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    北师大版 (2019)必修 第一册第八章 数学建模活动(一)2 数学建模的主要步骤教案配套课件ppt

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    问题导学预习教材必备知识探究
    互动合作研析题型关键能力提升
    WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
    问题导学预习教材 必备知识探究
    牛顿(1642~1727)是英国著名的物理学家、数学家和天文学家,是17世纪最伟大的科学巨匠.然而,对于一些在自然科学上一知半解的人来说,牛顿的赫赫有名与其说是来自于他的科学发现,不如说是来自于那个妇孺皆知的苹果落地的故事.那是1666年夏末的一个傍晚,在英格兰林肯郡乌尔斯索普,一个腋下夹着书的年轻人走进了母亲家的花园里,坐在一棵树下,开始埋头读他的书.正在他翻动书页时,他头顶上的树枝被风吹得晃动了起来.突然,“啪”的一声,一只历史上最著名的苹果落了下来,恰好砸在了这位青年的头上.这位青年不是别人,正是时年23岁的牛顿.据说,牛顿当时正在苦苦思索着一个问题:是什么力量使月球保持在环绕地球运行的轨道上,又是什么力量使行星保持在其环绕太阳运行的轨道上?掉下来的苹果打断了他的思索,“为什么这只苹果会坠落到地上呢?”牛顿转而考虑起这个使他感到困惑不解的问题.有人说正是从这一问题的思考中,他找到了答案,并提出了万有引力定律.
    问题1 你认为牛顿是由“苹果从树上落下”这一问题的思考中很简单的提出的万有引力吗?问题2 你能想象一下牛顿发现万有引力的过程吗?提示 树上掉下苹果也许的确给了牛顿某种启示,但万有引力的诞生绝非如此简单,事实上它是几代人努力的结果.即使不把哥白尼的工作计算在内,若没有开普勒的三大定律,牛顿也无法着手,不可能得出万有引力、分析万有引力的导出过程,可以看出数学建模在发现问题、研究问题并解决问题中的作用.
    自主梳理1.数学建模的概念数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.主要过程包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、建立模型,求解模型、检验结果、得出结论,最终解决实际问题.
    2.数学建模的一般步骤如下
    (1)提出问题实际情境中的问题往往是模糊的和笼统的,原始的问题往往是一个希望得到优化的期待,或是某个不良现象的消失.这就需要透过现象,明确地提出问题.(2)建立模型在一定的知识积累的基础上,预测建立的数学模型,抓住主要因素,摒弃次要因素,做出适当简化和假设.建模的重要环节为假设.在假设的基础上,用数学概念表示实际问题,用数学结构反映实际问题中各个量之间的关系.从不同角度、用不同知识表示同样的问题,就会得到不同的模型.
    (3)求解模型这个过程是求解数学问题.值得注意的是,如果目标是求值,一般不容易求得精确值,这就要根据需要求近似解.(4)检验结果用实际现象或数据检验求得的解是否符合实际.如果不符合实际情况,就要重新建模.数学建模的过程可用如图的框图表示.
    HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
    互动合作研析题型 关键能力提升
    例1 [提出问题] 在小傅家门口有一个十字型的交通路口(如图所示),小傅就想,警察叔叔需要指挥多少种情况的汽车运行线路?
    [建立模型] 此问题需要分是否可以原路调头的情况来讨论.(1)每条线路都有往返双向线;(2)设4条路分别为A,B,C,D;(3)以A为起始,①如允许原路调头,则有A→A,A→B,A→C,A→D,②如不允许原路调头,则有A→B,A→C,A→D.
    [求解模型] 第一步:始线路条数;第二步:终线路条数.①如允许原路调头:则N=4×4=16(种)可能;②如不允许原路调头:则N=4×3=12(种)可能.[检验结果] 如果允许汽车原路调头,那么在此交通路口共有16种不同的行车情况,如果不允许汽车原路调头,那么在此交通路口共有12种不同的行车情况.
    例2 [提出问题] 两根同样长的蜡烛,粗蜡烛燃烧完要3小时,细蜡烛燃烧完要1小时.现同时点燃两根蜡烛.一段时间后同时熄灭,发现粗蜡烛的长度是细蜡烛的3倍.问两根蜡烛燃烧了多长时间?[建立模型] ①设两根蜡烛的长度为l厘米,粗、细蜡烛的燃烧速度分别为x、y(厘米/小时),则有y=l=3x;②点燃两根蜡烛一段时间后同时熄灭,剩余粗、细蜡烛的长度分别为R、r,则R=3r.
    [检验结果] 为了明确各量之间的相互关系,在必要的地方可以加注.
    例3 [提出问题] 李明玩套圈游戏,游戏规则为:套中小鸡一次得9分,套中小猴一次得5分,套中小狗一次得2分,李明共套10次,且每个小玩具都至少被套中一次.已知李明共得61分,求其中小鸡被套中过多少次.[建立模型] ①设每次不可能同时套中2个及2个以上的玩具;②为了保证“每个小玩具都至少被套中一次”,可设小鸡、小猴、小狗分别被套中x,y,z次,x,y,z∈N+,然后解不定方程组.
    例4 [提出问题] 一副扑克牌有54张,从中任取多少张,可以保证一定有5张牌的花色是一样的?[建立模型] (1)一副扑克共54张牌,除去大、小鬼还有52张牌,其中4种花色各13张.在运气最佳的情况下,只需取5张牌就可得到同一花色的5张牌.那问题来了,运气最不佳时至少要取多少张牌,才能保证一定有5张牌的花色是一样的呢?(2)假定至少要取N张扑克牌,才能保证一定有5张牌的花色是一样的.然后逆向思考问题(考虑极端情况).
    [求解模型] 在运气最不好的情况下,每种花色各有4张,再加大、小鬼2张,共取18张是保证一定没有5张扑克牌的花色一样的最大可能.所以N=4×4+2+1=19.[检验结果] 即从54张扑克牌中任取19张,可以保证一定有5张牌的花色是一样的.在很多情况下逆向地思考问题,可以使解题思路清晰、便捷.
    例5 [提出问题] 甲、乙两人去沙漠中探险,他们每天向沙漠深处走20千米,已知每人最多可带一个人4天的食物和水.如果允许将部分食物存放于途中,问其中1人最远可深入沙漠多少千米?(要求最后两人返回出发点)[建立模型] 要使其中一位探险者尽可能走得远,另一位须先回,留下食物和水给另一位,所以必须分头行动.问题是在何处留下食物和水?①经过商议让甲走得更远(最远走4×20=80(千米),但回程就没有食物和水了),需要乙在适当的地点留下足够的食物和水.②第1天乙在10千米处留下1份食物和水,到20千米处吃1份留下1份,第2天走到30千米处留下1份食物和水后马上往回返,到20千米处再吃1份,第3天走20千米回出发点.③第1天甲20千米处吃1份,第2天走到40千米处吃1份,第3天走到60千米处吃1份,第4天走到65千米处然后往返,到50千米处吃1份(到此为止甲自带的食物和水已吃完),第5天走到30千米处吃1份(此处食物和水是乙留下的),第6天走到10千米处吃1份,然后回出发点.
    [求解模型] 所谓“错位推进法”,对于本题来说,关键点为“乙在30千米和10千米处给甲留下食物和水”,根据分析与假设推知结论:其中的一位沙漠探险家最多可深入沙漠65千米.[检验结果] 从“第6天走到10千米处吃1份,然后回出发点”,感觉似乎还有10千米可以走,但已经回出发点了,考虑一下甲还可以再往前推进5千米吗?
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