人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用优秀习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用优秀习题，共7页。

1．(多选题)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题中正确的有( )
A．(a·b)c－(c·a)b＝0
B．|a|＝ eq \r(a·a)
C.a2b＝b2a
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
BD [由于数量积不满足结合律，故A不正确；由数量积的性质知B正确；C中，|a|2b＝|b|2a一定不成立；D运算正确．]
2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱长为1，则 eq \(AC,\s\up6(→)) ·AD1等于( )
A．0 B．1 C． eq \f(1,2) D．－1
3．如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于( )
A．6 eq \r(2) B．6
C．12 D．144
C [因为 eq \(PC,\s\up6(→)) ＝ eq \(PA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BC,\s\up6(→)) ，所以 eq \(PC,\s\up6(→)) 2＝ eq \(PA,\s\up6(→)) 2＋ eq \(AB,\s\up6(→)) 2＋ eq \(BC,\s\up6(→)) 2＋2 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) ＝36＋36＋36＋2×36cs 60°＝144.
所以| eq \(PC,\s\up6(→)) |＝12.]
4．(多选题)已知正方体ABCD­A1B1C1D1，则下列四个命题中，正确的是( )
AB
故A正确；
故B正确；夹角的补角，而与的夹角为120°，故C错误；正方体的体积为
故D错误．综上可知，A，B正确．]
5．设A，B，C，D是空间中不共面的四点，且满足 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) ＝0， eq \(AC,\s\up6(→)) · eq \(AD,\s\up6(→)) ＝0， eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AD,\s\up6(→)) ＝0，则△BCD是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
B [ eq \(BC,\s\up6(→)) · eq \(BD,\s\up6(→)) ＝( eq \(AC,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) )·( eq \(AD,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) )＝ eq \(AC,\s\up6(→)) · eq \(AD,\s\up6(→)) － eq \(AC,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \(AB,\s\up6(→)) 2＝ eq \(AB,\s\up6(→)) 2＞0，同理，可证 eq \(CB,\s\up6(→)) · eq \(CD,\s\up6(→)) ＞0， eq \(DB,\s\up6(→)) · eq \(DC,\s\up6(→)) ＞0.所以△BCD的每个内角均为锐角，故△BCD是锐角三角形．]
6．(多空题)如图，四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F分别为棱AB，AD的中点，则| eq \(BC,\s\up6(→)) － eq \(EF,\s\up6(→)) |＝________， eq \(EF,\s\up6(→)) 与 eq \(AC,\s\up6(→)) 的夹角为________．
eq \r(3) 90° [ eq \(EF,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(BD,\s\up6(→)) ， eq \(BD,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) ＝2×2×cs 60°＝2，
故| eq \(BC,\s\up6(→)) － eq \(EF,\s\up6(→)) |2＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BC,\s\up6(→))－\f(1,2)\(BD,\s\up6(→)))) eq \s\up12(2) ＝ eq \(BC,\s\up6(→)) 2－ eq \(BC,\s\up6(→)) · eq \(BD,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,4) eq \(BD,\s\up6(→)) 2＝4－2＋ eq \f(1,4) ×4＝3.故| eq \(BC,\s\up6(→)) － eq \(EF,\s\up6(→)) |＝ eq \r(3) .
又因为 eq \(EF,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(BD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) ( eq \(AD,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) )，故 eq \(AC,\s\up6(→)) · eq \(EF,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→)) ·( eq \(AD,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) )＝ eq \f(1,2) ( eq \(AC,\s\up6(→)) · eq \(AD,\s\up6(→)) － eq \(AC,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) )＝0，0°≤〈 eq \(EF,\s\up6(→)) ， eq \(AC,\s\up6(→)) 〉≤180°，所以〈 eq \(EF,\s\up6(→)) ， eq \(AC,\s\up6(→)) 〉＝90°.]
7．如图，已知正三棱柱ABC­A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．
90° [不妨设棱长为2，
＝0，
故填90°.]
8．如图，在60°的二面角α­l­β的棱上有两点A，B，点C，D分别在α，β内，且AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝AB＝1，则CD的长度为________．
eq \r(2) [由条件知 eq \(CD,\s\up6(→)) ＝ eq \(CA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BD,\s\up6(→)) ，且〈 eq \(CA,\s\up6(→)) ， eq \(BD,\s\up6(→)) 〉＝120°，所以 eq \(CD,\s\up6(→)) 2＝ eq \(CA,\s\up6(→)) 2＋ eq \(AB,\s\up6(→)) 2＋ eq \(BD,\s\up6(→)) 2＋2 eq \(CA,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) ＋2 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(BD,\s\up6(→)) ＋2 eq \(CA,\s\up6(→)) · eq \(BD,\s\up6(→)) ＝12＋12＋12＋0＋0＋2×1×1×cs 120°＝2，所以| eq \(CD,\s\up6(→)) |＝ eq \r(2) .]
9．已知a，b都是非零向量，且向量a＋3b与7a－5b垂直，向量a－4b与7a－2b垂直，求向量a与b的夹角．
解 由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（a＋3b）·（7a－5b）＝0，,（a－4b）·（7a－2b）＝0，))
即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(7a2＋16a·b－15b2＝0，,7a2－30a·b＋8b2＝0.)) 两式相减得46a·b－23b2＝0，
∴b2＝2a·b，代入7a2＋16a·b－15b2＝0，得a2＝2a·b，
∴a2＝b2＝2a·b.
设a与b的夹角为θ，则cs θ＝ eq \f(a·b,|a||b|) ＝ eq \f(\f(1,2)|a|2,|a|2) ＝ eq \f(1,2) .
∵0°≤θ≤180°，
∴向量a与b的夹角为60°.
10．已知非零向量a，b，c，若p＝ eq \f(a,|a|) ＋ eq \f(b,|b|) ＋ eq \f(c,|c|) ，那么|p|的取值范围为( )
A．[0，1] B．[1，2] C．[0，3] D．[1，3]
C [∵|p|2＝( eq \f(a,|a|) ＋ eq \f(b,|b|) ＋ eq \f(c,|c|) )2＝3＋2( eq \f(a·b,|a||b|) ＋ eq \f(a·c,|a||c|) ＋ eq \f(c·b,|c||b|) )≤3＋2×3＝9，∴0≤|p|≤3.]
11.如图，在正四面体ABCD中，E是BC的中点，那么( )
A． eq \(AE,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) < eq \(AE,\s\up6(→)) · eq \(CD,\s\up6(→))
B． eq \(AE,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AE,\s\up6(→)) · eq \(CD,\s\up6(→))
C． eq \(AE,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) > eq \(AE,\s\up6(→)) · eq \(CD,\s\up6(→))
D． eq \(AE,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) 与 eq \(AE,\s\up6(→)) · eq \(CD,\s\up6(→)) 不能比较大小
C [∵ eq \(AE,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) ( eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) )·( eq \(AC,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) )
＝ eq \f(1,2) (| eq \(AC,\s\up6(→)) |2－| eq \(AB,\s\up6(→)) |2)＝0，
eq \(AE,\s\up6(→)) · eq \(CD,\s\up6(→)) ＝( eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BE,\s\up6(→)) )· eq \(CD,\s\up6(→))
＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ·( eq \(BD,\s\up6(→)) － eq \(BC,\s\up6(→)) )＋ eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(→)) · eq \(CD,\s\up6(→))
＝| eq \(AB,\s\up6(→)) |·| eq \(BD,\s\up6(→)) |·cs 120°－| eq \(AB,\s\up6(→)) |·| eq \(BC,\s\up6(→)) |cs 120°＋ eq \f(1,2) | eq \(BC,\s\up6(→)) |·| eq \(CD,\s\up6(→)) |cs 120° eq \(AE,\s\up6(→)) · eq \(CD,\s\up6(→)) .]
12．在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则 eq \(OG,\s\up6(→)) ·( eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \(OC,\s\up6(→)) )＝________．
eq \f(14,3) [由已知得 eq \(OA,\s\up6(→)) · eq \(OB,\s\up6(→)) ＝ eq \(OA,\s\up6(→)) · eq \(OC,\s\up6(→)) ＝ eq \(OB,\s\up6(→)) · eq \(OC,\s\up6(→)) ＝0，且 eq \(OG,\s\up6(→)) ＝ eq \f(\(OA,\s\up6(→))＋\(OB,\s\up6(→))＋\(OC,\s\up6(→)),3) ，故 eq \(OG,\s\up6(→)) ·( eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \(OC,\s\up6(→)) )＝ eq \f(1,3) ( eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \(OC,\s\up6(→)) )2＝ eq \f(1,3) (| eq \(OA,\s\up6(→)) |2＋| eq \(OB,\s\up6(→)) |2＋| eq \(OC,\s\up6(→)) |2)＝ eq \f(1,3) (1＋4＋9)＝ eq \f(14,3) .]
13．如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，底面边长为 eq \r(2) .
(1)设侧棱长为1，
求证：AB1⊥BC1；
(2) 求侧棱的长．
∵△ABC为正三角形，∴〈 eq \(AB,\s\up6(→)) ， eq \(BC,\s\up6(→)) 〉＝π－〈 eq \(BA,\s\up6(→)) ， eq \(BC,\s\up6(→)) 〉＝π－ eq \f(π,3) ＝ eq \f(2π,3) .
＝2，即侧棱长为2.