题为真命题，其逆否命题也为真命题；对于④，“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题为真命题．4．设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假状况是(　　)A．原命题与逆命题均为真命题B．原命题真，逆命题假C．原命题假，逆命题真D．原命题与逆命题均为假命题答案　B解析　原命题的逆否命题为“若a，b中没有一个大于等于1，则a＋b<2”，等价于“若a<1，b<1，则a＋b<2”，显然这个命题是对的，所以原命题正确；原命题的逆命题为“若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”，取a＝5，b＝－5，则a，b中至少有一个不小于1，但a＋b＝0，所以原命题的逆命题不正确． 考点二　充分、必要条件的判定5．设x∈R，则“1<x<2”是“|x－2|<1”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　A解析　∵|x－2|<1，∴－1<x－2<1,1<x<3，又(1,2)(1,3)，∴“1<x<2”是“|x－2|<1”的充分不必要条件．6．(2021·浙江)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　B解析　由a·c＝b·c，得到(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件．7．(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则(　　)A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案　B解析　当a1<0，q>1时，an＝a1qn－1<0，此时数列{Sn}单调递减，所以甲不是乙的充分条件．当数列{Sn}单调递增时，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn>0，若a1>0，则qn>0(n∈N*)，即q>0；若a1<0，则qn<0(n∈N*)，不存在．所以甲是乙的必要条件． 考点三　充分、必要条件的应用8．已知p：x>y，则下列条件中是p成立的必要条件的是(　　)A．x2>y2   B．ln x>ln yC.>   D．3x＋3－y>2答案　D解析　当x，y为负数且x>y时，不能推出x2>y2，A错误；当x，y为负数时，ln x，ln y没有意义，B错误；当x，y为负数且x>y时，不能推出>，C错误；因为y＝3x是增函数，x>y，所以3x＋3－y>3y＋≥2，又x≠y,3x＋3－y>2，D正确．9．若“(x－k)[x－(k＋3)]>0”是“x2＋3x－4<0”的必要不充分条件，则实数k的取值范围是________．答案　∪解析　解不等式(x－k)[x－(k＋3)]>0，解得x<k或x>k＋3，解不等式x2＋3x－4<0，解得－4<x<1.由于“(x－k)[x－(k＋3)]>0”是“x2＋3x－4<0”的必要不充分条件，则或x>k＋3}，所以k≥1或k＋3≤－4，解得k≤－7或k≥1.10．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.答案　3或4解析　一元二次方程x2－4x＋n＝0有实数根⇔(－4)2－4n≥0⇔n≤4；又n∈N*，则n＝4时，方程x2－4x＋4＝0，有整数根2；n＝3时，方程x2－4x＋3＝0，有整数根1,3；n＝2时，方程x2－4x＋2＝0，无整数根；n＝1时，方程x2－4x＋1＝0，无整数根．所以n＝3或4.11．命题“a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是(　　)A．a，b∈R，若a≠b≠0，则a2＋b2＝0B．a，b∈R，若a＝b≠0，则a2＋b2≠0C．a，b∈R，若a≠0且b≠0，则a2＋b2≠0D．a，b∈R，若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0答案　D解析　a＝b＝0的否定为a≠0或b≠0；a2＋b2＝0的否定为a2＋b2≠0.12．已知命题“若m－1<x<m＋1，则1<x<2”的逆命题是真命题，则实数m的取值范围是(　　)A．(1,2)   B．[1,2)C．(1,2]   D．[1,2]答案　D解析　命题的逆命题是“若1<x<2，则m－1<x<m＋1.”则解得1≤m≤2，即实数m的取值范围是[1,2]．13．若p：a<b；q：3a－3b<5－a－5－b，则p是q的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　C解析　令f(x)＝3x－5－x，则f(x)为R上的增函数，若3a－3b<5－a－5－b，则3a－5－a<3b－5－b，即f(a)<f(b)，所以a<b，所以p是q的必要条件；反之，若a<b，则f(a)<f(b)，所以3a－5－a<3b－5－b，即3a－3b<5－a－5－b，所以p是q的充分条件，综上，p是q的充要条件．14．(2022·萍乡模拟)记命题p为“点M(x，y)满足x2＋y2≤a2(a>0)”，记命题q为“M(x，y)满足”若p是q的充分不必要条件，则实数a的最大值为________．答案　解析　作出M(x，y)满足的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由题意知，若p是q的充分不必要条件，说明圆在可行域内部，则实数a的最大值就是圆与直线4x－3y＋4＝0相切时，即amax＝＝.