人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用集体备课课件ppt

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1.空间中点、直线和平面的向量表示(1)点→点+位置向量 (2)线→点+方向向量 (3)平面→点+法向量
2.空间中直线、平面的平行
下面我们就看看直线与直线垂直的向量表示及其应用
类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间又有什么样关系呢？
【思考】由直线与直线垂直的关系，可以得到这两条直线的方向向量有什么关系？
显然的，就是：这两条直线的方向向量垂直
(1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量相互垂直.
(2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直，坐标法证明两直线垂 直即证两直线方向向量的数量积为0.
则由已知条件和正三棱柱的性质，
证（法二）设AB的中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，建立如图所示的 空间直角坐标系.
证:由题意，以点B为坐标原点，在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴， BC所在直线为y轴，在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴，建立如图 所示的空间直角坐标系，
【练1】如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F、 分别为AC，DC的中点.求证：EF⊥BC.
我们知道直线与直线垂直，就是这两条直线的方向向量垂直，那么，直线与平面垂直的向量表示又是怎样的呢？
直线与平面垂直，就是：直线的方向向量与平面的法向量平行；
说明：(1)若证明线面垂直，即证明直线的方向向量与平面的法向量平行.
(2)证明线面垂直的方法：
①基理论：用基向量表示直线所在的向量，证直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零；
②坐标理论：建系，求直线方向向量的坐标，证直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零；
③法向量理论：建系，求直线方向向量及平面法向量的坐标，证直线方向向量与平面法向量共线。
证：设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，
设平面B1AC的法向量为n＝(x，y，z)，
则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2).
令x＝1得n＝(1,1，－1)，
∴EF⊥平面B1AC.
例4　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC.
证:以D为坐标原点，DC，DA，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系.
所以EF⊥PB，EF⊥AB.
设DA＝1，E(a,0,0)，其中a＞0，则C(2a,0,0)，A(0,1,0)，B(2a,1,0)，
【练2】如图所示,在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,AD＝PD,E,F分别为CD,PB的中点. 求证：EF⊥平面PAB.
又PB⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PB∩AB＝B，所以EF⊥平面PAB.
由上可知：直线与平面垂直，就是：直线的方向向量与平面的法向量平行，接下来我们研究学习平面与平面垂直的向量表示。
平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直
说明：(1)若证面面垂直，则证两平面的法向量垂直.
(2)利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径：
一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；
二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直.
(3)向量法证明面面垂直的优越性：
不必考虑图形的位置关系，
恰当建系后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，
思路方法“公式化”，降低了思维难度.
证:以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴 建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(1,0,0)，D1(0,0,1)，E(0,1,0)，F(1/2,2,0).
证:（法一）如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在直线 分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
而PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC.又FG⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PBC.
令PA＝PB＝PC＝3，则A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0)，
例6 如图,在正三棱锥P－ABC中,三条侧棱两两互相垂直,G是△PAB的重心,E，F分别为BC，PB上的点， 且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证：平面GEF⊥平面PBC.
证（法二）同法一建立空间直角坐标系，
则E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0).
设平面EFG的法向量是n＝(x，y，z)，
即n＝(0,1，－1).
即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直，所以平面EFG⊥平面PBC.
证 如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA，DP，DC分别 为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系.
所以 PQ⊥DQ，PQ⊥DC，
则D(0,0,0)，Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，
又⸪DQ∩DC＝D，DQ，DC⊂平面DCQ，∴PQ⊥平面DCQ，
又⸪ PQ⊂平面PQC，∴平面PQC⊥平面DCQ.
1.设l1的一个方向向量为a＝(1,3，－2)，l2的一个方向向量为b＝(－4,3，m)，若l1⊥l2， 则m等于 （ ）
解 因为l1⊥l2，所以a·b＝0，
即1×(－4)＋3×3＋(－2)×m＝0，
2.已知平面α的法向量为a＝(1,2,－2),平面β的法向量为b＝(－2,－4,k),若α⊥β,则k等于( ) A.4 B.－4 C.5 D.－5
解　∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0.∴k＝－5.
3.如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1， 若E，F分别为PB，AD的中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是______.
解 以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
4.在空间直角坐标系中，已知直角三角形ABC的三个顶点为A(－3,－2,1),B(－1,－1,－1)， C(－5，x,0)，则x的值为________.
解　∵A(－3，－2,1)，B(－1，－1，－1)，C(－5，x,0)，
综上，x的值为0或9.
证 如图，连接OP，OQ，PQ，取O为坐标原点，以OA，OC所在直线为x轴、z轴， 建立空间直角坐标系(如图所示).
5.如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC＝1， 设P为AC的中点，Q在AB上，且AB＝3AQ，证明：PQ⊥OA.
6.如图，在四棱锥E－ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2， ∠BCE＝120°，求证：平面ADE⊥平面ABE.
证 取BE的中点O，连接OC，因为AB⊥平面BCE，
以O为原点建立空间直角坐标系(如图所示).
设平面ADE的法向量为n＝(a，b，c)，
又AB⊥平面BCE，OC⊂平面BCE，所以AB⊥OC.
因为BE⊥OC，AB∩BE＝B，AB，BE⊂平面ABE，所以OC⊥平面ABE.
所以平面ABE的法向量可取为m＝(1,0,0).
所以平面ADE⊥平面ABE.
(1)直线与直线垂直的向量表示.
2.方法归纳：转化法、法向量法.
3.易错点：直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面间的垂直关系的对应易混.
(2)直线与平面垂直的向量表示.
(3)平面与平面垂直的向量表示.
课本p33 练习 1，2，3