人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制课前预习课件ppt

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5.1.2　弧度制课标要求　1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.素养要求　1.借助单位圆建立弧度制的概念，体会引入弧度制的必要性，重点提升学生的数学抽象素养.2.应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式解决相关问题，重点提升数学运算、逻辑推理素养.一、角度制与弧度制1.问题　在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？在给定半径的圆中，弧长一定时，圆心角确定吗？提示　1度角等于周角的.圆心角是确定的.2.问题　“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？提示　与圆的半径大小无关，是一个定值.3.填空　(1)度量角的两种单位制角度制定义用度作为单位来度量角的单位制1度的角周角的为1度的角，记作1°弧度制定义以弧度为单位来度量角的单位制1弧度的角长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1 rad(2)角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝值是|α|＝.(3)一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.温馨提醒　角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，例如α＝k·360°＋(k∈Z)，β＝2kπ＋60°(k∈Z)等写法都是不规范的.4.做一做　(多选)下列命题中，正确的是(　　)A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.1°的角是周角的，1 rad的角是周角的C.1 rad的角比1°的角要大D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关答案　ABC二、角度制与弧度制的换算1.思考　角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？提示　根据π rad＝180°进行换算.2.填空　角度制与弧度制的换算 角度化弧度弧度化角度360°＝2π__rad2π rad＝360°180°＝π__radπ rad＝180°1°＝__rad≈0.017 45 rad1 rad＝°≈57.30°度数×＝弧度数弧度数×°＝度数3.填空　一些特殊角的度数与弧度数的对应关系度0°1°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0π2π三、扇形的弧长及面积公式1.问题　初中所学的扇形的弧长、面积分别是什么？提示　弧长l＝，面积S＝.2.填空　设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则度量单位类别α为角度制α为弧度制扇形的弧长l＝l＝α·R扇形的面积S＝S＝l·R＝α·R2温馨提醒　在应用扇形面积公式S＝αR2时，要注意α的单位是“弧度”.3.做一做　已知半径为1的扇形面积为π，则扇形的圆心角为________.答案　解析　由S＝αr2得＝×α×12，所以α＝.4.思考辨析　正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.(1)1弧度就是1°的圆心角所对的弧.(×)(2)“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关.(√)(3)160°化为弧度制是π rad.(√)(4)扇形的半径为1 cm，圆心角为30°，则扇形的弧长l＝r|α|＝1×30＝30(cm).(×)题型一　角度与弧度的互化例1 将下列角度与弧度进行互化：(1)20°；(2)－800°；(3)；(4)－π.解　(1)20°＝20×＝；(2)－800°＝－800×＝－π；(3)＝×°＝105°；(4)－π＝－π×°＝－144°.思维升华　1.在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×°＝度数.2.互化时注意两点：(1)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.(2)角度化为弧度时，其结果写成π的形式，没特殊要求不必化成小数.训练1 已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝π，试比较它们的大小.解　α＝15°＝15×＝，θ＝105°＝105×＝，∵<<1<，∴α<β<γ<θ＝φ.题型二　用弧度制表示角的集合例2 已知角α＝2 010°.(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角.解　(1)2 010°＝2 010×＝＝5×2π＋，又π<<，∴α与终边相同，是第三象限角.(2)与α终边相同的角可以写成γ＝＋2kπ(k∈Z)，又－5π≤γ<0，∴当k＝－3时，γ＝－π；当k＝－2时，γ＝－π；当k＝－1时，γ＝－π.思维升华　1.在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍.2.注意两点：(1)角度制与弧度制不能混用；(2)k∈Z切莫遗漏.训练2 (1)用弧度制表示与120°角终边相同的角α的集合为(　　)A.B.C.D.(2)用弧度制表示终边落在如图所示的阴影部分内(包括边界)的角θ的集合为________.答案　(1)D(2)解析　(1)120°＝120×＝，故与120°角终边相同的角的集合为.(2)终边落在射线OA上的角为θ＝135°＋k·360°，k∈Z，即θ＝＋2kπ，k∈Z.终边落在射线OB上的角为θ＝－30°＋k·360°，k∈Z，即θ＝－＋2kπ，k∈Z，故终边落在阴影部分内(包括边界)的角θ的集合为.题型三　弧长公式与面积公式的应用例3 已知扇形的周长是10 cm，面积是4 cm2，求扇形圆心角的弧度数.解　设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为R cm，依题意有整理得R2－5R＋4＝0，解得R1＝1，R2＝4.当R＝1时，l＝8，此时，θ＝8 rad>2π rad，舍去.当R＝4时，l＝2，此时θ＝＝(rad).综上可知，扇形圆心角的弧度数为 rad.迁移 已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？解　设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S，则l＋2r＝4，所以l＝4－2r，所以S＝l·r＝×(4－2r)×r＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，所以当r＝1时，S最大，且Smax＝1，因此，θ＝＝＝2(rad).思维升华　扇形的弧长和面积的求解策略(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝lR＝αR2.(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.训练3 如图所示，十字形公路的交叉处围成扇形，某市规划拟在这块扇形土地上修建一个圆形广场.已知∠AOB＝60°，的长度为100π m.怎样设计能使广场的占地面积最大？其值是多少？解　如图所示，∵∠AOB＝60°＝，的长度为100π m，∴OA＝＝300(m).根据题意可知，当⊙O1是扇形AOB内切圆时，广场的占地面积最大，设⊙O1与OA切于C点，连接O1O，O1C.则∠O1OC＝30°＝，OO1＝OA－O1C＝300－O1C.又O1C＝O1O·sin ，故O1C＝(300－O1C)×，解得O1C＝100 m.这时⊙O1的面积为π×1002＝10 000 π(m2).[课堂小结]1.角度制与弧度制互化的原则是应用180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝°进行换算.2.利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度，根据具体的条件选用公式，涉及最值问题往往转化为二次函数的最值问题.一、基础达标1.角终边所在的象限是(　　)A.第一象限    B.第二象限C.第三象限   D.第四象限答案　A解析　π＝2π＋，是第一象限角，故是第一象限角.2.在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为(　　)A.   B.  C.   D.答案　A解析　∵240°＝×240＝π，∴240°的圆心角所对弧长为l＝π×10＝π.3.(多选)下列转化结果正确的是(　　)A.67°30′化成弧度是B.－化成角度是－600°C.－150°化成弧度是－D.化成角度是15°答案　ABD解析　－150°＝－150×＝－，只有选项C错误，其余选项全部正确.4.(多选)已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，下列对该扇形性质的描述可能正确的是(　　)A.扇形所在圆的半径为2 cmB.扇形所在圆的半径为1 cmC.扇形所在圆的圆心角的弧度数是1D.扇形所在圆的圆心角的弧度数是2答案　ABC解析　设扇形所在圆的半径为r，圆心角的弧度数为α，则由题意得解得或则圆心角的弧度是4或1.故选ABC.5.集合中角所表示的范围(阴影部分)是(　　)答案　C解析　k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y＝x左上部分(包含边界)，k为奇数时集合对应的区域为第三象限内直线y＝x的右下部分(包含边界).6.若θ＝－5，则角θ的终边在第________象限.答案　一解析　2π－5与－5的终边相同，∵2π－5∈，∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角.7.周长为9，圆心角为1 rad的扇形面积为________.答案　解析　设扇形的半径为r，弧长为l，由题意可知所以所以S＝lr＝.8.如图，扇形AOB的面积是1，它的弧长是2，则扇形的圆心角α的弧度数为________.答案　2解析　由扇形面积公式S＝lr＝l·＝，知1＝，所以α＝2.9.已知α＝1 690°.(1)把角α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0，2π))的形式；(2)求角θ，使角θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π).解　(1)1 690°＝1 440°＋250°＝4×360°＋250°＝4×2π＋π.(2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2kπ＋π(k∈Z).又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2kπ＋π<4π，∴－<k<(k∈Z)，∴k＝－2，－1，0，1.∴θ的值是－π，－π，π，π.10.已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；(1)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.解　(1)⊙O的半径r＝10＝AB，知△AOB是等边三角形，∴α＝∠AOB＝60°＝.(2)由(1)可知α＝，r＝10，∴弧长l＝α·r＝×10＝，∴S扇形＝lr＝××10＝，又S△AOB＝·AB·AB＝×10×5＝25，∴S＝S扇形－S△AOB＝－25.二、能力提升11.若角α与角x＋有相同的终边，角β与角x－有相同的终边，那么α与β间的关系为(　　)A.α＋β＝0B.α－β＝0C.α＋β＝2kπ(k∈Z)D.α－β＝2kπ＋(k∈Z)答案　D解析　因为α＝x＋＋2k1π(k1∈Z)，β＝x－＋2k2π(k2∈Z)，所以α－β＝＋2(k1－k2)π(k1∈Z，k2∈Z).因为k1∈Z，k2∈Z，所以k1－k2∈Z.所以α－β＝＋2kπ(k∈Z).12.扇形圆心角为，半径为a，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为________.答案　2∶3解析　如图，设内切圆半径为r，则r＝，所以S圆＝π·＝，S扇＝a2·＝，所以＝.13.已知扇形的圆心角为α，半径为r.(1)若扇形的周长是定值C(C>0)，求扇形的最大面积及此时α的值；(2)若扇形的面积是定值S(S>0)，求扇形的最小周长及此时α的值.解　(1)由题意，可得2r＋αr＝C，则αr＝C－2r，得扇形面积S＝αr2＝(C－2r)r＝－r2＋Cr，故当r＝C时，S取得最大值C2，此时α＝－2＝2.(2)由题意，可得S＝αr2，则αr＝，得扇形周长C＝2r＋αr＝2r＋≥4，当且仅当2r＝，即r＝时取等号，即r＝时，C取得最小值4，此时α＝＝2.三、创新拓展14.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是________ m2(精确到1 m2).答案　9解析　＝120°，根据题意得，弦＝2×4sin ＝4(m)，矢＝4－2＝2(m)，因此弧田面积＝×(弦×矢＋矢2)＝×(4×2＋22)＝4＋2≈9(m2).