北师大版 (2019)必修 第一册第八章 数学建模活动（一）2 数学建模的主要步骤教案配套课件ppt

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问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
牛顿(1642～1727)是英国著名的物理学家、数学家和天文学家，是17世纪最伟大的科学巨匠.然而，对于一些在自然科学上一知半解的人来说，牛顿的赫赫有名与其说是来自于他的科学发现，不如说是来自于那个妇孺皆知的苹果落地的故事.那是1666年夏末的一个傍晚，在英格兰林肯郡乌尔斯索普，一个腋下夹着书的年轻人走进了母亲家的花园里，坐在一棵树下，开始埋头读他的书.正在他翻动书页时，他头顶上的树枝被风吹得晃动了起来.突然，“啪”的一声，一只历史上最著名的苹果落了下来，恰好砸在了这位青年的头上.这位青年不是别人，正是时年23岁的牛顿.据说，牛顿当时正在苦苦思索着一个问题：是什么力量使月球保持在环绕地球运行的轨道上，又是什么力量使行星保持在其环绕太阳运行的轨道上？掉下来的苹果打断了他的思索，“为什么这只苹果会坠落到地上呢？”牛顿转而考虑起这个使他感到困惑不解的问题.有人说正是从这一问题的思考中，他找到了答案，并提出了万有引力定律.
问题1　你认为牛顿是由“苹果从树上落下”这一问题的思考中很简单的提出的万有引力吗？问题2　你能想象一下牛顿发现万有引力的过程吗？提示　树上掉下苹果也许的确给了牛顿某种启示，但万有引力的诞生绝非如此简单，事实上它是几代人努力的结果.即使不把哥白尼的工作计算在内，若没有开普勒的三大定律，牛顿也无法着手，不可能得出万有引力、分析万有引力的导出过程，可以看出数学建模在发现问题、研究问题并解决问题中的作用.
自主梳理1.数学建模的概念数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.主要过程包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，求解模型、检验结果、得出结论，最终解决实际问题.
2.数学建模的一般步骤如下
(1)提出问题实际情境中的问题往往是模糊的和笼统的，原始的问题往往是一个希望得到优化的期待，或是某个不良现象的消失.这就需要透过现象，明确地提出问题.(2)建立模型在一定的知识积累的基础上，预测建立的数学模型，抓住主要因素，摒弃次要因素，做出适当简化和假设.建模的重要环节为假设.在假设的基础上，用数学概念表示实际问题，用数学结构反映实际问题中各个量之间的关系.从不同角度、用不同知识表示同样的问题，就会得到不同的模型.
(3)求解模型这个过程是求解数学问题.值得注意的是，如果目标是求值，一般不容易求得精确值，这就要根据需要求近似解.(4)检验结果用实际现象或数据检验求得的解是否符合实际.如果不符合实际情况，就要重新建模.数学建模的过程可用如图的框图表示.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
例1　[提出问题]　在小傅家门口有一个十字型的交通路口(如图所示)，小傅就想，警察叔叔需要指挥多少种情况的汽车运行线路？
[建立模型]　此问题需要分是否可以原路调头的情况来讨论.(1)每条线路都有往返双向线；(2)设4条路分别为A，B，C，D；(3)以A为起始，①如允许原路调头，则有A→A，A→B，A→C，A→D，②如不允许原路调头，则有A→B，A→C，A→D.
[求解模型]　第一步：始线路条数；第二步：终线路条数.①如允许原路调头：则N＝4×4＝16(种)可能；②如不允许原路调头：则N＝4×3＝12(种)可能.[检验结果]　如果允许汽车原路调头，那么在此交通路口共有16种不同的行车情况，如果不允许汽车原路调头，那么在此交通路口共有12种不同的行车情况.
例2　[提出问题]　两根同样长的蜡烛，粗蜡烛燃烧完要3小时，细蜡烛燃烧完要1小时.现同时点燃两根蜡烛.一段时间后同时熄灭，发现粗蜡烛的长度是细蜡烛的3倍.问两根蜡烛燃烧了多长时间？[建立模型]　①设两根蜡烛的长度为l厘米，粗、细蜡烛的燃烧速度分别为x、y(厘米/小时)，则有y＝l＝3x；②点燃两根蜡烛一段时间后同时熄灭，剩余粗、细蜡烛的长度分别为R、r，则R＝3r.
[检验结果]　为了明确各量之间的相互关系，在必要的地方可以加注.
例3　[提出问题]　李明玩套圈游戏，游戏规则为：套中小鸡一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分，李明共套10次，且每个小玩具都至少被套中一次.已知李明共得61分，求其中小鸡被套中过多少次.[建立模型]　①设每次不可能同时套中2个及2个以上的玩具；②为了保证“每个小玩具都至少被套中一次”，可设小鸡、小猴、小狗分别被套中x，y，z次，x，y，z∈N＋，然后解不定方程组.
例4　[提出问题]　一副扑克牌有54张，从中任取多少张，可以保证一定有5张牌的花色是一样的？[建立模型]　(1)一副扑克共54张牌，除去大、小鬼还有52张牌，其中4种花色各13张.在运气最佳的情况下，只需取5张牌就可得到同一花色的5张牌.那问题来了，运气最不佳时至少要取多少张牌，才能保证一定有5张牌的花色是一样的呢？(2)假定至少要取N张扑克牌，才能保证一定有5张牌的花色是一样的.然后逆向思考问题(考虑极端情况).
[求解模型]　在运气最不好的情况下，每种花色各有4张，再加大、小鬼2张，共取18张是保证一定没有5张扑克牌的花色一样的最大可能.所以N＝4×4＋2＋1＝19.[检验结果]　即从54张扑克牌中任取19张，可以保证一定有5张牌的花色是一样的.在很多情况下逆向地思考问题，可以使解题思路清晰、便捷.
例5　[提出问题]　甲、乙两人去沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每人最多可带一个人4天的食物和水.如果允许将部分食物存放于途中，问其中1人最远可深入沙漠多少千米？(要求最后两人返回出发点)[建立模型]　要使其中一位探险者尽可能走得远，另一位须先回，留下食物和水给另一位，所以必须分头行动.问题是在何处留下食物和水？①经过商议让甲走得更远(最远走4×20＝80(千米)，但回程就没有食物和水了)，需要乙在适当的地点留下足够的食物和水.②第1天乙在10千米处留下1份食物和水，到20千米处吃1份留下1份，第2天走到30千米处留下1份食物和水后马上往回返，到20千米处再吃1份，第3天走20千米回出发点.③第1天甲20千米处吃1份，第2天走到40千米处吃1份，第3天走到60千米处吃1份，第4天走到65千米处然后往返，到50千米处吃1份(到此为止甲自带的食物和水已吃完)，第5天走到30千米处吃1份(此处食物和水是乙留下的)，第6天走到10千米处吃1份，然后回出发点.
[求解模型]　所谓“错位推进法”，对于本题来说，关键点为“乙在30千米和10千米处给甲留下食物和水”，根据分析与假设推知结论：其中的一位沙漠探险家最多可深入沙漠65千米.[检验结果]　从“第6天走到10千米处吃1份，然后回出发点”，感觉似乎还有10千米可以走，但已经回出发点了，考虑一下甲还可以再往前推进5千米吗？