高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线精品课时训练

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线精品课时训练，共7页。
[对应学生用书P125]1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　)A．2　　　B．2　　　C．4　　　D．4C　[双曲线标准方程为－＝1，故实轴长为4.]2．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的焦距等于(　　)A．2       B．2     C．4       D．4C　[由已知得e＝＝2，所以a＝c，故b＝＝c，从而双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.由焦点到渐近线的距离为，得c＝，解得c＝2，故2c＝4.]3．(多选题)(2020·江苏连云港市高二期中)下列有关双曲线2x2－y2＝8的性质说法正确的是(　　)A．离心率为     B．顶点坐标为(0，±2)C．实轴长为4     D．虚轴长为4ACD　[由2x2－y2＝8，得－＝1，所以a2＝4，b2＝8，所以a＝2，b＝2，c＝2，所以离心率e＝＝＝，实轴长2a＝4，虚轴长2b＝4，顶点为，所以A，C，D正确，B错误．]4．(多选题)(2020·福建省南平市高级中学高二期中)我们把离心率为e＝的双曲线－＝1(a>0，b>0)称为黄金双曲线．如图所示，A1、A2是双曲线的实轴顶点，B1、B2是虚轴顶点，F1、F2是焦点，过右焦点F2且垂直于x轴的直线交双曲线于M、N两点，则下列命题正确的是(　　)A．双曲线x2－＝1是黄金双曲线B．若b2＝ac，则该双曲线是黄金双曲线C．若∠F1B1A2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线D．若∠MON＝90°，则该双曲线是黄金双曲线BCD　[A选项，e＝＝≠，不是黄金双曲线；B选项，b2＝ac＝c2－a2，化成c2－a2－ac＝0，即e2－e－1＝0，又e>1，解得e＝，是黄金双曲线；C选项，∵∠F1B1A2＝90°，∴B1A2|2＝|F1A2|2，∴b2＋c2＋b2＋a2＝(a＋c)2，化简得c2－ac－a2＝0，由B选项知是黄金双曲线；D选项，∵∠MON＝90°，∴MN⊥x轴，|MF2|＝，且ΔMOF2是等腰直角三角形，∴c＝，即b2＝ac，由B选项知是黄金双曲线．综上，B、C、D是黄金双曲线．故选B、C、D.]5．(多选题)已知F是双曲线－＝1(a>0)的右焦点，O为坐标原点，设P是双曲线C上一点，则∠POF的大小可能是(　　)A．15°      B．25°      C．60°      D．165°ABD　[∵两条渐近线y＝±x的倾斜角分别为30°，150°，∴0°≤∠POF<30°或150°<∠POF≤180°.]6．已知双曲线C：x2－＝1，过点P(1，2)的直线l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有(　　)A．1条    B．2条    C．3条    D．4条B　[如图，过点P(1，2)的直线与双曲线x2－＝1有且只有一个公共点有两种情况，分别是垂直于x轴和与渐近线y＝－2x平行．]7．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝2x有交点，则双曲线的离心率的取值范围是(　　)A．(1，)     B．(1，)∪(，＋∞)C．(，＋∞)     D．[，＋∞)C　[双曲线的一、三象限渐近线的斜率k＝，要使双曲线－＝1和直线y＝2x有交点，只要满足>2即可，∴>2，∴>2，∴e>.]8．(多空题)已知双曲线－＝1的离心率为2，焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为__________；渐近线方程为__________．(4，0)，(－4，0)　y＝±x　[椭圆的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)，故c＝4，且满足＝2，故a＝2，b＝＝2，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.]9．已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且双曲线C的实轴长为6，离心率为.(1)求双曲线C的标准方程；(2)设点P是双曲线C上任意一点，且|PF1|＝10，求|PF2|.解　(1)由题意知，2a＝6，＝，解得a＝3，c＝5，故b2＝c2－a2＝16.所以双曲线C的标准方程为－＝1.(2)因为a＋c＝8，|PF1|＝10＞8，所以点P可能在双曲线的左支上也可能在双曲线的右支上．①若点P在双曲线的左支上，则|PF2|－|PF1|＝2a＝6，所以|PF2|＝|PF1|＋6＝16.②若点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝6，所以|PF2|＝|PF1|－6＝4.综上，|PF2|＝16或4.10．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均与曲线C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，则该双曲线的离心率等于(　　)A．　　　B．　　　C．　　　D．A　[曲线C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，所以圆心坐标为C(3，0)，半径r＝2.双曲线的渐近线为y＝±x，不妨取y＝x，即bx－ay＝0.因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离d＝＝2，即9b2＝4(a2＋b2)，所以5b2＝4a2，b2＝a2＝c2－a2，即a2＝c2，所以e2＝，e＝.]11．已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过点F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　)A．－＝1     B．－＝1C．－＝1     D．－＝1B　[∵kAB＝＝1，∴直线AB的方程为y＝x－3.∵双曲线的焦点为F(3，0)，∴c＝3，c2＝9.设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，将y＝x－3代入，得－＝1.整理，得(b2－a2)x2＋6a2x－9a2－a2b2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝＝2×(－12)，∴a2＝－4a2＋4b2，∴5a2＝4b2.又a2＋b2＝9，∴a2＝4，b2＝5.∴双曲线E的方程为－＝1.]12．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________．[2，＋∞)　[可得直线的斜率为，要使直线与双曲线的右支有且只有一个交点，只要≥，∴e2＝1＋≥4，即e≥2.]13．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过点F作x轴的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为________．±1　[不妨设点B在第一象限，则A1(－a，0)，B，A2(a，0)，C，所以A1B＝，A2C＝.因为A1B⊥A2C，所以A1B·A2C＝0，所以c2－a2－＝0，整理得＝1，即＝1，所以渐近线的斜率为±1.]14．已知双曲线－＝1的右焦点为(2，0).(1)求双曲线的方程；(2)求双曲线的渐近线与直线x＝－2围成的三角形的面积．解　(1)∵双曲线的右焦点为(2，0)，且双曲线方程为－＝1，∴c2＝a2＋b2＝3＋b2＝4，∴b2＝1，∴双曲线的方程为－y2＝1.(2)∵a＝，b＝1，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，令x＝－2，则y＝±.设直线x＝－2与双曲线的渐近线的交点为A，B，则|AB|＝，记双曲线的渐近线与直线x＝－2围成的三角形的面积为S，则S＝××2＝.