初中数学第13章 三角形中的边角关系、命题与证明13.1 三角形中的边角关系第3课时教案设计

13.1三角形中的边角关系

第3课时三角形中几条重要线段

教学目标

【知识与能力】

1、会画三角形的高、中线与角平分线；

2、了解三角形的三条高所在的直线,三条中线,三条角平分线分别交于一点。

【过程与方法】

经历画图的过程，认识三角形的高、中线与角平分线；经历画、折等实践操作活动过程，发展学生的空间观念，推理能力及创新精神；学会用数学知识解决实际问题的能力，发展应用和自主探究意识，并培养学生的动手实践能力。

【情感态度价值观】

通过对问题的解决，使学生有成就感，培养学生的合作精神，树立学好数学的信心。

教学重难点

【教学重点】

三角形的高、中线与角平分线。

【教学难点】

三角形的角平分线与角的平分线的区别，画钝角三角形的高。

课前准备

课件、教具等。

教学过程

一、情境导入

这里有一块三角形的蛋糕，如果兄弟两个想要平分的话，你该怎么办呢？本节我们一起来解决这个问题．

二、合作探究

探究点一：三角形的角平分线、中线与高的有关概念

【类型一】认识角平分线、中线与高

例1  如图所示，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD中点，延长BG交AC于点E，点F为AB上一点，CF⊥AD于点H，下面判断正确的有(　　)

①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD边AD上的中线；③CH为△ACD中边AD上的高．

A．1个  B．2个  C．3个  D．0个

解析：由∠1＝∠2知AD平分∠BAE，但AD不是△ABE内的线段，所以①错；同理BE经过△ABD中边AD的中点G，但BE不是△ABD中的线段，故②不正确；由于CH⊥AD于点H，故CH是△ACD中边AD上的高，故③正确．答案为A.

方法总结：判断三角形的中线和角平分线时，一定要注意它们都是线段，且都在三角形内部．三角形的高是垂线段，可在三角形的内部、外部或与三角形的一条边重合．

【类型二】三角形高的画法

例2  画△ABC的边AB上的高，下列画法中，正确的是(　　)

解析：根据概念可知，三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．过点C作边AB的垂线段，即画AB边上的高CD，所以画法正确的是D.故选D.

方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．

探究点二：三角形中有关中线、角平分线、高的常见计算

【类型一】应用三角形的中线求线段的长

例3  在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝________.

解析：如图，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∴△ABD的周长－△ADC的周长＝(BA＋BD＋AD)－(AC＋AD＋CD)＝BA－AC，∴BA－5＝2，∴BA＝7cm.

方法总结：通过本题要理解三角形的中线的定义，解决问题的关键是将△ABD与△ADC的周长之差转化为边长的差．

【类型二】三角形的角平分线、高结合求角度

例4   如图所示，AD，AE是△ABC的高和角平分线，∠B＝36°，∠C＝76°，求∠DAE的度数．

解析：由三角形内角和定理可求得∠BAC的度数，在Rt△ADC中，可求得∠DAC的度数，AE是△ABC的角平分线，有∠EAC＝∠BAC，故∠DAE＝∠EAC－∠DAC.

解：∵∠B＝36°，∠C＝76°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝68°，∵AE是△ABC的角平分线，∴∠EAC＝∠BAC＝34°.∵AD是高，∠C＝76°，∴∠DAC＝90°－∠C＝14°，∴∠DAE＝∠EAC－∠DAC＝34°－14°＝20°.

方法总结：利用三角形的内角和、角平分线、高的相关性质进行简单计算，注意图形中的角的数量关系．

【类型三】利用中线解决三角形的面积问题

例5  如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝________．

解析：∵点D是AC的中点，∴AD＝AC，∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝S△ABC＝×12＝6.∵EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝S△ABC＝×12＝4.∵S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF，即S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.故答案为2.

方法总结：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．

三、板书设计

教学反思

本节课知识点较多，不仅要让学生理解三角形的高、中线、角平分线的概念，而且还要对三种线段的表示方法和性质进行探讨．在教学中，一直关注学生的自主学习、合作交流的过程，让学生在亲身经历整个探究过程后，能够对三角形的高、中线和角平分线有很好地理解，在获得数学知识的同时，提高探究、发现和总结归纳的能力．在变式练习中，及时发现错误，并展示出来一起讨论．使学生在反思中，不断提升对概念的理解．