初中沪科版12.2 一次函数教案

12.2一次函数

第5课时一次函数的应用——方案决策

教学目标

【知识与能力】

1．能根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数关系式．

2．能将简单的实际问题转化为数学问题(建一次函数)，从而解决实际问题。

【过程与方法】

在预设与生成问题之间交替进行课堂教学，根据课堂实施和学生反馈的信息，因势利导，随机应变，调整教学环节，努力为学生提供充分参与数学活动的机会，帮助他们获得一些数学活动经验。

【情感态度价值观】

进一步感受数学在指导人们的实践活动方面的重要意义，从问题的解决与探究中进一步感悟函数的应用价值，培养解决实际问题的数学能力。

教学重难点

【教学重点】

理解正比例函数和一次函数图象的性质。

【教学难点】

培养学生用“数形结合”的思想方法解决数学问题的能力。

课前准备

课件、教具等。

教学过程

一、情境导入

在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y(cm)与燃烧时间x(h)之间的关系如图所示，请根据图象提供的信息解答下列问题：

(1)分别求出甲、乙两根蜡烛燃烧时，y与x的函数关系式；

(2)燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相同(不考虑都燃尽时的情况)?

(3)在哪个时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高？在哪个时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛矮？

你会解答上面的问题吗？学完本节知识，相信你一定能很快得出答案．

二、合作探究

探究点：实际问题中的方案选择

例1  电信局为满足不同客户的需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图(MN∥CD)，若通话时间为500分钟，则应选择哪种方案更优惠(　　)

A．方案A

B．方案B

C．两种方案一样优惠

D．不能确定

解析：由图可知，通话时间为500分钟时，方案A的费用是230元，方案B的费用是168元，∵230＞168，∴选择方案B更优惠．故选B.

方法总结：根据图象可知通话500分钟两种方案的通话费用，选择费用少的一种方案即可．

例2  某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x(x≥2)个羽毛球，供社区居民免费借用．该社区附近A，B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价均为3元，目前两家超市同时在做促销活动：

A超市：所有商品均打九折(按标价的90%)销售；

B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球．

设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA(元)，在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yB(元)．请解答下列问题：

(1)分别写出yA和yB与x之间的关系式；

(2)若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？

(3)若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案．

解析：(1)可根据题意，直接写出yA和yB与x之间的关系式；(2)题在第(1)题的基础上，分类讨论，得到对应的自变量的取值范围；(3)题须在(2)题的基础上再次分类讨论，特别需要提醒的是，这里不再限制“只在一家超市购买”，所以，要考虑到B超市免费送羽毛球的情况，经过计算、比较，得到结果．

解：(1)yA＝27x＋270，yB＝30x＋240；

(2)当yA＝yB时，27x＋270＝30x＋240，解得x＝10；

当yA＞yB时，27x＋270＞30x＋240，解得x＜10；

当yA＜yB时，27x＋270＜30x＋240，解得x＞10.

∴当2≤x＜10时，到B超市购买划算；当x＝10时，两家超市都一样；当x＞10时，到A超市购买划算；

(3)∵x＝15＞10，∴①选择在A超市购买，yA＝27×15＋270＝675(元)；

②可先在B超市购买10副羽毛球拍，送20个羽毛球，后在A超市购买剩下的羽毛球(10×15－20＝130)个，则共需费用：10×30＋130×3×0.9＝651(元)．

∵651＜675，∴最省钱的购买方案是：先在B超市购买10副羽毛球拍，后在A超市购买130个羽毛球．

方法总结：解答函数的应用题，必须读懂题意，注意题干条件与各个问题的条件之间的关系：题干中的条件适用于每一个小题，但是，各个小题的条件并不互相影响；要针对各个小题的条件，结合所问问题做不同的分类讨论．

例3  某县区大力发展猕猴桃产业，预计今年A地将采摘200吨，B地将采摘300吨．若要将这些猕猴桃运到甲、乙两个冷藏仓库，已知甲仓库可储存240吨，乙仓库可储存260吨，从A地运往甲、乙两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往甲、乙两处的费用分别为每吨15元和18元．设从A地运往甲仓库的猕猴桃为x吨，A、B两地运往两仓库的猕猴桃运输费用分别为yA元和yB元．

(1)分别求出yA、yB与x之间的函数关系式；

(2)试讨论A、B两地中，哪个的运费较少；

(3)考虑B地的经济承受能力，B地的猕猴桃运费不得超过4830元，在这种情况下，请问怎样调运才能使两地运费之和最少？求出这个最小值．

解析：(1)我们可借助表格，理清A、B两地各自运往两仓库的猕猴桃的重量，

这样就很容易表示出yA、yB与x的函数关系式；(2)比较A、B两地中，哪个的运费较少要进行分类讨论；(3)先建立两地运费之和y与x之间的函数关系式，再在yB≤4380的情况下，确定出运费最小的方案．

解：(1)yA＝20x＋25(200－x)＝－5x＋5000，yB＝15(240－x)＋18(60＋x)＝3x＋4680；

(2)∵yA－yB＝(－5x＋5000)－(3x＋4680)＝－8x＋320，

∴当－8x＋320＞0，即x＜40时，B地的运费较少；

当－8x＋320＝0，即x＝40时，两地的运费一样多；

当－8x＋320＜0，即x＞40时，A地的运费较少；

(3)设两地运费之和为y元，则y＝yA＋yB＝(－5x＋5000)＋(3x＋4680)＝－2x＋9680.

由题意得yB＝3x＋4680≤4830，解得x≤50.

∵y随x的增大而减小，x最大为50，

∴y最小＝－2×50＋9680＝9580.

∴在此情况下，当A地运往甲、乙两仓库分别为50吨、150吨；B地运往甲、乙两仓库分别为190吨、110吨时，才能使两地运费之和最少，最少是9580元．

方法总结：阅读理解题的解题关键是读懂题意．第(2)小题比较大小要注意分类讨论，第(3)小题是利用一次函数的方案设计问题，一般先根据数量之间的关系建立函数，然后再利用一次函数的增减性确定出符合要求的最佳方案．

三、板书设计

教学反思

本节课通过提出问题，创设情境来提高学生的学习兴趣，然后通过师生的双边活动让学生理解利用一次函数进行方案决策的一般思路，并拓展到决策性问题的探究，以锻炼学生的探究归纳能力．