高中3.3 抛物线习题课件ppt

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例1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)焦点为(－2，0)；(2)准线为y＝－1；
∴抛物线的标准方程为y2＝－8x.
∴抛物线的标准方程为x2＝4y.
解　(3)由题意，抛物线方程可设为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，将点A(2，3)的坐标代入，得32＝m·2或22＝n·3，
∴所求抛物线的标准方程为y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.
求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可.若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2＝ay(a≠0).
训练1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)过点(3，－4)；
解　法一　∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y2＝2px (p>0)或x2＝－2p1y (p1>0).把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，
法二　抛物线的方程可设为y2＝ax (a≠0)或x2＝by (b≠0).
(2)焦点在直线x＋3y＋15＝0上.
解　令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0).∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
角度1　焦半径公式及其应用
所以x0＝1，故选A.
(2)抛物线x2＝4y上的点P到焦点的距离是10，则P点的坐标为________________.
(6，9)或(－6，9)
解析　设点P(x0，y0)，由抛物线方程x2＝4y，知焦点坐标为(0，1)，准线方程为y＝－1.由抛物线的定义，得|PF|＝y0＋1＝10，所以y0＝9，代入抛物线方程得x0＝±6.∴P点坐标为(±6，9).
根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题.
例3 平面上一动点P到定点F(1，0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程.
两边平方并化简，得y2＝2x＋2|x|.
∴动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x＜0).
法二　(定义法)　由题意，动点P到定点F(1，0)的距离比到y轴的距离大1，由于点F(1，0)到y轴的距离为1，故当x＜0时，直线y＝0上的点都符合题意；当x≥0时，题中条件等于点P到点F(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，轨迹方程为y2＝4x.故所求动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x＜0).
解决有关抛物线的轨迹问题的方法求解有关抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解.后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于动点到定直线的距离这个条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件.
例4 设点P是抛物线y2＝4x上的一个动点.(1)求点P到A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
解　如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线为x＝－1，由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离.
于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小.
(2)若B(3，2)，求|PB|＋|PF|的最小值.
解　易知B在抛物线内部.如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，此时，
|P1Q|＝|P1F|，那么|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即最小值为4.
最值问题的处理方法与抛物线上的点到定点、定直线的距离有关的最值问题时，常利用抛物线定义，将抛物线上的点到抛物线的焦点的距离和到准线的距离相互转化.即化折线为直线解决问题.
训练2 (1)若点P到点F(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则P点的轨迹方程是(　　)A.y2＝－16x B.y2＝－32xC.y2＝16x D.y2＝32
解析　∵点P到点(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，∴点P到直线x＝－4的距离等于它到点(4，0)的距离.根据抛物线的定义，可知P点的轨迹是以点(4，0)为焦点.以直线x＝－4为准线的抛物线.设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
∴抛物线的标准方程为y2＝16x，即P点的轨迹方程为y2＝16x，故选C.
解析　如图，由抛物线定义知
|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PF|，则所求距离之和的最小值转化为求|PA|＋|PF|的最小值，则当A，P，F三点共线且P在A，F中间时，|PA|＋|PF|取得最小值.
例5 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少m时，小船开始不能通航？解　如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系.
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，
当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，
又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，所以h＝|yA|＋0.75＝2(m).所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航.
涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解.
训练3 如图所示，一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍，若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值.
解　以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，∵点B在抛物线上，
∴抛物线方程为x2＝－ay.