2020-2021学年第二章 直线和圆的方程2.2 直线的方程习题ppt课件

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2.2.3　直线的一般式方程题型一　求直线的一般式方程例1 根据下列条件求直线的一般式方程.(1)直线的斜率为2，且经过点A(1，3)；(2)斜率为，且在y轴上的截距为4；(3)经过两点A(2，－3)，B(－1，－5)；(4)在x，y轴上的截距分别为2，－4.解　(1)因为k＝2，且经过点A(1，3)，由直线的点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，整理可得2x－y＋1＝0，所以直线的一般式方程为2x－y＋1＝0.(2)由直线的斜率k＝，且在y轴上的截距为4，得直线的斜截式方程为y＝x＋4.整理可得直线的一般式方程为x－y＋4＝0.(3)由直线的两点式方程可得＝，整理得直线的一般式方程为2x－3y－13＝0.(4)由直线的截距式方程可得＋＝1，整理得直线的一般式方程为2x－y－4＝0.思维升华　在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式.训练1 (1)下列直线中，斜率为－，且不经过第一象限的是(　　)A.3x＋4y＋7＝0  B.4x＋3y＋7＝0C.4x＋3y－42＝0   D.3x＋4y－42＝0(2)直线x－5y＋9＝0在x轴上的截距等于(　　)A.   B.－5  C.   D.－3答案　(1)B　(2)D解析　(1)将一般式化为斜截式，斜率为－的有B，C两项，其中B.y＝－x－，C.y＝－x＋14.又y＝－x＋14过点(3，10)，即直线过第一象限，所以只有B项满足要求.(2)令y＝0，则x＝－3.题型二　利用一般式解决直线的平行与垂直问题例2 已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：(1)过点(－1，3)，且与l平行；(2)过点(－1，3)，且与l垂直.解　法一　l的方程可化为y＝－x＋3，∴l的斜率为－.(1)∵l′与l平行，∴l′的斜率为－.又∵l′过点(－1，3)，∴由点斜式知方程为y－3＝－(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.(2)∵l′与l垂直，∴l′的斜率为，又l′过点(－1，3)，∴由点斜式可得方程为y－3＝(x＋1)，即4x－3y＋13＝0.法二　(1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠－12).将点(－1，3)代入上式得m＝－9.∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.(2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0.将(－1，3)代入上式得n＝13.∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.思维升华　1.已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0).(1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.(2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.2.与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)；与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0.训练2 判断下列各对直线是平行还是垂直，并说明理由.(1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0；(2)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0；(3)l1：x＝2，l2：x＝4；(4)l1：y＝－3，l2：x＝1.解　(1)法一　将两直线方程各化为斜截式：l1：y＝－x＋；l2：y＝－x－.则k1＝－，b1＝，k2＝－，b2＝－.∵k1＝k2，且b1≠b2，∴l1∥l2.法二　∵3×10－5×6＝0且3×3－6×(－6)≠0，∴l1∥l2.(2)法一　将两直线方程各化为斜截式：l1：y＝x＋；l2：y＝－2x＋2.则k1＝，k2＝－2.∵k1·k2＝－1，故l1⊥l2.法二　∵3×2＋(－6)×1＝0，∴l1⊥l2.(3)因为l1：x＝2，l2：x＝4，且两直线在x轴上的截距不相等，则l1∥l2.(4)由方程知l1⊥y轴，l2⊥x轴，则l1⊥l2.题型三　含参数的一般式方程问题例3 设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根据下列条件分别确定k的值；(1)直线l的斜率为－1；(2) 直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0.解　(1)因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝－x＋2，由题意得－＝－1，解得k＝5.(2)直线l的方程可化为＋＝1，由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1.思维升华　含参直线方程的研究策略(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0.(2)令x＝0可得在y轴上的截距.令y＝0可得在x轴上的截距.若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式.(3)解分式方程要注意验根.训练3 直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.解　(1)①当a＝－1时，直线l的方程为y＋3＝0，显然不符合题意；②当a≠－1时，令x＝0，则y＝a－2，令y＝0，则x＝.∵l在两坐标轴上的截距相等，∴a－2＝，解得a＝2或a＝0.综上，a的值为2或0.(2)直线l的方程可化为y＝－(a＋1)x＋a－2，故要使l不经过第二象限，只需解得a≤－1.∴a的取值范围为(－∞，－1].[课堂小结]1.重要思想与方法(1)直线的一般式方程可与其他四种形式的方程互化，确定直线的一般式方程只需要两个独立的条件.(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.(3)求直线的一般式方程及应用直线的一般式方程的过程中体现了分类讨论与化归转化的思想方法.2.易错易混提醒(1)忽视直线的斜率不存在的情况.(2)忽视两直线重合的情况.