2020-2021学年1.1 空间向量及其运算习题ppt课件

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1.1.2　空间向量的数量积运算题型一　求空间向量的数量积例1 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：(1)·；(2)·；(3)·；(4)·.解　(1)·＝·＝||·||·cos〈，〉＝×1×1·cos 60°＝，所以·＝.(2)·＝·＝||·||·cos〈，〉＝×1×1·cos 0°＝，所以·＝.(3)·＝·＝||·||·cos〈，〉＝×1×1·cos 120°＝－，所以·＝－.(4)·＝(＋)·(＋)＝[·(－)＋·(－)＋·＋·]＝[－·－·＋(－)·＋·]＝×＝－.所以，·＝－.思维升华　由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确.训练1 已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________.答案　－13解析　∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，∴a·b＋b·c＋c·a＝－＝－13.题型二　利用数量积证明垂直问题例2 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.证明　设＝a，＝b，＝c，则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|.∵＝＋＝＋(＋)＝c＋a＋b，＝－＝b－a，＝＋＝(＋)＋＝a＋b－c，∴·＝·(b－a)＝c·b－c·a＋a·b－a2＋b2－b·a＝(b2－a2)＝(|b|2－|a|2)＝0.于是⊥，即A1O⊥BD.同理可证⊥，即A1O⊥OG.又∵OG∩BD＝O，OG⊂平面GBD，BD⊂平面GBD，∴A1O⊥平面GBD.思维升华　(1)证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，根据直线的方向向量的数量积为0，证明线线垂直.(2)证明直线与平面垂直则要利用直线和平面垂直的判定定理转化为直线和直线垂直证明.训练2 如图，在空间四边形OACB中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC.证明　因为OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，所以△OAC≌△OAB，所以∠AOC＝∠AOB.又·＝·(－)＝·－·＝||·||cos∠AOC－||·||cos∠AOB＝0，所以⊥，即OA⊥BC.题型三　利用数量积求异面直线所成的角例3 如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求异面直线OA与BC所成角的余弦值.解　因为＝－，所以·＝·－·＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉＝8×4·cos 135°－8×6·cos 120°＝－16＋24.所以cos〈，〉＝＝＝，即异面直线OA与BC所成角的余弦值为.思维升华　利用数量积求异面直线所成角的方法步骤：(1)根据题设条件在两异面直线上取两个向量；(2)将求异面直线所成角转化为求向量的夹角问题；(3)利用数量积求角的大小.训练3 已知四面体OABC各边及对角线长都等于2，E，F分别为AB，OC的中点，则异面直线OE与BF所成角的余弦值为________.答案　解析　由已知得＝(＋)，＝－＝－，因此||＝|＋|＝＝，||＝＝＝.又因为·＝(＋)·＝×2－×2＋×2－2＝－2，所以cos〈，〉＝＝＝－.故异面直线OE与BF所成角的余弦值为.题型四　利用数量积求线段长度例4 如图，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC－A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，求EF的长.解　设＝a，＝b，＝c.由题意，知|a|＝|b|＝|c|＝2，且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°.因为＝＋＋＝－＋＋＝－a＋b＋c，所以||2＝2＝a2＋b2＋c2＋2＝×22＋×22＋22＋2××2×2cos 60°＝1＋1＋4－1＝5，所以||＝，即EF＝.思维升华　求线段长度的步骤如下：(1)将线段用向量表示；(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量；(3)利用|a|＝得所求长度.训练4 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长.解　因为＝＋＋，所以＝(＋＋)2＝2＋2＋＋2(·＋·＋·).因为∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，所以＝1＋4＋9＋2×(1×2·cos 90°＋1×3·cos 60°＋2×3·cos 60°)＝23.因为＝||2，所以||2＝23，则||＝即AC1＝.[课堂小结]1.重要思想方法(1)空间向量数量积的运算与平面向量数量积完全相同，可类比进行.(2)计算向量的数量积一般要利用其夹角与模，而求向量的模、夹角则需利用向量的数量积运算，体现了化归转化的思想方法.2.易错易混提醒(1)当两量的夹角为锐角(钝角)时，a·b＞0(＜0)，但当a·b＞0(＜0)时，向量a与b夹角θ不一定是锐角(钝角)，也可能为0(π).(2)当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0.