高中数学1.4 空间向量的应用习题课件ppt

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例1 在三棱锥P－ABC中，△ABC和△PBC均为等边三角形，且二面角P－BC－A的大小为120°，则异面直线PB和AC所成角的余弦值为(　　)
解析　法一　如图，取BC的中点O，连接OP，OA，
因为△ABC和△PBC均为等边三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，所以BC⊥平面PAO，从而平面PAO⊥平面ABC，且∠POA就是二面角P－BC－A的平面角，即∠POA＝120°，建立空间直角坐标系如图所示.
法二　如图所示，取BC的中点O，连接OP，OA，
因为△ABC和△PBC均为等边三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，所以∠POA就是二面角P－BC－A的平面角.
用坐标法求异面直线所成的角的一般步骤是：(1)建立空间直角坐标系；(2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标；(3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角；(4)结合异面直线所成的角的范围求出异面直线所成的角.
建立如图所示的空间直角坐标系，
解　建立如图所示的空间直角坐标系，则
训练2 在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线A1B与平面BDE所成的角为(　　)
解析　以D为原点建立空间直角坐标系，可求得平面BDE的法向量n＝(1，－1，2)，
例3 如图，在正方体ABEF－DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，求平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值.
解　设正方体棱长为1.以B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Bxyz，
因为△AMN，△BMN为等腰三角形，所以AG⊥MN，BG⊥MN，故∠AGB(或其补角)为两平面夹角.
利用坐标法求两个平面夹角的步骤是：(1)建立空间直角坐标系；(2)分别求出两个面所在平面的法向量的坐标；(3)求两个法向量的夹角；(4)确定两平面夹角的大小.
训练3 已知正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为(　　)A.30° B.45° C.60° D.90°
解析　如图所示，建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝1，则A(0，0，0)，
D(0，1，0)，P(0，0，1).