数学九年级上学期《23.4中位线》同步练习

一．选择题（共9小题）

1．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC=10，F是DE上一点，连接AF，CF，DF=1．若∠AFC=90°，则BC的长度为（　　）

A．10     B．12   C．14  D．16

2．如图，△ABC的周长为32，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=12，则PQ的长为（　　）

A．2     B．3     C．4     D．5

3．如图，在四边形ABCD中，已知AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点∠ABD=20°，∠BDC=70°，则∠NMP的度数为（　　）

A．50°       B．25°   C．15°   D．20

4．已知：四边形ABCD中，AB=2，CD=3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（　　）

A．1＜MN＜5   B．1＜MN≤5     C．＜MN＜      D．＜MN≤

5．如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，连接DE、EF、FD得△DEF，如果△ABC的周长是24cm，那么△DEF的周长是（　　）

A．6cm     B．12cm   C．18cm    D．48cm

6．如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AB=12，AC=16，则MD等于（　　）

A．4     B．3   C．2     D．1

7．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，若∠DAC=20°，∠ACB=84°，则∠FEG等于（　　）

A．32°     B．38°       C．64°      D．30°

8．已知△ABC的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形的中点构成第三个三角形，以此类推，则第2012个三角形的周长为（　　）

A．     B．    C．    D．

9．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=3cm，则AB的长为（　　）

A．3cm       B．6cm    C．9cm    D．12cm

二．填空题（共5小题）

10．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是线段DE上一点，连接AF，BF，若AB=16，EF=1，∠AFB=90°，则BC的长为　   　．

11．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，BN的长为　   　．

12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E、Q，F分别是边 AC、AB、BC的中点、若EF+CQ=5，则EF=　   　．

13．如图，△ABC中，AB=10，AC=7，AD平分∠BAC，AE是BC边上的中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为　   　．

14．如图，在四边形ABCD中，∠D=90°，AD=4，CD=3，连接AC，M，N分别为AB，BC的中点，连接MN，则线段MN的长为　   　．

三．解答题（共6小题）

15．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．

（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF=（AC﹣AB）；

（2）如图2，请直接写出线段AB、AC、EF的数量关系．

16．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，E、F分别为CA、CB上一点，CE=CF，M、N分别为AF、BE的中点．求证：AE=MN．

17．如图所示，AB，CD交于点E，AD=AE，CE=BC，F，G，H分别是DE，BE，AC的中点．求证：（1）AF⊥DE．（2）∠HFG=∠FGH．

18．在矩形ABCD中，点EFGH分别是边ABBCCDDA的中点，顺次连接E1F1G1H1所得的四边形我们称之为中点四边形，如图

（1）求证：四边形E1F1G1H1是菱形；

（2）设E1F1G1H1的中点四边形是E2F2G2H2，E2F2G2H2的中点四边形是E3F3G3H3…．En﹣1Fn﹣1Gn﹣1Hn﹣1的中点四边形是EnFnGnHn，那么这些中点四边形形状的变化有没有规律性？　   　（填“有”或“无”）若有，说出其中的规律性　   　；

（3）进一步：如果我们规定：矩形=0，菱形=1，并将矩形ABCD的中点四边形用f（0）表示；菱形的中点四边形用f（1）表示，由题（1）知，f（0）=1，那么f（1）=　   　．

19．如图，在四边形ABCD中，M是对角线AC的中点，E、F分别是边AD、BC的中点．

①请补充一个条件：　   　，使得∠MEF=∠MFE；

②根据题意结合你补充的条件，证明∠MEF=∠MFE．

20．如图，D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC平面上的一动点，连接OB、OC，G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．

（1）如图，当点O在△ABC内时，求证：四边形DGFE是平行四边形；

（2）若连接AO，且满足AO=BC，AO⊥BC．问此时四边形DGFE又是什么形状？并请说明理由．

数学九年级上学期《23.4中位线》同步练习

参考答案与试题解析　

一．选择题（共9小题）

1．

【解答】解：如图，∵∠AFC=90°，AE=CE，

∴EF=AC=5，

∴DE=1+5=6；

∵D，E分别是AB，AC的中点，

∴DE为△ABC的中位线，

∴BC=2DE=12，

故选：B．

2．

【解答】解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，

∴∠ABQ=∠EBQ，

∵∠ABQ+∠BAQ=90°，∠EBQ+∠BEQ=90°，

∴∠BAQ=∠BEQ，

∴AB=BE，同理：CA=CD，

∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），

∴PQ是△ADE的中位线，

∵BE+CD=AB+AC=32﹣BC=32﹣12=20，

∴DE=BE+CD﹣BC=8，

∴PQ=DE=4．

故选：C．

3．

【解答】解：∵在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，

∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，

∴PM=AB，PN=DC，PM∥AB，PN∥DC，

∵AB=CD，

∴PM=PN，

∴△PMN是等腰三角形，

∵PM∥AB，PN∥DC，

∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°，

∴∠MPN=∠MPD+∠NPD=20°+（180﹣70）°=130°，

∴∠PMN==25°．

故选：B．

4．

【解答】解：连接BD，过M作MG∥AB，连接NG．

∵M是边AD的中点，AB=2，MG∥AB，

∴MG是△ABD的中位线，BG=GD，MG=AB=×2=1；

∵N是BC的中点，BG=GD，CD=3，

∴NG是△BCD的中位线，NG=CD=×3=，

在△MNG中，由三角形三边关系可知NG﹣MG＜MN＜MG+NG，即﹣1＜MN＜+1，

∴＜MN＜，

当MN=MG+NG，即MN=时，四边形ABCD是梯形，

故线段MN长的取值范围是＜MN≤．

故选：D．

5．

【解答】解：∵D、E分别是△ABC的边AB、BC的中点，

∴DE=AC，

同理，EF=AB，DF=BC，

∴C△DEF=DE+EF+DF=AC+BC+AB=（AC+BC+AC）=×24=12cm．

故选：B．

6．

【解答】解：延长BD交AC于H，

∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，

∴BD=DH，AH=AB=12，

∴HC=AC﹣AH=4，

∵M是BC中点，BD=DH，

∴MD=CH=2，

故选：C．

7．

【解答】解：∵AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，

∴GF是△ACD的中位线，GE是△ACB的中位线，

∴GF=AD，GF∥AD，GE=BC，GE∥BC．

又∵AD=BC，

∴GF=GE，∠FGC=∠DAC=20°，∠AGE=∠ACB=84°，

∴∠EFG=∠FEG，

∵∠FGE=∠FGC+∠EGC=20°+（180°﹣84°）=116°，

∴∠EFG=（180°﹣∠FGE）=32°．

故选：A．

8．

【解答】解：∵连接△ABC三边中点构成第二个三角形，

∴新三角形的三边与原三角形的三边的比值为1：2，

∴它们相似，且相似比为1：2，

同理：第三个三角形与第二个三角形的相似比为1：2，

即第三个三角形与第一个三角形的相似比为：1：22，

以此类推：第2012个三角形与原三角形的相似比为1：22011，

∵△ABC周长为1，

∴第2012个三角形的周长为 1：22011．

故选：C．

9．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC；

又∵点E是BC的中点，

∴BE=CE，

∴AB=2OE=2×3=6（cm）

故选：B．

二．填空题（共5小题）

10．

【解答】解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点，

∴DF=AB=8，

∵EF=1，

∴DE=9，

∵D、E分别是AB，AC的中点，

∴BC=2DE=18，

故答案为：18

11．

【解答】解：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，

∴MN∥AD，MN=AD，

在Rt△ABC中，∵M是AC中点，

∴BM=AC，

∵AC=AD，

∴MN=BM，

∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，

∴∠BAC=∠DAC=30°，

∴BM=AC=AM=MC，

∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，

∵MN∥AD，

∴∠NMC=∠DAC=30°，

∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，

∴BN2=BM2+MN2，

∴MN=BM=AC=1，

∴BN=．

故答案为：．

12．

【解答】解：∵点E、F分别是边AC、BC的中点，

∴EF=AB，

∵∠ACB=90°，点Q是边AB的中点，

∴CQ=AB，

∴EF=CQ，

∵EF+CQ=5，

∴EF=，

故答案为：．

13．

【解答】解：∵AD平分∠BAC，

∴∠GAF=∠CAF，

∵CG⊥AD，

∴∠AFG=∠AFC，

在△AGF和△ACF中，，

∴△AGF≌△ACF（ASA），

∴AG=AC=6，GF=CF，

则BG=AB﹣AG=10﹣7=3．

又∵BE=CE，

∴EF是△BCG的中位线，

∴EF=BG=1.5．

故答案是：1.5．

14．

【解答】解：∵∠D=90°，AD=4，CD=3，

∴由勾股定理，得

AC===5．

又M，N分别为AB，BC的中点，

∴MN在△ABC的中位线，

∴MN=AC=．

故答案是：．

三．解答题（共6小题）

15．

【解答】（1）证明：如图1中，

∵AE⊥BD，

∴∠AED=∠AEB=90°，

∴∠BAE+∠ABE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，

∵∠BAE=∠DAE，

∴∠ABE=∠ADE，

∴AB=AD，∵AE⊥BD，

∴BE=DE，∵BF=FC，

∴EF=DC==（AC﹣AB）．

（2）结论：EF=（AB﹣AC），

理由：如图2中，延长AC交BE的延长线于P．

∵AE⊥BP，

∴∠AEP=∠AEB=90°，

∴∠BAE+∠ABE=90°，∠PAE+∠APE=90°，

∵∠BAE=∠PAE，

∴∠ABE=∠ADE，

∴AB=AP，∵AE⊥BD，

∴BE=PE，∵BF=FC，

∴EF=PC=（AP﹣AC）=（AB﹣AC）．

16．

【解答】证明：如图，取AB的中点G，连接MG、NG，

∵M、N分别为AF、BE的中点，

∴NG=AE，NG∥AE，MG=BF，MG∥BF，

∵CE=CF，∠C=90°，

∴AE=BF，∠MGN=∠C=90°，

∴MG=NG，

∴△MNG是等腰直角三角形，

∴NG=MN，

∴AE=2NG=NG=×2MN=MN，

即AE=MN．

17．

【解答】证明：（1）∵F为DE中点，AD=AE，

∴AF为△ADE的高．

即AF⊥DE．

（2）连接CG，

∵CB=CE，G为BE中点，

∴CG⊥BE．

∴∠AFC=∠AGC=90°．

又∵H为AC中点，

∴FH=AC，GH=AC．

∴FH=GH．

∴∠HFG=∠FGH．

18．

【解答】（1）证明：连接AC、BD，

∵点EFGH分别是边ABBCCDDA的中点，

∴E1H1=BD，同理F1G1=BD，H1G1=AC，E1F1=AC，

又∵在矩形ABCD中，AC=BD，

∴E1H1=F1G1=H1G1=E1F1，

∴四边形E1F1G1H1是菱形．

（2）解：有；矩形的中点四边形是菱形，菱形的中点四边形是矩形．

（3）解：∵矩形的中点四边形为菱形，

即：f（0）=1，

∴菱形的中点四边形为矩形可以表示为：f（1）=0．

19．

【解答】解：（1）AB=CD即可使得∠MEF=∠MFE；

（2）∵M、E为AD、AC的中点，

∴ME=CD，

同理MF=AB，

又∵AB=CD，

∴ME=MF，

∴∠MEF=∠MFE．

20．

【解答】（1）证明：∵D、E是AB、AC的中点，

∴DE∥BC且DE=BC，

∵G、F是OB、OC的中点，

∴GF∥BC且GF=BC，

∴DE∥GF且DE=GF，

∴四边形DGFE是平行四边形；

（2）解：∵D、G分别是AB、OB的中点，

∴DG∥AO，DG=AO，

又∵AO=BC，AO⊥BC，

∴DG⊥GF，DG=GF，

∴四边形DGFE正方形．