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初中沪科版13.2 命题与证明课文ppt课件
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这是一份初中沪科版13.2 命题与证明课文ppt课件,共32页。PPT课件主要包含了情境引入,学习目标,导入新课,复习引入,讲授新课,☆三角形的外角的概念,总结归纳,练一练,☆三角形的外角的性质,验证结论等内容,欢迎下载使用。
1.理解并掌握三角形的外角的概念.2.能够在能够复杂图形中找出外角.(难点)3.掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角 的和及三角形的内角和.(重点)4.会利用三角形的外角性质解决问题.
1.在△ABC中,∠A=80°, ∠B=52°,则∠C= .
3.什么是三角形的内角?其内角和等于多少?
三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角,
它们的和是180 °.
2.如图,在△ABC中, ∠A=70°, ∠B=60°, 则∠ACB= ,∠ACD= .
问题:发现懒洋洋独自在O处游玩后,灰太狼打算用迂回的方式,先从A前进到C处,然后再折回到B处截住懒洋洋返回羊村的去路,红太狼则直接在A处拦截懒洋洋,已知∠BAC=40° , ∠ABC=70°.灰太狼从C处要转多少度角才能直达B处?
利用“三角形的内角和为180°”求∠BCD,你会吗?
思考:像∠BCD这样的角有什么特征吗?猜想它的性质.这节课让我们一起来探讨吧.
由三角形内角和得∠BCA=180°-∠A-∠CBA=70°,所以∠BCD=180°-∠BCA=110°.
定义如图,把△ABC的一边BC延长,得到∠ACD,像这样,三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.
∠ACD是△ABC的一个外角
问题1 如图,延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个外角?∠DCE是不是△ABC的一个外角?
在三角形每个顶点处都有两个外角.
∠ACD 与∠BCE为对顶角,∠ACD =∠BCE;
∠BCE是△ABC的一个外角,∠DCE不是△ABC的一个外角.
问题2 如图,∠ACD与∠BCE有什么关系?在三角形的每个顶点处有多少个外角?
画一画 画出△ABC的所有外角,共有几个呢?
☆每一个三角形都有6个外角.☆每一个顶点相对应的外角都有2个,且这2个角为对顶角.
三角形的外角应具备的条件:
①角的顶点是三角形的顶点;②角的一边是三角形的一边;③另一边是三角形中一边的延长线.
每一个三角形都有6个外角.
如图,∠ BEC是哪个三角形的外角?∠AEC是哪个三角形的外角?∠EFD是哪个三角形的外角?
∠BEC是△AEC的外角;
∠AEC是△BEC的外角;
∠EFD是△BEF和△DCF的外角.
问题1 如图,△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系?
∠BCD与∠ACB互补.
问题2 如图,△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A,∠B)有什么关系?
∵∠A+∠B+∠ACB=180°,∠BCD+∠ACB=180°,∴∠A+∠B=∠BCD.
你能用作平行线的方法证明此结论吗?
证明:过C作CE平行于AB,
∴∠1= ∠B,(两直线平行,同位角相等)
∠2= ∠A , (两直线平行,内错角相等)
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
已知:如图,△ABC,求证:∠ACD=∠A+∠B.
解:∵∠2=∠1+∠B,∴∠2>∠1.
解:∵∠2=∠1+∠B, ∠3=∠2+∠D,∴∠3>∠2>∠1.
推论3:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
推论4:三角形的外角大于与它不相邻任何一个内角.
∠CAD > ∠B, ∠CAD > ∠C
三角形内角和定理的推论
练一练:说出下列图形中∠1和∠2的度数:
∠1=40 °, ∠2=140 °
∠1=18 °, ∠2=130 °
例1 如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC的度数.
∵ ∠BEC是△AEC的一个外角,
∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE,
∵∠A=42° ,∠ACE=18°,
∴ ∠BEC=60°.
∵ ∠BFC是△BEF的一个外角,
∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF,
∵ ∠ABD=28° ,∠BEC=60°,
∴ ∠BFC=88°.
例2 如图,P为△ABC内一点,∠BPC=150°, ∠ABP=20°,∠ACP=30°,求∠A的度数.
解析:延长BP交AC于E或连接AP并延长,构造三角形的外角,再利用外角的性质即可求出∠A的度数.
解:延长BP交AC于点E,则∠BPC,∠PEC分别为△PCE,△ABE的外角, ∴∠BPC=∠PEC+∠PCE,∠PEC=∠ABE+∠A,∴∠PEC=∠BPC-∠PCE =150°-30°=120°.∴∠A=∠PEC-∠ABE=120°-20°=100°.
【变式题】 (一题多解)如图,∠A=51°,∠B=20°,∠C=30°,求∠BDC的度数.
思路点拨:添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
解法一:连接AD并延长于点E.在△ABD中,∠1+∠ABD=∠3,在△ACD中,∠2+∠ACD=∠4.因为∠BDC=∠3+∠4,∠BAC=∠1+∠2,所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD =51° +20°+30° =101°.
解法二:延长BD交AC于点E.在△ABE中,∠1=∠ABE+∠BAE,在△ECD中,∠BDC=∠1+∠ECD.所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD =51° +20°+30°=101°.
解法三:连接延长CD交AB于点F(解题过程同解法二).
总结:解题的关键是正确的构造三角形,利用三角形外角的性质及转化的思想,把未知角与已知角联系起来求解.
例3 如图, ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三个外角,它们的和是多少?
解:由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,得∠BAE= ∠2+ ∠3,∠CBF= ∠1+ ∠3,∠ACD= ∠1+ ∠2.又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °,所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
解法二:如图,∠BAE+∠1=180 ° ① , ∠CBF +∠2=180 ° ②,∠ACD +∠3=180 ° ③,又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °,①+ ②+ ③得∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD+(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °,所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °-180°=360°.
解法三:过A作AM平行于BC,
所以 ∠1+ ∠2+ ∠3= ∠1+ ∠4+ ∠BAM=360°
∠2+ ∠ 3= ∠ 4+∠BAM,
结论:三角形的外角和等于360°.
思考 你能总结出三角形的外角和的数量关系吗?
1.判断下列命题的对错.(1)三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. ( )(2)三角形的外角和等于它的内角和的2倍. ( )(3)三角形的一个外角等于两个内角的和. ( )(4)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.( )(5)三角形的一个外角大于任何一个内角. ( )(6)三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.( )
2.如图,AB//CD,∠A=37°, ∠C=63°,那么∠F 等于 ( )
A.26°B.63°C.37°D.60°
3.(1)如图,∠BDC是________ 的外角,也是 的外角; (2)若∠B=45 °, ∠BAE=36 °, ∠BCE=20 °,试求∠AEC的度数.
解:根据三角形外角的性质有∠ADC= ∠B+ ∠BCE,∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE.所以∠AEC= ∠B+∠BCE+ ∠BAE =45 °+20 °+36 °=101 °.
解:因为∠ADC是△ABD的外角.
4 .如图,D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD, ∠ADC=80°,∠BAC=70°,求:(1)∠B 的度数;(2)∠C的度数.
∠B+∠BAC+∠C=180°,
∠C=180º-40º-70º=70°.
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
又因为∠B=∠BAD,
解:∵∠1是△FBE的外角,
∴∠1=∠B+ ∠E,
同理∠2=∠A+∠D.
在△CFG中,∠C+∠1+∠2=180º,
∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E= 180º.
5.如图,求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.
6.如图,试求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=________.