2021-2022学年内蒙古呼伦贝尔市满洲里市远方中学高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

这是一份2021-2022学年内蒙古呼伦贝尔市满洲里市远方中学高一（下）期末数学试卷（Word解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知直线l的倾斜角为60°，且经过点(0,1)，则直线l的方程为( )
A. y=3xB. y=3x-2C. y=3x+1D. y=3x+3
执行如图所示的程序框图，则输出i的值为( )
A. 5
B. 6
C. 3
D. 4
某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的有12名，则( )
A. 这五个社团的总人数为100
B. 脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%
C. 这五个社团总人数占该校学生人数的8%
D. 从这五个社团中任选一人，其来脱口秀社团或舞蹈社团的概率为50%
在平面直角坐标系xOy中，直线2x-y+1=0被圆(x-a)2+(y-a)2=a2截得的弦长为2，则实数a的值为( )
A. -1B. 2C. 32或-1D. 1或-13
在区间[-2,3]上任取一个数x，则x∈[1,4]的概率为( )
A. 35B. 25C. 13D. 15
已知角α的终边经过(1,-3)，则csα-sinα=( )
A. 2105B. 1010C. -1010D. -2105
已知α∈(-π2,0)，cs(π2+α)=32，则tanα=( )
A. -3B. 3C. -33D. 33
已知空间点P(-3,1,-4)，则点P关于y轴对称的点的坐标为( )
A. (-3,-1,-4)B. (-3,-1,4)C. (-3,1,4)D. (3,1,4)
已知向量a=(x,1)，b=(4,x)，若向量a和b方向相同，则实数x的值是( )
A. -2B. 2C. 0D. 85
计算1+tan712π1-tan712π=( )
A. -33B. 33C. -3D. 3
已知tanα=3，则sin2α=( )
A. 23B. 35C. ±23D. ±35
函数f(x)=csx+sin(x-π6)在区间[0,π]上的最小值为( )
A. 1B. -1C. 12D. -12
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
已知sinθ=-35，则cs2θ= ．
已知函数f(x)=2sinωxcsωx+cs2ωx(ω>0)的最小正周期为π.则ω的值为______．
已知向量a=(1,x)，b=(-2,2)，若a⊥b，则x=______．
当x=θ时，函数f(x)=3sinx-csx取得最大值，则tanθ=______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
圆P的圆心坐标为P(0,-2)，且过点A(4,1)．
(1)求圆P的方程；
(2)设直线x+2y+9=0与圆P相交于M，N两点．求△PMN的面积．
某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：
(1)画出散点图；
(2)求回归直线方程；
(3)试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大？
参考公式：b=i-1n(x1-x).(y1-y).i-1n(x1-x.)2=i-1nxiyi-．
已知π2<α<π，sinα=35．
(Ⅰ)求tanα的值；
(Ⅱ)求sin(π+α)-2cs(π2-α)-sin(-α)+cs(π-α)的值．
已知π2<α<π，csα=-45．
(Ⅰ)求tanα的值；
(Ⅱ)求sin2α+cs2α的值．
已知平面向量m=(3sinx-csx,1)，n=(2csx,1)．
(1)若m//n，x∈[0,π2]，求实数x的值；
(2)求函数f(x)=m⋅n的单调递增区间．
已知函数f(x)=sinx-csx(x∈R)．
(Ⅰ)求函数y=f(x)⋅f(π-x)的单调递增区间；
(Ⅱ)求函数y=f2(x)+f(2x-π4)的值域．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意知：直线l的斜率为3，则直线l的方程为y=3x+1．
故选：C．
先求出斜率，再由直线的点斜式方程求解即可．
本题考查直线方程的求法，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由程序框图可得，S=12+22+32=14，S=12+22+32+42=30，可以输出i的值为5．
故选：A．
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：这五个社团的总人数为810%=80，802000=4%.A错误，C错误．
因为太极拳社团人数的占比为128×10%=15%，所以脱口秀社团人数的占比为1-10%-15%-30%-25%=20%，B正确．
从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为25%+20%=45%，D错误．
故选：B．
根据饼状图及有关数据得各个社团比例，计算人数及相应概率判断各选项．
本题考查古典概型，考查学生的运算能力，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：圆(x-a)2+(y-a)2=a2的圆心为(a,a)，半径为|a|(a≠0)，
圆心到直线2x-y+1=0的距离为|a+1|5，
又(|a+1|5)2+1=a2，解得：a=32或-1．
故选：C．
利用圆心到直线的距离公式，及弦心距计算即可得出结果．
本题考查直线与圆的位置关系，属基础题．
5.【答案】B
【解析】解：区间[-2,3]，区间长度为5，x∈[1,4]包含于[-2,3]的区间长度为2，
故x∈[1,4]的概率为25．
故选：B．
利用几何概型的定义，计算即可．
本题考查几何概型，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：csα-sinα=112+(-3)2--312+(-3)2=410=2105．
故选：A．
根据正余弦的定义分别求解α的正余弦，再求解即可．
本题考查任意角的三角函数的定义，基本知识的考查．
7.【答案】A
【解析】解：因为α∈(-π2,0)，cs(π2+α)=32=-sinα，
所以sinα=-32，csα=1-sin2α=12，
则tanα=sinαcsα=-3212=-3．
故选：A．
由已知利用诱导公式可求sinα的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求csα，tanα的值．
本题考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：已知点P(-3,1,-4)，再由空间直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标和竖坐标互为相反数，纵坐标不变，
可得：点P关于y轴对称的点的坐标为(3,1,4)．
故选：D．
根据空间坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标和竖坐标互为相反数即可求解结论．
本题考查了空间中的点的坐标，点关于x轴，y轴及原点对称时横纵坐标的符号，属于基础题．
9.【答案】B
【解析】解：∵a//b，∴x2-4=0，解得x=±2．
当x=-2时，b=-2a，满足向量a和b方向相反，应舍去．
当x=2时，b=2a，满足向量a和b方向相同．
因此，实数x的值是2．
故选：B．
利用向量共线定理即可得出．
熟练掌握向量共线定理是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：因为tan712π=tan(π4+π3)=tanπ4+tanπ31-tanπ4tanπ3=1+31-3=-2-3，
所以1+tan712π1-tan712π=1-2-31+2+3=-33．
故选：A．
由712π=π4+π3，利用两角和的正切公式可求tan712π的值，即可计算得解．
本题考查了两角和的正切公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
11.【答案】B
【解析】解：因为tanα=3，
所以sin2α=2sinαcsαsin2α+cs2α=2tanαtan2α+1=2×332+1=35．
故选：B．
由已知利用二倍角的正弦公式以及同角三角函数基本关系式即可求解．
本题考查了二倍角的正弦公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
12.【答案】D
【解析】解：函数f(x)=csx+sin(x-π6)
=csx+32sinx-12csx
=32sinx+12csx
=sin(x+π6)，
因为x∈[0,π]，x+π6∈[π6,7π6]，
所以当x+π6=7π6，即x=π时，f(x)=csx+sin(x-π6)取最小值为-12．
故选：D．
利用两角和与差的正弦公式化简函数解析式可得f(x)=sin(x+π6)，由已知可求范围x+π6∈[π6,7π6]，根据正弦函数的性质即可求解．
本题考查了两角和与差的正弦公式以及正弦函数的性质的应用，考查了函数思想，属于基础题．
13.【答案】725
【解析】
【分析】
本题主要考查了二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．
由二倍角的余弦公式展开后代入已知即可求值．
【解答】
解：∵sinθ=-35，
∴cs2θ=1-2sin2θ=1-2×925=725，
故答案为：725．

14.【答案】1
【解析】解：因为f(x)=sin2ωx+cs2ωx=2sin(2ωx+π4)，
由题设，T=2π2ω=π，则ω=1．
故答案为：1．
由二倍角正弦、辅助角公式可得f(x)=2sin(2ωx+π4)，根据正弦函数的最小正周期求ω的值．
本题考查了二倍角的正弦公式，辅助角公式以及正弦函数的周期性的应用，考查了函数思想，属于基础题．
15.【答案】1
【解析】解：根据题意，向量a=(1,x)，b=(-2,2)，
若a⊥b，则a⋅b=-2+2x=0，解可得x=1，
故答案为：1．
根据题意，由向量数量积的计算公式可得a⋅b=-2+2x=0，解可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的判断，属于基础题．
16.【答案】-3
【解析】解：当x=θ时，f(x)=3sinx-csx=10(310sinx-110csx)=10sin(x-α)取得最大值(其中csα=310,sinα=110)，
∴θ-α=2kπ+π2,k∈Z，即θ=2kπ+π2+α,k∈Z，
∴tanθ=tan(2kπ+π2+α)=tan(π2+a)=sin(π2+α)cs(π2+α)=csα-sinα=-3．
故答案为：-3．
利用三角恒等变换化简函数f(x)，根据正弦型函数的最值解得θ=2kπ+π2+α,k∈Z，利用诱导公式求解tanθ即可．
本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的最值的求法，是基础题．
17.【答案】解：(1)圆P的半径r=|PA|=(4-0)2+(1+2)2=5.故圆P的方程为x2+(y+2)2=25．
(2)圆心P(0,-2)到直线x+2y+9=0的距离d=|0+2×(-2)+9|5=5<5，
根据勾股定理可知弦长|MN|=2r2-d2=225-5=45
故S△PMN=12|MN|d=12⋅45⋅5=10．
【解析】(1)利用两点间距离公式求出半径即可．
(2)利用点到直线距离公式以及勾股定理求出弦长|MN|，再利用三角形面积公式求解即可．
本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的方程的求法，属基础题．
18.【答案】解：(1)把所给的五组数据作为五个点的坐标描到直角坐标系中，得到散点图，如图
(2)x.=2+4+5+6+85=5，y.=30+40+50+60+705=50，
i=15xiyi=1380，i=15xi2=145，
∴b=6.5，a=17.5，
∴线性回归方程为y=6.5x+17.5
(3)当x=10时，y=82.5(百万元)
即当广告费支出为10百万元时，销售额为82.5百万元．
【解析】本题考查线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，这是解答正确的主要环节．
(1)把所给的五组数据作为五个点的坐标描到直角坐标系中，得到散点图，
(2)根据所给的数据先做出数据的平均数，即样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．
(3)把所给的广告费支出为10百万元时，代入线性回归方程，做出对应的销售额，这是一个预报值，与真实值之间有一个误差．
19.【答案】解：(Ⅰ) 因为sinα=35，
所以cs2α=1-sin2α=1-(35)2=1625，
因为π2<α<π，所以csα<0，
所以csα=-1625=-45，
所以tanα=sinαcsα=-34．
(Ⅱ)原式=-sinα-2sinα-(-sinα)+(-csα)=-3sinαsinα-csα=-9535-(-45)=-97．
【解析】(Ⅰ) 由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．
(Ⅱ)利用诱导公式化简所求即可求解．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
20.【答案】解：(Ⅰ)因为csα=-45，π2<α<π，所以sinα=35，…(3分)
所以tanα=sinαcsα=-34.…(5分)
(Ⅱ)因为sin2α=2sinαcsα=-2425，…(8分)
cs2α=2cs2α-1=725，…(11分)
所以sin2α+cs2α=-2425+725=-1725.…(12分)
【解析】(I)由已知可先求sinα，然后利用tanα=sinαcsα即可求解
(II)由二倍角公式可先求sin2α，cs2α，进而可求
本题主要考查了同角基本关系及二倍角公式的简单应用，属于基础试题
21.【答案】解：(1)由m//n可得，3sinx-csx-2csx=0，即23sin(x-π3)=0．
由于x∈[0,π2]，故x=π3．
(2)f(x)=m⋅n=(3sinx-csx)×2csx+1
=23sinxcx-2cs2x+1
=3sin2x-cs2x
=2(csπ6sin2x-sinπ6cs2x)
=2sin(2x-π6)，
令-π2+2πk≤2x-π6≤π2+2πk，k∈Z，即-π6+kπ≤x≤π3+kπ．
即单调递增区间为[-π6+kπ,π3+kπ]，k∈Z．
【解析】(1)根据向量共线的坐标表示，列出方程，结合三角函数的性质，可求得答案；
(2)根据数量积的坐标表示求得函数的表达式，结合三角函数的恒等变换进行化简，可得f(x)=2sin(2x-π6)，利用正弦函数的性质求得其单调增区间．
本题主要考查向量的数量积公式和正弦函数单调性，属于中档题．
22.【答案】解：(Ⅰ)函数y=f(x)⋅f(π-x)
=(sinx-csx)[sin(π-x)-cs(π-x)]
=(sinx-csx)(sinx+csx)
=sin2x-cs2x=-cs2x，
令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z，解得kπ≤x≤kπ+π2，k∈Z，
所以函数y=f(x)⋅f(π-x)的单调递增区间为[kπ,kπ+π2]，k∈Z．
(Ⅱ)函数y=f2(x)+f(2x-π4)
=(sinx-csx)2+sin(2x-π4)-cs(2x-π4)
=1-sin2x+22sin2x-22cs2x-22cs2x-22sin2x
=1-sin2x-2cs2x
=-3sin(2x+φ)+1，其中tanφ=2，
因为sin(2x+φ)∈[-1,1]，
所以-3sin(2x+φ)+1∈[-3+1,3+1]，
即函数y=f2(x)+f(2x-π4)的值域为[-3+1,3+1]．
【解析】(Ⅰ)利用诱导公式及二倍角的余弦公式化简函数y=f(x)⋅f(π-x)，再由余弦函数的性质求解即可；
(Ⅱ)利用三角恒等变换化简函数y=f2(x)+f(2x-π4)，由正弦函数的性质即可求得值域．
本题主要考查三角函数种的恒等变换，三角函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70