初中数学华师大版九年级上册1. 相似三角形随堂练习题

23.3　

一、选择题(每小题5分，共35分)

1．下列命题中，是真命题的是(　　)

A．锐角三角形都相似  B．直角三角形都相似

C．等腰三角形都相似  D．等边三角形都相似

2．已知△ABC∽△DEF，其中AB＝6，BC＝4.若DE＝3，则EF的长为(　　)

A．6  B．4  C．3  D．2

3．如图3－G－1，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE∶EC＝3∶1，连结AE交BD于点F，则△DFE的面积与△BFA的面积之比为(　　)

A．3∶4  B．9∶16  C．9∶1  D．3∶1

图3－G－1

4. 如图3－G－2，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是(　　)

A. ＝    B. ＝

C. ＝    D. ＝

图3－G－2

5．如图3－G－3，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于点E，交BD于点F，DE∶EA＝3∶4，EF＝3，则CD的长为(　　)

A．4  B．7  C．3  D．12

图3－G－3

6.小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米(如图3－G－4)，然后在A处竖直放置一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为(　　)

A．10米  B．12米  C．15米  D．22.5米

图3－G－4

7．如图3－G－5，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，P是AC的中点，过点P的直线交AB于点Q.若以A，P，Q为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似，则AQ的长为(　　)

A.     B．3    C.  或3    D. 或3

　图3－G－5

二、填空题(每小题5分，共25分)

8．若两个相似三角形的周长比为2∶3，则它们的面积比是________．

9．图3－G－6中，x＝________．

图3－G－6

10.为了测量校园内一棵不可攀爬的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图3－G－7所示的测量方案：把镜子放在离树(AB)8.7 m的点E处，然后观测者沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2.7 m，观测者目高CD＝1.6 m，则树高AB约为________．(精确到0.1 m)

图3－G－7

11．小红家的阳台上放置了一个晒衣架如图3－G－8①，图②是晒衣架的侧面示意图，立杆AB，CD相交于点O，B，D两点位于地面上，经测量，得到AB＝CD＝136 cm，OA＝OC＝51 cm，OE＝OF＝34 cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF＝32 cm.垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于________ cm时，连衣裙才不会拖落到地面上．

图3－G－8

12．如图3－G－9，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC与△DCA的面积比为________．

图3－G－9

三、解答题(共40分)

13．(8分)如图3－G－10，E是▱ABCD的边BA的延长线上的一点，连结EC，交AD于点F.

(1)写出图中的三对相似三角形(注意：不添加辅助线)；

(2)请在你所找出的相似三角形中任选一对，说明相似的理由．

图3－G－10

14. (10分)如图3－G－11，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连结BE.

图3－G－11

(1)求证：∠CBE＝36°；

(2)求证：AE2＝AC•EC.

15．(10分)如图3－G－12，某测量人员的眼睛A与标杆顶端F、电视塔顶端E在同一条直线上，已知此人的眼睛到地面的距离AB＝1.6 m，标杆FC＝2.2 m，且BC＝1 m，CD＝5 m，标杆FC，ED垂直于地面．求电视塔的高ED.

图3－G－12

16．(12分)如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度运动，设P，Q两点同时出发，运动时间为t s．当其中一点到达终点后，两点均停止运动．

(1)几秒后，△PBQ是等腰三角形？

(2)几秒后，△PBQ的面积为5 cm2?

(3)几秒后，以P，B，Q为顶点的三角形和△ABC相似？

教师详答

1．D

2．D　[解析] ∵△ABC∽△DEF，∴＝，

∴＝，∴EF＝2.

3．B　[解析] ∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，

∴△DFE∽△BFA.

∵DE∶EC＝3∶1，

∴DE∶DC＝3∶4，

∴DE∶AB＝3∶4，

∴S△DFE∶S△BFA＝9∶16.

故选B.

4．C

5．B　[解析] ∵DE∶EA＝3∶4，

∴DE∶DA＝3∶7.

∵EF∥AB，

∴＝，

即＝，

解得AB＝7.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD＝AB＝7.故选B.

6．A　[解析] 设楼高为x米．根据在同一时刻物高和影长成正比，得＝，解得x＝10.

7．C　[解析] 分两种情况：①由△APQ∽△ACB，得AQ＝3；②由△APQ∽△ABC，得AQ＝.

8．4∶9

9．2　[解析] 易知＝，∴x＝2.

10．5.2 m　11.120

12．4∶9　[解析] ∵AD∥BC，

∴∠ACB＝∠DAC.

又∵∠B＝∠ACD＝90°，

∴△ABC∽△DCA，

∴＝，

∴＝＝＝，

即△ABC与△DCA的面积比为4∶9.

13．解：(1)△EAF∽△EBC，△CDF∽△EBC，△EAF∽△CDF.

(2)选△EAF∽△EBC.理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴△EAF∽△EBC.

14．证明：(1)∵DE是AB的垂直平分线，

∴AE＝BE，∴∠EBA＝∠A＝36°.

∵AB＝AC，∠A＝36°，

∴∠ABC＝∠C＝72°，

∴∠CBE＝∠ABC－∠EBA＝36°.

(2)由(1)得，在△BCE中，∠C＝72°，∠CBE＝36°，

∴∠BEC＝∠C＝72°，

∴BC＝BE＝AE.

在△ABC与△BEC中，由(1)知∠CBE＝∠A.

又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BEC，

∴＝，

即BC2＝AC·EC，

故AE2＝AC·EC.

15．解：过点A作AH⊥ED交FC于点G，垂足为H.

∵AB⊥BD，FC⊥BD，ED⊥BD，AH⊥ED交FC于点G，垂足为H，

∴FG∥EH，AH＝BD，AG＝BC.

∵AB＝1.6，FC＝2.2，BC＝1，CD＝5，

∴FG＝FC－AB＝2.2－1.6＝0.6，

BD＝BC＋CD＝6.

∵FG∥EH，∴＝＝，

解得EH＝3.6，

∴ED＝EH＋AB＝3.6＋1.6＝5.2(m)．

答：电视塔的高ED是5.2 m.

16．解：运动时间为t s，则BP＝6－t，BQ＝2t.

(1)△PBQ是等腰三角形，则BP＝BQ，即6－t＝2t，解得t＝2.即2 s后，△PBQ是等腰三角形．

(2)由题意，得△PBQ的面积为BP·BQ＝(6－t)·2t＝5，即(t－1)(t－5)＝0，解得t＝1或t＝5.即1 s或5 s后，△PBQ的面积为5 cm2.

(3)分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，则＝，即＝，解得t＝3.

②当△BPQ∽△BCA时，则有＝，即＝，解得t＝1.2.

即3 s或1.2 s后，△PBQ是等腰三角形，以P，B，Q为顶点的三角形和△ABC相似．