高中人教A版 (2019)1.1 空间向量及其运算优秀课时训练

这是一份高中人教A版 (2019)1.1 空间向量及其运算优秀课时训练，共13页。

1．已知△ABC的顶点A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD的长等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6
C [因为 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(4，－5，0)， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(0，4，－3)，则 eq \(AB,\s\up6(→)) 在 eq \(AC,\s\up6(→)) 上的投影为 eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|) ＝ eq \f(－20,5) ＝－4.又| eq \(AB,\s\up6(→)) |＝ eq \r(41) ，
所以AC边上的高BD的长为 eq \r(41－16) ＝5.]
2．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝ eq \r(2) ，E，F分别是平面A1B1C1D1、平面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为( )
A．1 B． eq \f(\r(5),2) C． eq \f(\r(6),2) D． eq \f(3,2)
C [以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则E(1，1， eq \r(2) )，F(2，1， eq \f(\r(2),2) )，
所以|FE|＝ eq \r(（1－2）2＋（1－1）2＋（\r(2)－\f(\r(2),2)）2) ＝ eq \f(\r(6),2) .]
3．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，则点A1到对角线BC1所在的直线的距离为( )
A． eq \f(\r(6),2) a B．a C． eq \r(2) a D． eq \f(a,2)
A [建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a，0，a)，B(a，a，0)，C1(0，a，a).
∴点A1到BC1的距离＝ eq \r(2a2－\f(1,2)a2) ＝ eq \f(\r(6),2) a.]
4．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为( )
A． eq \f(\r(3),4) B． eq \f(\r(3),2) C． eq \f(3\r(3),4) D． eq \r(3)
B [建立如图所示的坐标系，
A1(0，1，0)，B(0，－1，1)，C( eq \r(3) ，0，1)，A(0，1，1)，＝(0，－2，1)，＝( eq \r(3) ，－1，1)，
设平面A1BC的一个法向量为a＝(x，y，z)，
取z＝1，则a＝(－ eq \f(\r(3),6) ， eq \f(1,2) ，1)，所以点A到平面A1BC的距离d＝＝ eq \f(1,\r(（－\f(\r(3),6)）2＋（\f(1,2)）2＋1)) ＝ eq \f(\r(3),2) .]
5．如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN与平面ACD1间的距离是( )
A． eq \f(1,2) B． eq \f(\r(2),2)
C． eq \f(1,3) D． eq \f(\r(3),2)
D [如图，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，D1(0，0，1)，M(1，1， eq \f(1,2) )，N( eq \f(1,2) ，1，1)，C(0，1，0).
所以＝(－1，0，1)， eq \(MN,\s\up6(→)) ＝(－ eq \f(1,2) ，0， eq \f(1,2) ).
所以 eq \(MN,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) ．又直线AD1与MN不重合，
所以MN∥AD1.又MN⊄平面ACD1，
所以MN∥平面ACD1.
设平面ACD1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
所以x＝y＝z，令x＝1，则n＝(1，1，1).
又因为 eq \(AM,\s\up6(→)) ＝(1，1， eq \f(1,2) )－(1，0，0)＝(0，1， eq \f(1,2) )，所以点M到平面ACD1的距离d＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(AM,\s\up6(→))·n,|n|))) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\f(3,2),\(\s\up7(\r(3)),\s\d5( ))))) ＝ eq \f(\r(3),2) .
故直线MN与平面ACD1间的距离为 eq \f(\r(3),2) .]
6．(多选题)如图，在棱长为3的正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为对角线BD1上靠近B点的三等分点，则P到各顶点的距离的取值有( )
A． eq \r(3) B． eq \r(6)
C．3 D．2 eq \r(3)
ABCD [建立如图所示的空间直角坐标系，则A(3，0，0)，B(3，3，0)，C(0，3，0)，D(0，0，0)，A1(3，0，3)，B1(3，3，3)，C1(0，3，3)，D1(0，0，3)，
所以＝(－3，－3，3).
因为 eq \(BP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) ＝(－1，－1，1)，
所以 eq \(DP,\s\up6(→)) ＝ eq \(DB,\s\up6(→)) ＋(－1，－1，1)＝(2，2，1).
所以|PA|＝|PC|＝|PB1|＝ eq \r(12＋22＋12) ＝ eq \r(6) ，
|PD|＝|PA1|＝|PC1|＝ eq \r(22＋22＋12) ＝3，
|PB|＝ eq \r(3) ，|PD1|＝ eq \r(22＋22＋22) ＝2 eq \r(3) .
故P到各顶点的距离的不同取值有 eq \r(6) ，3， eq \r(3) ，2 eq \r(3) .]
7．如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD­A1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为( )
A． eq \f(2,7) B． eq \f(2\r(35),7)
C． eq \f(\r(35),7) D．1
B [过点B作BE垂直A1C，垂足为E，设点E的坐标为(x，y，z)，
则A1(0，0，3)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，＝(1，2，－3)，＝(x，y，z－3)， eq \(BE,\s\up6(→)) ＝(x－1，y，z).
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(5,7)，,y＝\f(10,7)，,z＝\f(6,7)，)) 所以 eq \(BE,\s\up6(→)) ＝(－ eq \f(2,7) ， eq \f(10,7) ， eq \f(6,7) )，
所以点B到直线A1C的距离| eq \(BE,\s\up6(→)) |＝ eq \f(2\r(35),7) .]
8．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为________.
eq \f(\r(42),3) [以 eq \(DA,\s\up6(→)) ， eq \(DC,\s\up6(→)) ，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，
则D1(0，0，2)，F(1，1，0)，G(0，2，1).
＝ eq \r(5－\f(1,3)) ＝ eq \f(\r(42),3) .]
9．(多空题)在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BC，CD的中点，则点D到A1C1的距离为________， 点D到平面EFD1B1的距离为________.
eq \f(\r(6),2) eq \f(1,3) [建立如图所示的空间直角坐标系．
则D1(0，0，0)，A1(1，0，0)，C1(0，1，0)，D(0，0，1)，B1(1，1，0)，F(0， eq \f(1,2) ，1)，E( eq \f(1,2) ，1，1).
即△DA1C1为等边三角形，
所以点D到A1C1的距离为三角形的高 eq \r(2) ×sin 60°＝ eq \f(\r(6),2) .
则可求得平面EFD1B1的一个法向量为n＝(－1，1，－ eq \f(1,2) ).
又＝(0，0，1)，
故点D到平面EFD1B1的距离为d＝]
10．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1.
(1)求BF的长；
(2)求点C到平面AEC1F的距离．
解 (1)建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则各相关点的坐标为D(0，0，0)，B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3).设F(0，0，z).
∵四边形AEC1F为平行四边形，
∴ eq \(AF,\s\up6(→)) ＝，即(－2，0，z)＝(－2，0，2).
∴z＝2.∴F(0，0，2).∴ eq \(BF,\s\up6(→)) ＝(－2，－4，2).
∴| eq \(BF,\s\up6(→)) |＝2 eq \r(6) ，即BF的长为2 eq \r(6) .
(2)设n1为平面AEC1F的法向量，显然n1不垂直于平面ADF，故可设n1＝(x，y，1).
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n1·\(AE,\s\up6(→))＝0，,n1·\(AF,\s\up6(→))＝0，)) 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0×x＋4×y＋1＝0，,－2×x＋0×y＋2＝0，))
即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4y＋1＝0，,－2x＋2＝0，)) ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－\f(1,4)．))
则n1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(1,4)，1)) .
＝ eq \f(4\r(33),11) .
11．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是( )
A． eq \f(6\r(5),5) B． eq \f(4\r(5),5) C． eq \f(2\r(5),5) D． eq \f(\r(5),5)
B [以 eq \(BA,\s\up6(→)) ， eq \(BC,\s\up6(→)) ，的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立坐标系Bxyz，则 eq \(BA,\s\up6(→)) ＝(2，0，0)， eq \(BE,\s\up6(→)) ＝(1，0，2)，
∴cs 〈 eq \(BA,\s\up6(→)) ， eq \(BE,\s\up6(→)) 〉＝ eq \f(\(BA,\s\up6(→))·\(BE,\s\up6(→)),|\(BA,\s\up6(→))||\(BE,\s\up6(→))|) ＝ eq \f(2,2\r(5)) ＝ eq \f(\r(5),5) ，
∴sin 〈 eq \(BA,\s\up6(→)) ， eq \(BE,\s\up6(→)) 〉＝ eq \f(2\r(5),5) .∴点A到直线BE的距离
d＝|AB|sin 〈 eq \(BA,\s\up6(→)) ， eq \(BE,\s\up6(→)) 〉＝ eq \f(4\r(5),5) .]
12．四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AA1＝3，底面是边长为4且∠DAB＝60°的菱形，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，E是O1A的中点，则点E到平面O1BC的距离为( )
A．2 B．1 C． eq \f(3,2) D．3
C [因为OO1⊥平面ABCD，所以OO1⊥OA，OO1⊥OB.又OA⊥OB，所以可建立如图所示的空间直角坐标系．
因为底面ABCD是边长为4且∠DAB＝60°的菱形，所以OA＝2 eq \r(3) ，OB＝2.
则A(2 eq \r(3) ，0，0)，B(0，2，0)，C(－2 eq \r(3) ，0，0)，O1(0，0，3).
设平面O1BC的一个法向量为n1＝(x，y，z)，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2y－3z＝0，,－2\r(3)x－3z＝0.)) 若z＝2，则x＝－ eq \r(3) ，y＝3，
所以n1＝(－ eq \r(3) ，3，2).
设点E到平面O1BC的距离为d，
所以点E到平面O1BC的距离等于 eq \f(3,2) .]
13．已知在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，在CD上截取CE＝4，将△BCE沿BE折起成△BC1E，使△BC1E的高C1F⊥平面ABCD，则点C1到AB的距离为________．
2 eq \r(3) [如图所示，建立空间直角坐标系．
则A(0，0，0)，B(6，0，0)，C1(4，2，2 eq \r(2) )，D(0，4，0)，
于是 eq \(BA,\s\up6(→)) ＝(－6，0，0)，
＝(－2，2，2 eq \r(2) ).
eq \(BA,\s\up6(→)) 上的单位向量是n0＝(－1，0，0)，
所以点C1到AB的距离为
所以d＝ eq \r(16－22) ＝2 eq \r(3) .]
14．如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若BB1＝ eq \r(2) AB＝2 eq \r(2) ，求点C到直线AB1的距离．
解 取AC的中点D，建立如图空间直角坐标系，
则A(0，－1，0)，B1( eq \r(3) ，0，2 eq \r(2) )，C(0，1，0)，所以＝( eq \r(3) ，1，2 eq \r(2) )， eq \(CA,\s\up6(→)) ＝(0，－2，0).
直线AB1的一个单位方向向量s＝( eq \f(1,2) ， eq \f(\r(3),6) ， eq \f(\r(6),3) )，所以点C到直线AB1的距离
d＝ eq \r(|\(CA,\s\up6(→))|2－|\(CA,\s\up6(→))·s|2) ＝ eq \r(（－2）2－（－\f(\r(3),3)）2) ＝ eq \f(\r(33),3) .
15．如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，已知AB＝2，AA1＝5，E，F分别为D1D，B1B上的点，且DE＝B1F＝1.
(1)求证：BE⊥平面ACF；
(2)求点E到平面ACF的距离．
(1)证明 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，5)，E(0，0，1)，F(2，2，4).
∴ eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(－2，2，0)， eq \(AF,\s\up6(→)) ＝(0，2，4)， eq \(BE,\s\up6(→)) ＝(－2，－2，1)， eq \(AE,\s\up6(→)) ＝(－2，0，1).
∴ eq \(BE,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) ＝0， eq \(BE,\s\up6(→)) · eq \(AF,\s\up6(→)) ＝0.
∴BE⊥AC，BE⊥AF.又AC∩AF＝A，且AC，AF⊂平面ACF，
∴BE⊥平面ACF.
(2)解 由(1)知， eq \(BE,\s\up6(→)) 为平面ACF的一个法向量，
∴点E到平面ACF的距离d＝ eq \f(|\(AE,\s\up6(→))·\(BE,\s\up6(→))|,|\(BE,\s\up6(→))|) ＝ eq \f(5,3) .
故点E到平面ACF的距离为 eq \f(5,3) .
16．已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．
(1)求点D到平面PEF的距离；
(2)求直线AC到平面PEF的距离．
解 建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，
E(1， eq \f(1,2) ，0)，F( eq \f(1,2) ，1，0).
(1)设DH⊥平面PEF，垂足为H，则 eq \(DH,\s\up6(→)) ＝x eq \(DE,\s\up6(→)) ＋y eq \(DF,\s\up6(→)) ＋z eq \(DP,\s\up6(→)) ＝(x＋ eq \f(1,2) y， eq \f(1,2) x＋y，z)，其中x＋y＋z＝1.
∵ eq \(PE,\s\up6(→)) ＝(1， eq \f(1,2) ，－1)， eq \(PF,\s\up6(→)) ＝( eq \f(1,2) ，1，－1)，
∴ eq \(DH,\s\up6(→)) · eq \(PE,\s\up6(→)) ＝x＋ eq \f(1,2) y＋ eq \f(1,2) ( eq \f(1,2) x＋y)－z
＝ eq \f(5,4) x＋y－z＝0.同理，x＋ eq \f(5,4) y－z＝0.
又x＋y＋z＝1，由此解得x＝y＝ eq \f(4,17) ，z＝ eq \f(9,17) .
∴ eq \(DH,\s\up6(→)) ＝( eq \f(6,17) ， eq \f(6,17) ， eq \f(9,17) )＝ eq \f(3,17) (2，2，3).
∴| eq \(DH,\s\up6(→)) |＝ eq \f(3\r(17),17) .
即点D到平面PEF的距离为 eq \f(3\r(17),17) .
(2)设AH′⊥平面PEF，垂足为H′，则 eq \(AH′,\s\up6(→)) ∥ eq \(DH,\s\up6(→)) .
设 eq \(AH′,\s\up6(→)) ＝λ(2，2，3)＝(2λ，2λ，3λ)(λ≠0)，
则 eq \(EH′,\s\up6(→)) ＝ eq \(EA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AH′,\s\up6(→)) ＝(0，－ eq \f(1,2) ，0)＋(2λ，2λ，3λ)
＝(2λ，2λ－ eq \f(1,2) ，3λ).
∴ eq \(AH′,\s\up6(→)) · eq \(EH′,\s\up6(→)) ＝4λ2＋4λ2－λ＋9λ2＝0，即λ＝ eq \f(1,17) .
∴ eq \(AH′,\s\up6(→)) ＝( eq \f(2,17) ， eq \f(2,17) ， eq \f(3,17) )＝ eq \f(1,17) (2，2，3).
∴| eq \(AH′,\s\up6(→)) |＝ eq \f(\r(17),17) .
而直线AC∥平面PEF，
∴直线AC到平面PEF的距离为 eq \f(\r(17),17) .