高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用导学案，共14页。
1．会用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题．
2．能将某些实际问题抽象为三角函数模型．
1．三角函数模型的作用
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用．
2．用函数模型解决实际问题的一般步骤
收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在解决实际问题时，利用收集的数据作散点图，可精确估计函数模型．( )
(2)若函数y＝asinx＋1在x∈[0,2π]上有两个不同零点，则实数a的取值范围是a∈[－1,1]．( )
(3)已知某一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(5,4)π))＋20，x∈[4,16]，则该地区在这一时段的温差为20℃.( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
题型一 三角函数在物理中的应用
【典例1】 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,3)))，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题：
(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
(3)经过多长时间小球往复振动一次？
[思路导引] 画出函数图象，再求解．
[解] 列表如下，
描点、连线，图象如图所示．
(1)将t＝0代入s＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,3)))，得s＝4sineq \f(π,3)＝2eq \r(3)，
所以小球开始振动时的位移是2eq \r(3) cm.
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.
(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.
处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．
(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．
[针对训练]
1．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt＋\f(π,6)))来表示，求：
(1)开始时电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
[解] (1)当t＝0时，E＝220eq \r(3)sineq \f(π,6)＝110eq \r(3) V.
(2)电压值重复出现一次的时间间隔
T＝eq \f(2π,100π)＝eq \f(1,50) s.
(3)电压的最大值为220eq \r(3) V.
第一次获得最大值的时间为
100πt＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即t＝eq \f(1,300) s.
题型三 三角函数在实际生活中的应用
【典例2】 某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：
据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数模型y＝Asinωt＋B的图象．
(1)试根据数据表和曲线，求出y＝Asinωt＋B的解析式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)
[思路导引] (1)根据所给水深数据，求出解析式；(2)由三角不等式求解．
[解] (1)从拟合的曲线可知，函数y＝Asinωt＋B的一个周期为12小时，因此ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,6).又ymin＝7，ymax＝13，
∴A＝eq \f(1,2)(ymax－ymin)＝3，
B＝eq \f(1,2)(ymax＋ymin)＝10.
∴函数的解析式为y＝3sineq \f(π,6)t＋10(0≤t≤24)．
(2)由题意，得水深y≥4.5＋7，
即y＝3sineq \f(π,6)t＋10≥11.5，t∈[0,24]，
∴sineq \f(π,6)t≥eq \f(1,2)，
eq \f(π,6)t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,6)，2kπ＋\f(5π,6)))，k＝0,1，
∴t∈[1,5]或t∈[13,17]，
所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港．
若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．
解三角函数应用问题的基本步骤
[针对训练]
2．通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象.2018年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2℃.
(1)求出该地区该时段的温度函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是( )
A．10000元 B．9500元
C．9000元 D．8500元
[解析] 因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9500(ω>0)，所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9500＝10000；当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9500＝9500，所以ω可取eq \f(3π,2)，φ可取π，即y＝500sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)x＋π))＋9500，当x＝3时，y＝9000.
[答案] C
4．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|1，∴cseq \f(π,6)t>0.
∴2kπ－eq \f(π,2)