数学必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换课堂教学课件ppt

5.5.2　简单的三角恒等变换

课标要求　1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想.2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明.

素养要求　在对公式的推导和应用过程中，发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.

一、半角公式

1.问题　我们知道在倍角公式中，“倍角是相对的”，对余弦的二倍角公式，思考下面问题：

(1)如何用cos 2α表示sin2α，cos2α，tan2α？提示　sin2α＝(1－cos 2α)，cos2α＝(1＋cos 2α)，tan2α＝.

(2)如何用cos α表示sin2，cos2，tan2？

提示　在上述问题(1)中，以角“”代替“α”，可得sin2＝(1－cos α)，cos2＝(1＋cos α)，tan2＝.

(3)利用tan α＝和倍角公式又能得到tan 与sin α，cos α怎样的关系？

提示　tan ＝＝.

2.填空　半角公式

sin＝±，

cos＝±，

tan＝±(无理形式).

以上称之为半角公式，符号由所在的象限决定.另tan＝＝.

3.做一做　(1)若<α<π，且cos α＝－，则sin ＝________.

答案　

解析　∵<α<π，知<<，则sin >0，

∵sin2＝(1－cos α)＝，

∴sin ＝.

(2)已知sin α＝，cos α＝，则tan＝________.

答案　－2

解析　tan ＝＝＝－2.

4.思考辨析　正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.

(1)sin 15°＝±.(×)

(2)对于∀α∈R，sin＝sin α都不成立.(×)

(3)存在x∈R，使得cos ＝cos α.(√)

(4)若5π<θ<6π，cos＝a，则cos＝.(×)

二、辅助角公式

1.问题　(1)利用和差角的正弦公式，如何化简三角函数式sin α＋cos α？

提示　sin α＋cos α＝sin.

(2)asin x＋bcos x的化简结果是什么？

提示　asin x＋bcos x＝sin(x＋θ).

2.填空　asin x＋bcos x＝sin(x＋φ).其中tan φ＝，φ所在象限由a和b的符号确定.

温馨提醒　asin x＋bcos x＝cos(x－θ)也是常用的化简形式.

3.做一做　函数f(x)＝5cos x＋12sin x的最小值为________.

答案　－13

解析　f(x)＝13

＝13sin(x＋φ)，

∴f(x)min＝－13.

题型一　利用半角公式求值

例1 已知sin α＝－，π<α<，求sin ，cos ，tan 的值.

解　∵π<α<，sin α＝－，

∴cos α＝－，且<<，

∴sin ＝＝，

cos ＝－＝－，

tan ＝＝－2.

思维升华　1.已知θ的某个三角函数值，求关于的三角函数值的步骤：

(1)根据θ的取值范围，利用同角三角函数的基本关系式求得θ的其他三角函数值；

(2)注意的取值范围，代入半角公式计算.

2.注意公式的选取：涉及半角公式的正切值时，常用tan＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算.

训练1 已知cos α＝，且α是第四象限角，则tan ＝________.

答案　－

解析　∵cos α＝，且α是第四象限角，

∴sin α＝－＝－，

则tan ＝＝＝－.

题型二　三角函数式的化简、证明

例2 化简：(－π<α<0).

解　原式＝

＝

＝＝.

因为－π<α<0，所以－<<0,

所以sin<0，

所以原式＝＝cos α.

思维升华　1.观察分析三角函数式中的各角的联系(互余或互补)，可以利用诱导公式变角和变名，对三角函数式进行化简.

2.观察三角函数式的名称和结构，灵活对公式进行正用、逆用或变形用.

3.本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到化简与证明的目的.

训练2 求证：tan －tan ＝.

证明　左边＝－

＝

＝＝

＝

＝＝右边.

∴原等式成立.

题型三　辅助角公式的应用

例3 已知函数f(x)＝sin＋2sin2(x∈R).

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.

解　(1)∵f(x)＝sin＋2sin2

＝sin＋1－cos

＝2＋1

＝2sin＋1

＝2sin＋1，

∴f(x)的最小正周期为T＝＝π.

(2)当f(x)取得最大值时，sin＝1，

有2x－＝2kπ＋(k∈Z)，

即x＝kπ＋(k∈Z)，

∴所求x的集合为.

思维升华　(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角恒等变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.

(2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障.

训练3 已知函数f(x)＝sin－cos.

(1)求出f(x)的单调区间；

(2)求f(x)在上的值域.

解　(1)f(x)＝2

＝2sin＝2sin 2x.

由2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，

得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z).

由2kπ＋≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，

得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z).

综上，f(x)的单调递增区间为(k∈Z).

单调递减区间为(k∈Z).

(2)由(1)知f(x)＝2sin 2x，

因为－≤x≤，

所以－≤2x≤，

所以－≤2sin 2x≤2，

所以函数f(x)在上的值域为[－，2].

[课堂小结]

1.三角恒等变换的三个原则：

(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的组合，拆分，从而正确使用公式.

(2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式.

(3)三看“结构特征”，通过分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“通分”“因式分解”“配方”“巧妙地应用1进行代换”等.

2.辅助角公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)(ab≠0，其中tan φ＝)的作用是把三角函数式化为一个角的三角函数.运用该公式可以更方便地研究三角函数的图象和性质.

一、基础达标

1.已知sin θ＝－，3π<θ<π，则tan的值为(　　)

A.3   B.－3 

C.   D.－

答案　B

解析　∵3π<θ<，sin θ＝－，

∴cos θ＝－，tan＝＝－3.

2.函数y＝3sin 4x＋cos 4x的最大值是(　　)

A.   B.2 

C.3   D.6

答案　B

解析　y＝3sin 4x＋cos 4x

＝2

＝2sin，

∴ymax＝2.

3.已知sin 2α＝，则cos2＝(　　)

A.－   B.－

C.   D.

答案　D

解析　cos2＝

＝＝＝.

4.在△ABC中，若sin Asin B＝cos2，则△ABC是(　　)

A.等边三角形   B.等腰三角形

C.不等边三角形  D.直角三角形

答案　B

解析　sin Asin B＝(1＋cos C)，

即2sin Asin B＝1＋cos C

＝1－cos(A＋B)，

∴2sin Asin B＝1－cos Acos B＋sin Asin B，

故得cos(A－B)＝1，

又因为A－B∈(－π，π)，

∴A－B＝0，即A＝B，则△ABC是等腰三角形.

5.若cos α＝－，α是第三象限角，则等于(　　)

A.－   B. 

C.2   D.－2

答案　A

解析　∵α是第三象限角，cos α＝－，

∴sin α＝－，

∴tan ＝＝＝－3，

∴＝＝－.

6.若3sin x－cos x＝2sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________.

答案　－

解析　因为3sin x－cos x＝2

＝2sin，

所以φ＝－＋2kπ，k∈Z.

因为φ∈(－π，π)，所以φ＝－.

7.若θ是第二象限角，且25sin2θ＋sin θ－24＝0，则cos ＝________.

答案　±

解析　由25sin2θ＋sin θ－24＝0，且θ是第二象限角，

得sin θ＝或sin θ＝－1(舍去)，

故cos θ＝－＝－.

由cos2＝，得cos2＝.

又是第一、三象限角，所以cos ＝±.

8.“2sin x＝cos x＋1”是“tan ＝”成立的________条件.

答案　必要不充分

解析　由tan ＝，得＝，

则2sin x＝1＋cos x成立，所以必要性成立.

当x＝π时，满足2sin x＝cos x＋1，

但tan 无意义，即充分性不成立，

则“2sin x＝cos x＋1”是“tan ＝”成立的必要不充分条件.

9.设α∈，化简：.

解　∵α∈，∈，

∴cos α>0，cos <0，

故原式＝＝

＝＝＝－cos.

10.已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R).

(1)求f的值；

(2)求f(x)的最小正周期及函数f(x)取得最大值时x的集合.

解　(1)f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x

＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin，

则f＝－2sin＝2.

(2)f(x)的最小正周期为π.

当f(x)取得最大值时，

sin＝－1，

有2x＋＝2kπ－(k∈Z)，

即x＝kπ－(k∈Z)，

所以所求x的集合为.

二、能力提升

11.(多选)下列关于函数f(x)＝1－2sin2的说法正确的是(　　)

A.f(x)的最小正周期为π

B.f(x)的最大值为1，最小值为－1

C.f(x)的图象关于直线x＝0对称

D.f(x)的图象关于点对称

答案　ABD

解析　因为f(x)＝1－2sin2

＝cos＝sin 2x，

所以f(x)的最小正周期为π，最大值为1，最小值为－1，故A，B正确；

由2x＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，

故f(x)的图象关于x＝＋，k∈Z对称，C错误；

又f＝sin＝0，知D正确.

12.设函数f(x)＝2cos2x＋sin 2x＋a(a为实常数)在区间上的最小值为－4，那么a的值是________.

答案　－4

解析　f(x)＝2cos2x＋sin 2x＋a

＝1＋cos 2x＋sin 2x＋a

＝2sin＋a＋1.

当x∈时，2x＋∈，

∴f(x)min＝2×＋a＋1＝－4，

∴a＝－4.

13.已知函数f(x)＝sin＋2cos2x－1.

(1)求函数f(x)的最大值及其相应x的取值集合；

(2)若<α<且f(α)＝，求cos 2α的值.

解　(1)因为f(x)＝sin＋2cos2x－1

＝sin 2x·cos －cos 2x·sin ＋cos 2x

＝sin 2x＋cos 2x＝sin，

所以当2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，

即x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)max＝1.

其相应x的取值集合为.

(2)由题意可知f(α)＝sin＝.

因为<α<，所以<2α＋<，

所以cos＝－.

因此cos 2α＝cos

＝cos·cos ＋sin·sin

＝×＋×＝.

三、创新拓展

14.如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为20 m.

(1)如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？最大值是多少？

(2)沿着AB，BC，CD修一条步行小路从A到D，如何选择A，D位置，使步行小路的距离最远？

解　(1)连接OB，如图所示，设∠AOB＝θ，

则AB＝OBsin θ＝20sin θ，OA＝OBcosθ＝20cos θ，且θ∈.

因为A，D关于点O对称，所以AD＝2OA＝40cos θ.

设矩形ABCD的面积为S，则

S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ.

因为θ∈，

所以当sin 2θ＝1，即θ＝时，

Smax＝400(m2).

此时AO＝DO＝10(m).

故当A，D距离圆心O为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2.

(2)由(1)知AB＝20sin θ，AD＝40cos θ，

所以AB＋BC＋CD＝40sin θ＋40cos θ

＝40sin，

又θ∈，所以θ＋∈，

当θ＋＝，即θ＝时，

(AB＋BC＋CD)max＝40，

此时AO＝DO＝10，

即当A，D距离圆心O为10 m时，步行小路的距离最远.