2021学年第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式课前预习课件ppt

第二课时　基本不等式的应用

课标要求　1.进一步熟练掌握基本不等式，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值.2.能够利用基本不等式解决实际问题.

素养要求　通过学习掌握基本不等式及其应用，重点提升数学运算、逻辑推理、数学建模素养.

1.思考　利用基本不等式求最值时，应满足什么条件？

提示　满足三个条件：一正、二定、三相等，所谓“正”是指各项或各因式为正值，所谓“定”是指和或积为定值，所谓“相等”是指各项或各因式能相等，即等号能取到.

2.问题　当x<0时，能用基本不等式求＋x的最值吗？

提示　能.＋x＝－≤－2×4＝－8，当且仅当x＝－4时，＋x取到最大值－8.

3.思考　当给出的条件不满足基本不等式的应用条件时，怎样用基本不等式求最值？

提示　先变形，后应用.

4.思考辨析　正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.

(1)“x>0”是“x＋≥2成立”的充要条件.(√)

(2)若x＋y＝18，则xy有最大值为81.(×)

(3)若a>0，则a3＋的最小值为2.(×)

(4)若ab＝1，则a＋b≥2.(×)

5.做一做　设x>0，则3－3x－的最大值是(　　)

A.3   B.3－2

C.－1   D.3－2

答案　D

解析　∵x>0，∴3x＋≥2

＝2，

当且仅当x＝时，等号成立，

∴－≤－2，

则3－3x－≤3－2.

题型一　基本不等式求最值的简单应用

例1 (1)已知x>2，求x＋的最小值；

(2)已知＋＝1(x>0，y>0)，求x＋y的最小值.

解　(1)∵x>2，∴x－2>0，

∴x＋＝x－2＋＋2≥

2＋2＝6，

当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立.

∴x＋的最小值为6.

(2)∵x>0，y>0，

∴x＋y＝(x＋y)·

＝4＋2≥4＋4＝8.

当且仅当＝，

即x＝y＝4时取等号，x＋y的最小值为8.

思维升华　利用基本不等式求最值的策略

训练1 (1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值；

(2)已知0<x<，求y＝x(1－2x)的最大值.

解　(1)∵x<，∴5－4x>0，

∴y＝4x－2＋

＝－＋3

≤－2＋3＝1，

当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立，

故当x＝1时，ymax＝1.

(2)∵0<x<，∴1－2x>0，

∴y＝×2x(1－2x)≤×＝×＝，

当且仅当2x＝1－2x，

即x＝时， 上式等号成立，

故当x＝时，ymax＝.

题型二　基本不等式的实际应用

例2 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).

(1)若设休闲区的长和宽的比＝x(x>1)，求公园ABCD所占面积y关于x的函数的解析式；

(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？

解　(1)设休闲区的宽为a米，则长为ax米，由a2x＝4 000，得a＝.

则y＝(a＋8)(ax＋20)

＝a2x＋(8x＋20)a＋160

＝4 000＋(8x＋20)·＋160

＝80＋4 160(x>1).

(2)80＋4 160

≥80×2＋4 160

＝1 600＋4 160＝5 760.

当且仅当2＝，即x＝2.5时，等号成立，此时a＝40，ax＝100.

所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米.

思维升华　利用基本不等式解决实际问题的步骤

(1)理解题意，设变量，并理解变量的实际意义；

(2)构造函数模型，利用基本不等式求最值；

(3)检验，检验等号成立的条件是否满足题意；

(4)结论，回答实际问题.

训练2 要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，求该容器的最低总造价.

解　设该长方体容器底面的长和宽分别为a m，b m，成本为y元，

由于长方体容器的容积为4 m3, 高为1 m，

所以底面面积S＝ab＝4，y＝20S＋10[2(a＋b)]＝20(a＋b)＋80，

由基本不等式可得y＝20(a＋b)＋80≥20×2＋80＝160(元)，

当且仅当a＝b＝2时，等号成立，

因此，该容器的最低总造价为160元.

题型三　基本不等式的灵活应用

角度1　巧用“1”的代换求最值

例3 已知a>0，b>0，a＋2b＝1，求t＝＋的最小值.

解　因为a>0，b>0，a＋2b＝1，

所以t＝＋＝(a＋2b)

＝＋＝1＋＋＋2

≥3＋2＝3＋2.

当且仅当

即时等号成立，

故t的最小值为3＋2.

迁移 若x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值.

解　∵＋＝1，

∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋

≥10＋2＝16，

当且仅当＝即x＝4，y＝12时，取等号.

∴x＋y的最小值为16.

角度2　利用基本不等式求参数的值(范围)

例4 已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值等于(　　)

A.10   B.9 

C.8   D.7

答案　B

解析　因为a>0，b>0，所以2a＋b>0，

所以要使＋≥恒成立，

只需m≤(2a＋b)恒成立，

又(2a＋b)＝4＋＋＋1≥5＋4＝9，

当且仅当a＝b时，等号成立，所以m≤9.

思维升华　1.“1”的代换：利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子，将“1”代入后再利用基本不等式求最值.

2.利用基本不等式求参数

(1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而求得参数的值或取值范围.

(2)不等式恒成立问题，往往先分离参数，转化为求最值问题.

训练3 (1)若两个正实数x，y满足＋＝1，并且x＋2y>4＋2m恒成立，则实数m的取值范围是________.

答案　{m|m<2}

解析　∵x>0，y>0，且＋＝1，

∴x＋2y＝(x＋2y)＝2＋＋＋2≥4＋2＝8.

当且仅当＝，即4y2＝x2时等号成立.

由x＋2y>4＋2m恒成立，

可知4＋2m<8，解得m<2.

(2)设a>0，b>0，a＋b＝5，求＋的最大值.

解　设＝m，＝n，

∴m>0，n>0，且m2＋n2＝a＋b＋4＝9.

由(m＋n)2＝m2＋n2＋2mn≤2(m2＋n2)，

即(m＋n)2≤18，

∴m＋n≤3，当且仅当m＝n＝时，等号成立，即＋的最大值为3.

[课堂小结]

1.利用基本不等式求最值，必须按照“一正、二定、三相等”的条件进行，若具备这些条件，则可直接运用基本不等式，若不具备这些条件，则应进行适当变形.

2.利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件.解题时应对照已知条件和待求的式子，运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设使用基本不等式的条件.

3.利用基本不等式求解实际问题，注意生活中的变量有它自身的意义，容易忽略变量的取值范围.

一、基础达标

1.(－6≤a≤3)的最大值为(　　)

A.9   B. 

C.3   D.

答案　B

解析　因为－6≤a≤3，

所以3－a≥0，a＋6≥0，

则由基本不等式可知，≤＝，

当且仅当a＝－时，等号成立.

2.若(x>1)在x＝t处取得最小值，则t等于(　　)

A.1＋   B.2 

C.3   D.4

答案　B

解析　＝＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，

当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立.

3.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则(　　)

A.a<v<   B.v＝

C.<v<  D.v＝

答案　A

解析　设甲、乙两地的距离为s，

则v＝＝.

由于a<b，∴＋<，∴v>a，

又＋>2，∴v<.

故a<v<，选A.

4.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是(　　)

A.6.5 m   B.6.8 m

C.7 m   D.7.2 m

答案　C

解析　设两直角边分别为a，b直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，∴ab＝4.

l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m).故C既够用，浪费也最少.

5.(多选)已知某出租车司机为升级服务水平，购入了一辆豪华轿车投入运营，据之前的市场分析得出每辆车的营运总利润y(万元)与运营年数x的关系为y＝－x2＋12x－25，则下列判断正确的是(　　)

A.车辆运营年数越多，收入越高

B.车辆在第6年时，总收入最高

C.车辆在前5年的平均收入最高

D.车辆每年都能盈利

答案　BC

解析　由题意，y＝－x2＋12x－25，是开口向下的二次函数，故A错误；

对称轴x＝6，故B正确；

＝－x＋12－＝－＋12≤－2＋12＝2，当且仅当x＝5时，等号成立，故C正确；

当x＝1时，y＝－14，故D错误.

6.下列不等式：①a2＋1>2a；②|x＋|≥2；③≤2；④x2＋≥1.其中正确的个数是________.

答案　2

解析　由基本不等式可知②④正确.

7.已知a>0，b>0，3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为________.

答案　2＋

解析　根据题意，3a＋b＝2ab⇒＋＝1，

则a＋b＝(a＋b)

＝2＋＋

≥2＋2＝2＋，

当且仅当b＝a时等号成立，

则a＋b的最小值为2＋.

8.为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg·L－1)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝，则经过________h后池水中该药品的浓度达到最大.

答案　2

解析　C＝＝.

因为t>0，所以t＋≥2＝4

.

所以C＝≤＝5，当且仅当t＝，

即t＝2时，C取得最大值.

9.(1)若x>0，求x＋的最小值，并求此时x的值；

(2)设0<x<，求4x(3－2x)的最大值.

解　(1)当x>0时，x＋≥2＝4，

当且仅当x＝时，即x2＝4，x＝2时取等号.

∴x＋(x>0)在x＝2时取得最小值4.

(2)∵0<x<，∴3－2x>0，

∴4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]

≤2＝.

当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立.

∵∈，

∴4x(3－2x)的最大值为.

10.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建为一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝4米，AD＝3米，求当BM等于多少时，矩形花坛AMPN的面积最小.

解　设BM＝x(x>0)，则由DC∥AM

得＝，解得ND＝，

∴矩形AMPN的面积为S＝(4＋x)＝24＋3x＋≥24＋2＝48.

当且仅当3x＝，即x＝4时等号成立.

故当BM＝4米时，矩形花坛AMPN的面积最小.

二、能力提升

11.设0<x<1，则＋的最小值为(　　)

A.10   B.9 

C.8   D.

答案　B

解析　∵0<x<1，∴1－x>0，

＋＝[x＋(1－x)]·

＝4＋＋＋1

≥5＋2

＝5＋2×2＝9.

当且仅当＝，即x＝时，等号成立.

∴＋的最小值为9.

12.若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________.

答案　

解析　因为x>0，

所以＝

≤＝.

当且仅当x＝1时，等号成立，

所以的最大值为.

所以a≥.

13.根据交通法规，某路段限制车辆最高时速不得超过100千米/小时，现有一辆运货卡车在该路段上以每小时x千米的速度匀速行驶130千米.假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元.

(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；

(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.

解　(1)由题意，y＝2·＋14·＝＋(0<x≤100).

(2)因为y＝＋≥2＝26，当且仅当x＝18时，等号成立，

又0<18<100，

所以当x＝18千米/小时时，这次行车的总费用最低，为26元.

三、创新拓展

14.一家商店使用一架两臂不等长的天平秤黄金，一位顾客到店里购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次秤得的黄金交给顾客，你认为顾客购得的黄金是(　　)

A.大于10 g   B.大于等于10 g

C.小于10 g   D.小于等于10 g

答案　A

解析　由于天平两臂不等长，

可设天平左臂长为a(a>0)，右臂长为b(b>0)，则a≠b，

再设先称得黄金为x g，后称得黄金为y g，则bx＝5a，ay＝5b，

∴x＝，y＝，

∴x＋y＝＋＝5

≥5×2＝10，

当且仅当＝，即a＝b时等号成立，但a≠b，等号不成立，即x＋y>10，

因此，顾客购得的黄金大于10 g.