初中数学沪科版八年级上册12.3 一次函数与二元一次方程教学设计及反思

12.3一次函数与二元一次方程

教学目标

【知识与能力】

1.学会用函数图象来解二元一次方程组.

2.通过学习,了解方程组的解在坐标平面内的意义。

【过程与方法】

1.经历探索、思考等教学活动和思维过程,发展学生的合情推理能力,能有条理地、清晰地阐述观点.

2.让学生体验数形结合的思想和解决问题的方法,提高解决问题的能力.

3.体会解决问题的多种途径,发散学生的思维,发展学生的创新能力和实践能力。

【情感态度价值观】

在探究过程中发展学生的合作交流意识和独立思考精神,增强学生对数学思维、数学方法的好奇心和兴趣。

教学重难点

【教学重点】

用图象法解二元一次方程组。

【教学难点】

归纳用图象法解二元一次方程组的具体步骤。

课前准备

课件、教具等。

教学过程

一、情境导入

(1)二元一次方程y－x＝1有多少个解？你能写出方程的几组解吗？

(2)二元一次方程y－x＝1可以写成一次函数吗？

(3)画出一次函数y＝x＋1的图象．

(4)把(1)题中方程的几组解作为坐标的点在(3)题中坐标系上描出来，你发现了什么？

(5)一次函数y＝x＋1的图象上的点的坐标适合二元一次方程y－x＝1吗？

二、合作探究

探究点一：一次函数与二元一次方程

例1  下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x－2y＝2的解的是(　　)

解析：观察直线与坐标轴的交点坐标与二元一次方程的相应数值对应情况即可找到答案．对于二元一次方程x－2y＝2，当x＝0时，y＝－1；当y＝0时，x＝2，故直线与两坐标轴的交点应该是(0，－1)，(2，0)．故选C.

方法总结：直线与x轴的交点的横坐标即是二元一次方程中当y＝0时x的值；直线与y轴的交点的纵坐标即是二元一次方程中当x＝0时y的值，注意数形结合．

探究点二：一次函数与二元一次方程组

【类型一】利用交点的坐标确定二元一次方程组的解

例2  如图，如果一次函数y＝k1x＋b1的图象l1与y＝k2x＋b2的图象l2，相交于点P，则方程组的解是(　　)

A. B.C. D.

解析：方程组的解就是直线l1与直线l2的交点P的坐标，如图．∵点P的坐标为(－2，3)，∴方程组的解是故选A.

方法总结：二元一次方程组是由含有两个未知数的两个一次方程组成，而每个一次方程的图象都是一条直线；两条直线的交点坐标表示该方程组中各个方程的公共解，也就是这个二元一次方程组的解．

【类型二】利用二元一次方程组的解确定交点的坐标

例3已知方程组的解是确定一次函数y＝x＋与y＝x－m图象交点的坐标．

解析：可以根据方程组的解，得出m的值，构造方程组计算交点坐标，也可以变化两个函数解析式使其与方程组中的两个方程的形式相同，直接得出图象的交点坐标．

解：y＝x＋可变形为－3x＋4y＝6，y＝x－m可变形为2x－3y＝m，所以直线y＝x＋与y＝x－m交点的坐标即是原方程组的解中x，y的对应值，因此两个一次函数图象的交点坐标即是(2，3)．

方法总结：灵活运用方程组的解与一次函数图象交点坐标信息，通过方程与一次函数的适当形式变化，达到不解方程组即可得出方程组的解或图象交点坐标的目的．

【类型三】二元一次方程组解的情况与两直线位置的关系

例4  不解方程组，判断下列方程组的解的情况：

(1)　(2)

(3)

解析：可以用方程组对应系数的比来判断，也可以化成一次函数关系式，比较k，b是否相等来判断，方法应灵活．

解：(1)把方程②化为一般形式为y＝2x＋，与方程①对比：k相等，b不等，两直线平行，所以原方程组无解；

(2)由≠可知，原方程组有唯一解；

(3)将②变形为4x＋6y＝8.由＝＝知，原方程组有无数个解．

方法总结：二元一次方程组的解有三种情况．当把二元一次方程组化为标准形式后，比较两个方程中x的系数之比、y的系数之比以及常数项之比，从中可以发现以下规律：

(1)当≠时，两条直线相交，这时对应的二元一次方程组的解即为交点的横、纵坐标；

(2)当＝≠时，两条直线平行，无交点，这时对应的二元一次方程组无解；

(3)当＝＝时，两直线重合，有无数个交点，这时对应的二元一次方程组有无数个解．

【类型四】利用一次函数的图象与二元一次方程的关系解不等式

例5  直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x＋c如图所示，则关于x的不等式k1x＋b＜k2x＋c的解集为(　　)

A．x＞1  B．x＜1

C．x＞－2  D．x＜－2

解析：如图所示，直线y＝k1x＋b与直线y＝k2x＋c相交于点(1，－2)，当x＜1时，直线y＝k1x＋b上的部分在直线y＝k2x＋c上相应部分的下方，所以不等式k1x＋b＜k2x＋c的解集为x＜1.故答案为B.

方法总结：方程k1x＋b＝k2x＋c的解就是直线y＝k1x＋b与y＝k2x＋c的交点的横坐标；不等式k1x＋b＞k2x＋c的解集就是在直线y＝k1x＋b与y＝k2x＋c的交点一侧，使直线y＝k1x＋b位于直线y＝k2x＋c上方对应的自变量的取值范围；不等式k1x＋b＜k2x＋c的解集就是在直线y＝k1x＋b与y＝k2x＋c的交点一侧，使直线y＝k1x＋b位于直线y＝k2x＋c下方对应的自变量的取值范围．

三、板书设计

教学反思

创设情境，引出一次函数与二元一次方程有一定的关系，使学生主动投入到一次函数与二元一次方程(组)关系的探索活动中．引导学生自主探索、合作交流，从数和形两个角度认识它们的关系，使学生真正掌握本节课的重点知识．在创设情境时营造氛围，引起学生的注意和学习兴趣，激发学生的求知欲．在知识的形成概念上，让学生有意识地用数形结合的思想解决相关问题．