高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线优秀课后作业题

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1．抛物线y＝2x2的焦点坐标是( )
A．(1，0) B．(0， eq \f(1,4) )
C．( eq \f(1,4) ，0) D．(0， eq \f(1,8) )
D [抛物线方程为x2＝ eq \f(1,2) y，可知焦点在y轴上，且 eq \f(p,2) ＝ eq \f(1,8) ，所以焦点坐标是(0， eq \f(1,8) ).]
2．焦点是F(0，5)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝20x B．x2＝20y
C．y2＝ eq \f(1,20) x D．x2＝ eq \f(1,20) y
B [由5＝ eq \f(p,2) 得p＝10.又焦点在y轴正半轴上，即方程形式为x2＝2py，所以x2＝20y.]
3．已知定点F和定直线l，点F不在直线l上，动圆M过点F且与直线l相切，则动圆圆心M的轨迹是( )
A．射线 B．直线
C．抛物线 D．椭圆
C [因为动圆M过点F，且动圆M与直线l相切，所以圆心M到直线l的距离等于圆的半径|MF|，即动点M到定点F的距离等于它到定直线l的距离，且定点F不在定直线l上，所以由抛物线的定义，可知圆心M的轨迹是抛物线．]
4．抛物线y2＝mx的准线与直线x＝1的距离为3，则此抛物线的方程为( )
A．y2＝－16x B．y2＝8x
C.y2＝16x或y2＝－8x D．y2＝－16x或y2＝8x
D [抛物线的准线方程为x＝－ eq \f(m,4) ，则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1＋\f(m,4))) ＝3，m＝8或－16.
∴所求抛物线方程为y2＝8x或y2＝－16x.]
5．(多选题)下列选项满足抛物线方程y2＝10x的是( )
A．焦点在y轴上
B．焦点在x轴上
C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6
D.由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1)
BD [抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，B满足，A不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上的一点，则|MF|＝1＋ eq \f(p,2) ＝1＋ eq \f(5,2) ＝ eq \f(7,2) ≠6，所以C不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，0)) ，过该焦点的直线方程为y＝k eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2))) ，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，则k＝－2，此时存在，所以D满足．]
6．已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P的坐标为( )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，－1)) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，1))
C．(1，2) D．(1，－2)
A [点Q(2，－1)在抛物线内部，如图所示．
由抛物线的定义知，抛物线上的点P到点F的距离等于点P到准线x＝－1的距离，过点Q作x＝－1的垂线，与抛物线交于点K，则点K为所求，当y＝－1时，x＝ eq \f(1,4) ，
∴P为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，－1)) .]
7．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A． eq \f(3,4) B．1 C． eq \f(5,4) D． eq \f(7,4)
C [如图所示，设E为AB的中点，过A，B，E作准线l：x＝－ eq \f(1,4) 的垂线，垂足分别为C，D，G.根据抛物线的定义，知|AC|＋|BD|＝|AF|＋|BF|＝3.根据梯形中位线定理，得线段AB的中点到y轴的距离为 eq \f(1,2) (|AC|＋|BD|)－ eq \f(1,4) ＝ eq \f(3,2) － eq \f(1,4) ＝ eq \f(5,4) .]
8．已知抛物线C：4x＋ay2＝0恰好经过圆M：(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心，则抛物线C的焦点坐标为__________．
(1，0) [圆M的圆心为(1，2)，代入4x＋ay2＝0得a＝－1，将抛物线C的方程化为标准方程得y2＝4x，故焦点坐标为(1，0).]
9．抛物线y＝－ eq \f(1,4) x2上的动点M到两定点F(0，－1)，E(1，－3)的距离之和的最小值为________．
4 [抛物线标准方程为x2＝－4y，其焦点坐标为(0，－1)，准线方程为y＝1，则|MF|的长度等于点M到准线y＝1的距离，从而点M到两定点F，E的距离之和的最小值为点E(1，－3)到直线y＝1的距离，即最小值为4.]
10．根据下列条件求出抛物线的标准方程：
(1)准线方程是y＝3；
(2)过点P(－2 eq \r(2) ，4)；
(3)焦点到准线的距离为 eq \r(2) .
解 (1)由准线方程为y＝3知，抛物线的焦点在y轴负半轴上，且 eq \f(p,2) ＝3，则p＝6，故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y.
(2)∵点P(－2 eq \r(2) ，4)在第二象限，∴设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝2py(p>0).若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，则由42＝－2p×(－2 eq \r(2) )，解得p＝2 eq \r(2) ；若抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，则由(－2 eq \r(2) )2＝2p×4，解得p＝1.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝－4 eq \r(2) x或x2＝2y.
(3)由焦点到准线的距离为 eq \r(2) ，得p＝ eq \r(2) ，故所求抛物线的标准方程为y2＝2 eq \r(2) x或y2＝－2 eq \r(2) x或x2＝2 eq \r(2) y或x2＝－2 eq \r(2) y.
11．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A．2 B．3 C． eq \f(11,5) D． eq \f(37,16)
A [如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为|PF|，由图可知，距离和的最小值即F到直线l1的距离d＝ eq \f(|4＋6|,\r(42＋（－3）2)) ＝2.]
12．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则抛物线C的方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
C [因为抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，所以焦点F( eq \f(p,2) ，0).设M(x，y)，由抛物线的性质知，|MF|＝x＋ eq \f(p,2) ＝5，得x＝5－ eq \f(p,2) .因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式，可得圆心的横坐标为 eq \f(5,2) .由已知，得圆的半径也为 eq \f(5,2) ，故该圆与y轴相切于点(0，2)，故圆心的纵坐标为2，则点M的纵坐标为4，即M(5－ eq \f(p,2) ，4)，代入抛物线方程，得p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8.所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x.]
13．(多空题)若抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则抛物线方程为__________，点M的坐标为__________．
y2＝－4x (－9，6)或(－9，－6) [由抛物线定义，焦点为F(－ eq \f(p,2) ，0)，准线为x＝ eq \f(p,2) .由题意设M到准线的距离为|MN|，
则|MN|＝|MF|＝10，即 eq \f(p,2) －(－9)＝10，∴p＝2.
故抛物线方程为y2＝－4x.
将M(－9，y)代入y2＝－4x，解得y＝±6，
∴M(－9，6)或M(－9，－6).]
14．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线 eq \f(x2,3) － eq \f(y2,3) ＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝__________．
6 [由x2＝2py(p>0)得焦点F(0， eq \f(p,2) )，
准线l为y＝－ eq \f(p,2) ，所以可求得抛物线的准线与双曲线 eq \f(x2,3) － eq \f(y2,3) ＝1的交点A(－ eq \f(\r(12＋p2),2) ，－ eq \f(p,2) )，B( eq \f(\r(12＋p2),2) ，－ eq \f(p,2) )，
所以|AB|＝ eq \r(12＋p2) ，
则|AF|＝|AB|＝ eq \r(12＋p2) ，
所以 eq \f(p,|AF|) ＝sin eq \f(π,3) ，即 eq \f(p,\r(12＋p2)) ＝ eq \f(\r(3),2) ，解得p＝6.]
15．动点M(x，y)到y轴的距离比它到定点(2，0)的距离小2，求动点M(x，y)的轨迹方程．
解 ∵动点M到y轴的距离比它到定点(2，0)的距离小2，
∴当动点M在y轴右侧(含原点)时，动点M到定点(2，0)的距离与它到定直线x＝－2的距离相等，
∴此时动点M的轨迹满足以(2，0)为焦点，x＝－2为准线的抛物线，且p＝4，
∴抛物线的方程为y2＝8x.
又x轴上原点左侧的点到y轴的距离比它到点(2，0)的距离小2，
∴满足方程y＝0(x＜0)的点也在点M的轨迹上．
综上，动点M的轨迹方程为y2＝8x或y＝0(x＜0).