单元素养强化(二) 直线和圆的方程（word练习）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

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单元素养强化(二)　直线和圆的方程[对应学生用书P131]1．直线l过点(1，－2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程为(　　)A．3x＋2y－1＝0　　　　 B．2x＋3y－1＝0C．3x＋2y＋1＝0     D．2x－3y－1＝0C　[设与直线2x－3y＋4＝0垂直的直线方程为3x＋2y＋m＝0，把点(1，－2)代入3x＋2y＋m＝0，得3－4＋m＝0，解得m＝1，∴直线l的方程为3x＋2y＋1＝0.]2．(多选题)(2020·山东郓城第一中学高二月考)已知直线l1：x＋ay－a＝0和直线l2：ax－(2a－3)y－1＝0，下列说法正确的是(　　)A．l2始终过定点(，)B．若l1∥l2，则a＝1或－3C．若l1⊥l2，则a＝0或2D．当a>0时，l1始终不过第三象限ACD　[l2：a(x－2y)＋3y－1＝0过点，A正确；当a＝1时，l1，l2重合，故B错误；由1×a＋a×(3－2a)＝0，得a＝0或2，故C正确；l1：y＝－x＋1始终过，斜率为负，不会过第三象限，故D正确．故选A、C、D.]3．已知直线l：y＝k(x－)和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝(　　)A．0     B．－C．或0     D．－或0D　[∵直线l与圆C相切，∴圆心C到直线l的距离d＝＝1，∴|－1－k|＝，得k＝0或k＝－.]4．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线x＋ay－1＝0的距离为1，则a＝(　　)A．±     B．±C．±     D．±A　[∵圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的标准方程为(x－1)2＋(y－4)2＝4，圆心为(1，4)，∴由圆心到直线x＋ay－1＝0的距离为1可知＝1，解得a＝±.]5．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．在平面直角坐标系中作△ABC，在△ABC中，AB＝AC＝4，点 B(－1，3)，点 C(4，－2)，且其“欧拉线”与圆 (x－3)2＋y2＝r2相切，则该圆的半径为(　　)A．1　　　　B．　　　　C．2　　　　D．2B　[在△ABC中，AB＝AC＝4，点 B(－1，3)，点 C(4，－2)，可得BC边上的高线、垂直平分线和中线合一，其“欧拉线”为△ABC边BC的垂直平分线，可得BC的中点为(，)，直线BC的斜率为＝－1，所以边BC的垂直平分线的斜率为1，边BC的垂直平分线方程为y－＝x－，即为x－y－1＝0.其“欧拉线”与圆 (x－3)2＋y2＝r2相切，可得圆心(3，0)到“欧拉线”的距离为d＝＝，即有半径r＝.]6．(多选题)(2020·福建泉州高二期中)在平面直角坐标系中，有两个圆C1：(x＋2)2＋y2＝1和C2：(x－2)2＋y2＝r2，其中常数r满足1≤r≤2，一个动圆P与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹可以是(　　)A．两个椭圆B．两个双曲线C．一个双曲线和一条直线D．一个椭圆和一个双曲线BC　[由题意得，圆C1的圆心为C1，半径为r1，圆C2的圆心为C2，半径为r2，所以＝4，设动圆P的半径为R，已知两圆相离，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个外切一个内切，①若均内切，则＝R－1，＝R－r，此时－＝r－1，当r≠1时，点P的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的右支，当r＝1，点P在线段C1C2的垂直平分线上．②若均外切，则＝R＋1，＝R＋r，此时－＝r－1，当r≠1时，点P的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的左支，当r＝1，点P在线段C1C2的垂直平分线上．③若一个外切，一个内切，不妨设与圆C1内切，与圆C2外切，则＝R－1，＝R＋r，－＝r＋1.同理，当与圆C2内切，与圆C1外切时，－＝r＋1.此时点P的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线，与①中双曲线不一样．故选B、C.]7．过点(1，4)且斜率为k的直线l与曲线y＝＋1有公共点，则实数k的取值范围是(　　)A．     B．C．     D． A　[由题意，曲线方程可化为(x＋2)2＋(y－1)2＝1(y≥1)，其轨迹为直线y＝1上方的半圆(含与y＝1的交点)，圆心为(－2，1)，半径r＝1.直线l的方程为y－4＝k(x－1)，即kx－y－k＋4＝0.如图，当直线l与半圆相切时，＝1，解得k＝或k＝(交点在y＝1下方，舍去).当直线经过点B(－1，1)时，k＝＝.]8．已知点A(3，2)和B(－1，4)到直线x＋ay＋1＝0的距离相等，则a的值为________．2或－　[由平面几何知识得AB平行于直线x＋ay＋1＝0或AB的中点在直线x＋ay＋1＝0上，所以a＝2或－.]9．(多空题)两直线2x－3y－12＝0和x＋y－1＝0的交点为________，经过此交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为______________________________________．(3，－2)　2x＋3y＝0或x＋y－1＝0　[联立解得∴两直线2x－3y－12＝0和x＋y－1＝0的交点为(3，－2).当直线l过原点时，直线方程为y＝－x，即2x＋3y＝0；当直线l不过原点时，设直线方程为x＋y＝a，则3－2＝a，即a＝1，直线方程为x＋y－1＝0.∴经过此交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为2x＋3y＝0或x＋y－1＝0.]10．已知A(－1，3)，B(3，1)两点，若点C在坐标轴上，且∠ACB＝90°，则点C的坐标为________________________________________________．(0，0)，(2，0)，(0，4)　[∵∠ACB＝90°，∴点C在以AB为直径的圆上．∵|AB|＝ ＝2，∴圆的半径为，又圆心是线段AB的中点(1，2)，∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.当x＝0时，解得y＝0或y＝4；当y＝0时，解得x＝0或x＝2.故点C的坐标为(0，0)，(2，0)，(0，4).]11．三角形的三个顶点为A(－2，4)，B(－3，－1)，C(1，3).(1)求△ABC的面积S；(2)过点A作直线l，使B，C两点到l的距离相等，求直线l的方程．解　(1)直线BC的方程为y＋1＝(x＋3)，即x－y＋2＝0，所以点A到直线BC的距离h＝＝2.又|BC|＝＝4，所以S△ABC＝|BC|·h＝×4×2＝8.(2)由题意知过点A的直线的斜率存在，设直线l的方程为y－4＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋4＝0.由题意得＝，整理得|k－5|＝|3k＋1|，解得k＝－3或k＝1，所以直线l的方程为x－y＋6＝0或3x＋y＋2＝0.12．已知圆M：x2＋y2－2y－4＝0与圆N：x2＋y2－4x＋2y＝0.(1)求证：两圆相交；(2)求两圆公共弦所在直线的方程及公共弦长；(3)在平面上找一点P，过点P引两圆的切线并使它们的长都等于1.(1)证明　由己知得圆M：x2＋(y－1)2＝5，圆心M(0，1)，半径r1＝，圆N：(x－2)2＋(y＋1)2＝5，圆心N(2，－1)，半径r2＝，∴圆心距|MN|＝ ＝2，∴0＝|r1－r2|＜|MN|＜r1＋r2，∴两圆相交．(2)解　联立两圆的方程，得方程组两式相减得x－y－1＝0，此为两圆公共弦所在直线的方程．方法一　设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组解得或所以|AB|＝＝2，即公共弦长为2.方法二　圆M：x2＋(y－1)2＝5，其圆心坐标为(0，1)，半径长r＝，圆心到直线x－y－1＝0的距离为d＝＝.设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，即5＝()2＋l2，解得l＝，故公共弦长2l＝2.(3)解　∵两圆半径均为，过点P所引的两条切线长均为1，∴点P到两圆心的距离|PM|＝|PN|＝＝.设点P的坐标为(x，y)，则解得或∴点P的坐标为(1＋，)或(1－，－).