2021学年4.3 一元二次不等式的应用教学ppt课件

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根据函数奇偶性的定义和图象的性质，得到奇偶性的性质，并能结合单调性解决问题.
通过对性质的归纳，培养学生逻辑推理和数学抽象素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1.思考　奇函数、偶函数的对应关系有哪些形式？提示　(1)奇函数：f(－x)＝－f(x)或f(x)＋f(－x)＝0；(2)偶函数：f(－x)＝f(x)或f(x)－f(－x)＝0.
2.思考　一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数吗？函数图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数吗？提示　若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数；图象关于原点对称，则这个函数是奇函数.
3.思考　从函数图象看，奇、偶函数在对称区间上单调性是否一致？提示　奇函数在关于原点对称的区间内单调性一致，偶函数在关于原点对称的区间内单调性相反.
4.填空　函数的奇偶性与单调性的性质(1)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a5.做一做　(1)思考辨析，判断正误①若f(x)为奇函数且在[a，b]上有最大值，则f(x)在[－b，－a]上有最小值.()②函数f(x)为偶函数且在[1，2]上为增函数，则f(x)在[－2，－1]上也是增函数.()提示　f(x)为偶函数且在[－2，－1]上为减函数.③f(x)为偶函数且在[2，＋∞)上为增函数，则f(－2)(2)若奇函数f(x)在(－∞，0)上的解析式为f(x)＝x(1＋x)，则f(x)在(0，＋∞)上有(　　)
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
例1　(1)若对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则(　　)
题型一　利用函数的单调性与奇偶性比较大小
(2)设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是____________________.
f(－2)解析　(1)∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，∴f(2)＝f(－2).
(2)因为f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，又当x≥0时，f(x)是增函数，2＜3＜π，所以f(2)比较大小的方法(1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.
训练1　函数f(x)是定义在[－6，6]上的偶函数且在[－6，0]上单调递减，则一定有(　　)A.f(3)＋f(4)>0B.f(－3)－f(－2)<0C.f(4)－f(－1)>0D.f(－2)＋f(－5)<0解析　∵f(x)在[－6，6]上为偶函数且在[－6，0]上为减函数，∴f(－4)>f(－1),即f(4)>f(－1)，∴f(4)－f(－1)>0，故选C.
例2　(1)设定义在[－3，3]上的奇函数f(x)在区间[0，3]上是减函数，若f(1－m)题型二　利用奇偶性、单调性解不等式
解　∵g(x)在[－2，2]上为偶函数，且x≥0时为减函数，
(2)定义在[－2，2]上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)为减函数，若g(1－m)利用函数奇偶性和单调性解不等式，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)训练2　(1)函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(　　)A.[－2，2] B.[－1，1]C.[0，4] D.[1，3](2)已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(－4，4)，且在(－4，0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f(x)·g(x)<0的解集是____________________.
(－4，－2)∪(0，2)
解析　(1)∵f(x)为奇函数，f(1)＝－1，∴f(－1)＝1.∵－1≤f(x－2)≤1，∴f(1)≤f(x－2)≤f(－1).又∵f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故选D.(2)设h(x)＝f(x)g(x)，则h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，补全f(x)，g(x)的图象，由图象可知：当－40，g(x)<0，此时h(x)<0，当00，此时h(x)<0，∴h(x)<0的解集为(－4，－2)∪(0，2).
题型三　奇偶性与对称性问题
例3　(1)若定义在R上的奇函数f(x)满足：f(x－4)＝－f(x)，且当x∈[0，2]时，f(x)＝x，试画出f(x)的图象.解　∵f(x)是奇函数，∴f(x－4)＝－f(x)＝f(－x)，∴f(x)关于直线x＝－2对称.
反复利用f(x)关于原点对称又关于直线x＝－2对称，可画出f(x)的图象如图：
解　∵f(x＋1)是偶函数，∴f(1－x)＝f(1＋x)，故y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称.又∵f(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴f(x)在(－∞，1)上单调递减.∵f(3)＝1，∴f(－1)＝f(3)＝1，∴f(2x＋1)＜1⇔－1＜2x＋1＜3，解得－1＜x＜1.∴不等式的解集为{x|－1(2)已知定义域为R的函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，且f(x＋1)为偶函数，若f(3)＝1，求不等式f(2x＋1)＜1的解集.
训练3　(1)定义在R上的函数f(x)在(－∞，2)上是增函数，且f(x＋2)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，则(　　)
解析　f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(3)＝f(1)，由于f(x)在(－∞，2)上是增函数，所以f(－1)解析　∵f(x)是定义在R上的奇函数，
即f(－x)＝f(1＋x).∴f(2)＝f(1＋1)＝f(－1)＝－f(1)＝0，f(3)＝f(1＋2)＝f(－2)＝－f(2)＝0，同理，f(4)＝f(5)＝0.∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0.
1.牢记两条性质(1)奇函数在关于原点对称区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反.(2)f(x)为奇函数且定义域包含0，则f(0)＝0，f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|).2.掌握两个结论(1)若f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，则f(x)关于x＝a对称；(2)若f(x)满足f(2a＋x)＋f(－x)＝0，则f(x)关于(a，0)对称.3.辨清一个易错点若f(x)为奇函数且为增函数，在解不等式时，应注意自变量在给定区间内.若f(x)为偶函数时，首先利用f(x)＝f(|x|)，将自变量均转化到(0，＋∞)上，然后利用单调性解决.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.已知函数g(x)＝f(x)－x－1，其中g(x)是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝(　　)A.－1 B.1 C.－3 D.3解析　∵g(x)＝f(x)－x－1是偶函数，∴g(－x)＝f(－x)＋x－1＝f(x)－x－1，∴f(－x)＝f(x)－2x，∴f(－2)＝f(2)－2×2＝－3.
2.已知函数f(x)＝x2－2|x|，则下列结论正确的是(　　)A.f(x)是偶函数，递增区间是[－1，0]∪[1，＋∞)B.f(x)是偶函数，递增区间是[－1，0]，[1，＋∞)C.f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，－1]∪[0，1]D.f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，－1]，[0，1]解析　由题意f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|＝f(x)，f(x)是偶函数，排除C，D.单调区间不可以是两个不相邻区间的并集，排除A.故选B.
3.已知函数f(x)为偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，若f(－3)＝－2，则不等式f(x)≥－2的解集为(　　)A.[－3，0]B.[－3，3]C.[－3，＋∞)D.(－∞，－3]∪[3，＋∞)解析　由于函数y＝f(x)是偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，则该函数在区间[0，＋∞)上单调递减，且有f(x)＝f(|x|)，∵f(－3)＝－2，由f(x)≥－2，得f(x)≥f(－3)，则有f(|x|)≥f(3)，∴|x|≤3，解得－3≤x≤3，因此，不等式f(x)≥－2的解集为[－3，3]，故选B.
4.函数f(x)是R上的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，又f(－2)＝0，则xf(x)<0的解集是(　　)A.(－2，0)∪(0，2)B.(－2，0)∪(2，＋∞)C.(－∞，－2)∪(2，＋∞)D.(－∞，－2)∪(0，2)
解析　由条件①得f(x)是偶函数，条件②得f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(3)因为f(－1)＝f(1)＝0，所以x>1或－16.已知偶函数f(x)在区间[－3，－1]上是单调减函数，则f(－3)，f(1)，f(2)的大小关系为__________________.解析　因为函数f(x)在区间[－3，－1]上是单调减函数，所以f(－1)f(1)7.已知二次函数f(x)的图象关于y轴对称，且在[0，＋∞)上为增函数，则f(0)，f(3)，f(－4)的大小关系为______________.解析　因为二次函数f(x)的图象关于y轴对称,所以f(－4)＝f(4),因为f(x)在[0，＋∞)上为增函数，且0<3<4，所以f(0)f(－4)>f(3)>f(0)
所以函数g(x)为奇函数，则g(x)max＋g(x)min＝0，又f(x)max＋f(x)min＝g(x)max＋1＋g(x)min＋1＝2，所以M＋m＝2.
9.设定义在[－2，2]上的奇函数f(x)＝x5＋x3＋b.(1)求b的值；(2)若f(x)在[0，2]上单调递增，且f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围.解　(1)因为函数f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，所以f(0)＝0，解得b＝0.(2)因为函数f(x)在[0，2]上是增函数，又因为f(x)是奇函数，所以f(x)在[－2，2]上是单调递增的，因为f(m)＋f(m－1)>0，所以f(m－1)>－f(m)＝f(－m)，所以m－1>－m，①又需要不等式f(m)＋f(m－1)>0在函数f(x)定义域范围内有意义.
(1)求函数f(x)的解析式；
证明　∀x1，x2∈(－1，1)，且x1即f(x2)>f(x1)，所以f(x)在(－1，1)上是增函数.
(2)用定义证明f(x)在(－1，1)上是增函数；
解　因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(t－1)＋f(t)<0等价于f(t－1)<－f(t)＝f(－t)，即f(t－1)(3)解关于实数t的不等式f(t－1)＋f(t)<0.
11.(多选)函数f(x)是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是(　　)A.f(0)＝0B.若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x)在(－∞，0]上有最大值1C.若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，－1]上为减函数D.若x>0时，f(x)＝5x2－x，则x<0时，f(x)＝－5x2－x解析　由f(0)＝－f(0)得f(0)＝0，A正确；当x≥0时，f(x)≥－1，则x≤0时，f(－x)≥－1，f(x)＝－f(－x)≤1，最大值为1，B正确；若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，－1]上为增函数，C错；若x>0时，f(x)＝5x2－x，则x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－[5(－x)2－(－x)]＝－5x2－x，D正确，故选ABD.
A.(－∞，－2)∪(0，2)B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)C.(－2，0)∪(2，＋∞)D.(－2，0)∪(0，2)
解　(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－x2－2x，∵f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝x2＋2x，∴m＝2.
(2)f(x)的图象如图，
∵函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，∴－1当x>0时f(x)<0，由图象可得x>2，当x<0时f(x)>0，由图象可得x<－2，综上：x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞).
14.(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋1)为偶函数，若f(1)＝2，则(　　)A.f(3)＝－2 B.f(x＋2)＝f(x)C.f(5)＝－2 D.f(x＋4)＝f(x)解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋1)为偶函数，故可得f(x)＝－f(－x)，f(x＋1)＝f(－x＋1)，则f(x＋4)＝f(－x－2)＝－f(x＋2)＝－f(－x－1＋1)＝－f(－x)＝f(x)，故D选项正确；由上述推导可知f(x)＝－f(x＋2)≠f(x＋2)，故B错误；又因为f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，故A选项正确；又因为f(5)＝f(1)＝2≠－2，故C错误.故选AD.