2021学年12.3 角的平分线的性质课时练习

这是一份2021学年12.3 角的平分线的性质课时练习，共12页。试卷主要包含了三角形的三条角平分线交于一点，已知等内容，欢迎下载使用。

(打“√”或“×”)
1．到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．(×)
2．用尺规作已知角平分线的理论依据是SAS.(×)
3．三角形的三条角平分线交于一点．(√)
知识点1 角的平分线的性质
1．(2021·天津期中)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若CD＝2，AB＝6，则△ABD的面积是( A )
A.6 B．8 C．10 D．12
【解析】如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵AB＝6，CD＝2，
∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，
∴DE＝CD＝2，
∴△ABD的面积＝ eq \f(1,2) AB·DE＝ eq \f(1,2) ×6×2＝6.
2．(2021·成都期中)如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E.
(1)求∠EDA的度数；
(2)若AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC.
【解析】(1)∵∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝60°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝ eq \f(1,2) ∠BAC＝30°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°，
∴∠EDA＝90°－∠BAD＝60°.
(2)过点D作DF⊥AC于点F.
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DF＝DE＝3.
又AB＝10，AC＝8，
∴S△ABC＝ eq \f(1,2) ×10×3＋ eq \f(1,2) ×8×3＝27.
知识点2 角的平分线的判定
3．如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB.下列条件中：①∠AOC＝∠BOC；②PD＝PE；③OD＝OE；④∠DPO＝∠EPO，能判定OC是∠AOB的平分线的有( D )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】当∠AOC＝∠BOC时，根据角平分线的定义可得OC平分∠AOB，①正确；
∵PD⊥OA，PE⊥OB，当PD＝PE时，根据角的平分线的判定定理可得OC平分∠AOB，②正确；当OD＝OE时，根据“HL”可判定Rt△OPD≌Rt△OPE，则∠AOC＝∠BOC，OC平分∠AOB，③正确；当∠DPO＝∠EPO时，根据“AAS” 可判定△OPD≌△OPE，则∠AOC＝∠BOC，OC平分∠AOB，④正确．
4．(教材P51习题12.3T3改编)已知：如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，且CD，BE相交于O点．
求证：(1)当∠1＝∠2时，OB＝OC；
(2)当OB＝OC时，∠1＝∠2.
【证明】(1)∵∠1＝∠2，OE⊥AC，OD⊥AB，
∴OE＝OD(角平分线上的点到角两边距离相等).
在△OEC与△ODB中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠CEO＝∠BDO，,OE＝OD，,∠3＝∠4，))
∴△OEC≌△ODB(ASA)，∴OB＝OC.
(2)∵OE⊥AC，OD⊥AB，
∴∠OEC＝∠ODB＝90°，
在△OEC与△ODB中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(OB＝OC，,∠3＝∠4，,∠OEC＝∠ODB，))
∴△OEC≌△ODB(AAS).
∴OE＝OD.
∴∠1＝∠2(到角两边距离相等的点在这个角的平分线上).
知识点3 用尺规作已知角的平分线及证明
5．(概念应用题)如图，用尺规作图作∠AOC＝∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA，OB于点E，F，那么第二步的作图痕迹②的作法是( D )
A.以点F为圆心，OE长为半径画弧
B．以点F为圆心，EF长为半径画弧
C．以点E为圆心，OE长为半径画弧
D．以点E为圆心，EF长为半径画弧
【解析】用尺规作图，作∠AOC＝∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA，OB于点E，F，第二步的作图痕迹②的作法是以点E为圆心，EF长为半径画弧．
6．已知：∠AOB.求作：∠AOB的补角的平分线．
【解析】如图所示，先反向延长射线OB得射线OC，得出∠AOB的补角∠AOC，按照用尺规作已知角平分线的方法，作出∠AOC的平分线．
OD就是∠AOB的补角的平分线．
7．证明命题“角平分线上的点到角两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．
已知：如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，______________________________．
求证：____________．
请你补全已知和求证，并写出证明过程．
【解析】已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
求证：PD＝PE，
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°.
在△PDO和△PEO中，∠PDO＝∠PEO， ∠AOC＝∠BOC，OP＝OP，
∴△PDO≌△PEO(AAS).
∴PD＝PE.
关键能力·综合练
8．(教材P50练习T2改编)如图，E为∠BAC平分线AP上一点，AB＝4，△ABE的面积为12，则点E到直线AC的距离为( D )
A.3 B．4 C．5 D．6
【解析】∵AB＝4，△ABE的面积为12，
∴点E到直线AB的距离＝ eq \f(2×12,4) ＝6，
∵E为∠BAC平分线AP上一点，
∴点E到直线AC的距离＝6.
9．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是( B )
A．24 B．30 C．36 D．42
【解析】过D作DH⊥AB交BA的延长线于点H，
∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，
∴DH＝CD＝4，
∴四边形ABCD的面积＝S△ABD＋S△BCD＝ eq \f(1,2) AB·DH＋ eq \f(1,2) BC·CD＝ eq \f(1,2) ×6×4＋ eq \f(1,2) ×9×4＝30.
10．(生活情境题)如图，直线l，l′，l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( D )
A．一处 B．两处 C．三处 D．四处
【解析】如图所示，加油站的地址有四处．
11．(2021·无锡期中)如图所示，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE，CF交于点D，则①△ABE≌△ACF，②△BDF≌△CDE，③点D在∠BAC的平分线上．以上结论正确的是( D )
A.只有① B．只有②
C．只有①② D．①②③
【解析】∵∠A＝∠A，∠AEB＝∠AFC＝90°， AC＝AB，∴△ABE≌△ACF(AAS)，
∴∠B＝∠C，AF＝AE，
所以BF＝CE.在△ECD和△FBD中，由于CE＝BF，∠DFB＝∠DEC＝90°，∠B＝∠C，
∴△ECD≌△FBD(ASA)，
∴DE＝DF，
∴点D在∠BAC的平分线上．故①②③均正确．
12．(2021·吉林期中)如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC上一点，∠1＝∠2，CB＝8，BD＝5.则点D到AB的距离为__3__．
【解析】过D作DE⊥AB于E，∵∠1＝∠2，
∴AD平分∠BAC，
∵∠C＝90°，
∴DE＝CD＝BC－BD＝3，
∴D到AB的距离为3.
13．如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点Q是射线OB上一个动点，若PD＝2 021，则PQ的取值范围为__PQ≥2__021__．
【解析】由垂线段最短可得PQ⊥OB时，PQ最短，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，
∴PQ＝PD＝2 021，
即线段PQ的最小值是2 021.
∴PQ的取值范围为PQ≥2 021.
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF.
(1)求证：CF＝EB.
(2)试判断AB与AF，EB之间存在的数量关系，并说明理由．
【解析】(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DC＝DE，
在Rt△FCD和Rt△BED中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(DC＝DE，,DF＝DB，))
∴Rt△FCD≌Rt△BED，
∴CF＝EB.
(2)在Rt△ACD和Rt△AED中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(DC＝DE，,AD＝AD，))
∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴AC＝AE，
∴AB＝AE＋BE＝AF＋FC＋BE＝AF＋2BE.
15．(素养提升题)已知：如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.
(1)若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请证明你的结论．
(2)线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由．
【解析】(1)AM平分∠DAB.
证明：过点M作ME⊥AD，垂足为E.
∵∠1＝∠2，MC⊥CD，ME⊥AD，
∴ME＝MC(角平分线上的点到角的两边的距离相等).
又∵MC＝MB，
∴ME＝MB，
∵MB⊥AB，ME⊥AD，
∴AM平分∠DAB(在角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上).
(2)AM⊥DM，理由如下：
∵∠B＝∠C＝90°，
∴CD∥AB(垂直于同一条直线的两条直线平行).
∴∠CDA＋∠DAB＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4(角平分线定义)，
∴2∠1＋2∠3＝180°，
∴∠1＋∠3＝90°，
∴∠AMD＝90°，
即AM⊥DM.
模型 角平分线图形结构中的位置及数量关系
如图，OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，DE交OC于点F.
可以得到以下结论：
(1)角之间的相等关系：∠AOC＝∠BOC＝∠PDF＝∠PEF；
∠ODP＝∠OEP＝∠DFO＝∠EFO＝∠DFP＝∠EFP；
∠DPO＝∠EPO＝∠ODF＝∠OEF.
(2)线段的相等关系：OD＝OE，DP＝EP，DF＝EF.
(3)位置关系：OP⊥DE.
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