初中数学沪科版八年级上册15.2 线段的垂直平分线教案

15.2线段的垂直平分线

教学目标

【知识与能力】

1.经历探究、猜想、验证的过程,进一步发展学生的推理论证能力.

2.培养学生的逻辑思维能力和数学语言表达能力.

3.已知底边及底边上的高,能应用尺规作出线段的垂直平分线。

【过程与方法】

在探究过程中,增强协作交流,进一步发展学生的推理证明意识和能力。

【情感态度价值观】

1.积极参与数学学习活动,增强学生对数学的好奇心和求知欲.

2.在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心。

教学重难点

【教学重点】

线段垂直平分线的性质定理及其逆命题。

【教学难点】

线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的应用上的区别和各自的应用。

课前准备

课件、教具等。

教学过程

一、情境导入

如图，平面上的四边形ABCD是一只“风筝”的骨架，其中AB＝AD，CB＝CD.小明观察了这个“风筝”的骨架后，他认为四边形ABCD的两条对角线AC⊥BD，垂足为E，并且BE＝ED，你同意他的判断吗？

二、合作探究

探究点一：线段垂直平分线的尺规作图

例1  如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？(注：作一对对应点的对称轴就是作线段AB的垂直平分线)

解析：本题其实就是作线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的作法作出即可．

解：作法：(1)分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于E、F两点；

(2)连接直线EF，EF即为所求的直线．同样，对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．

方法总结：要熟练掌握线段垂直平分线的作法，作出的图形中的作图痕迹要保留．

探究点二：线段垂直平分线的性质

【类型一】应用垂直平分线的性质求线段的长

例2  如图，△ABC中，AC＝6，BC＝4.5，分别以A、B为圆心，4为半径画弧交于两点，过这两点的直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长是________．

解析：由线段的垂直平分线的性质可知BD＝AD，那么△BCD的周长其实是AC和BC的长度和．由题意可知过这两点的直线其实是AB边的垂直平分线，所以BD＝AD；所以△BCD的周长＝BD＋CD＋BC＝AD＋CD＋BC＝AC＋BC＝6＋4.5＝10.5.故答案为10.5.

方法总结：利用线段垂直平分线的性质，可以实现线段之间的相关转化，从而求出未知线段的长．

【类型二】应用垂直平分线的性质求角度

例3  如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，DF，EG分别为AB和AC的垂直平分线，求∠DAE的度数．

解析：由题意可知∠DAE＝100°－(∠DAF＋∠EAG)，由DF和EG分别为AB和AC的垂直平分线可证△BDF≌△ADF和△CEG≌△AEG，得∠B＝∠DAF，∠C＝∠EAG.利用三角形内角和定理可求出∠B＋∠C，使问题得到解决．

解：∵DF是AB的垂直平分线，

∴BF＝AF，BD＝AD.

又∵DF＝DF，

∴△BDF≌△ADF(SSS)．

∴∠B＝∠DAF.

同理可得∠C＝∠EAG.

∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，且∠BAC＝100°，

∴∠B＋∠C＝80°，

∴∠DAF＋∠EAG＝80°.

∴∠DAE＝∠BAC－(∠DAF＋∠EAG)＝100°－80°＝20°.

方法总结：有线段的垂直平分线时，一般都过垂直平分线上的点连接线段两端点得相等的线段．

探究点三：线段垂直平分线的判定

例4  如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系．

解析：先利用角平分线和全等证△AED≌△AFD，易证AD垂直平分EF.

解：AD垂直平分EF.∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠DAE＝∠DAF，∠AED＝∠AFD＝90°.

在△ADE和△ADF中，∵

∴△ADE≌△ADF(AAS)，∴DE＝DF，AE＝AF，∴A、D均在线段EF的垂直平分线上，即直线AD垂直平分线段EF.

方法总结：当一条直线上有两点都在同一线段的垂直平分线上时，这条直线就是该线段的垂直平分线，解题时常需利用此性质进行线段相等关系的转化．探究点四：垂直平分线的作法与垂直平分线的性质的综合

例5  现有不在一条直线上的A、B、C三座城市．

(1)现在A、B两城之间建一水果仓库，使其到A、B两城市之间距离相等，此仓库位置唯一吗？它们的位置有怎样的关系？

(2)在B、C两城之间建一水果批发市场，使其到B、C两城市距离相等，市场的位置唯一吗？它们的位置有怎样的关系？

(3)为减少运费，现将水果批发市场与水果仓库建在同一位置，并分别到三城市距离相等，应如何选址？画图说明．

解析：本题可以把城市、水果批发市场、水果仓库看成是几个点，问题(1)就转化为寻找到A、B两点距离相等的点；问题(2)就转化为寻找到B、C两点之间距离相等的点；问题(3)就转化为寻找到A、B、C三点之间距离相等的点，这样就可以用垂直平分线的知识来解决问题．

解：(1)不唯一，它们在一条直线上，此直线为AB的垂直平分线；

(2)不唯一，它们在一条直线上，此直线为BC的垂直平分线；

(3)AB、BC两线段的垂直平分线的交点D即为满足要求的位置．

方法总结：利用转化思想，合理地建立模型，是解决实际问题的关键．

三、板书设计

教学反思

本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因此本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生对线段垂直平分线性质定理的逆定理理解不透彻，还需在今后的教学和作业中进一步巩固和提高．