【最新版】高中数学（新教材人教版）必修第一册培优课　指数(对数)型函数的综合问题【习题+课件】

培优课　指数(对数)型函数的综合问题

与指数(对数)型函数有关的复合函数，主要是指数函数、对数函数与一次函数、二次函数复合成的新函数，求新函数的单调性、奇偶性、最值、值域等问题，一般采用换元思想，把复杂的复合函数化成简单的初等函数.

类型一　指数(对数)型函数的单调性

例1 函数f(x)＝2的单调递增区间为(　　)

A.(－∞，2]   B.[1，2]

C.[2，3]   D.[2，＋∞)

答案　B

解析　令g(x)＝，

因为f(x)＝2g(x)在定义域上为增函数，

所以只需求g(x)＝的单调递增区间即可，

令h(x)＝－x2＋4x－3，

由二次函数单调性及二次根式有意义的条件可知1≤x≤2，

故f(x)＝2的单调递增区间为[1，2].

例2 求函数y＝log(x2－3x＋5)的单调区间.

解　由于方程x2－3x＋5＝0的判别式Δ＝(－3)2－4×5＝－11<0，

∴x2－3x＋5>0恒成立，即函数的定义域为R.

令u(x)＝x2－3x＋5，

当x∈时，u(x)单调递减，

当x∈时，u(x)单调递增.

又y＝logu为减函数，

∴y＝log(x2－3x＋5)在上单调递增，在上单调递减.

综上，函数y＝log(x2－3x＋5)的单调递增区间为，单调递减区间为.

类型二　已知复合函数的单调性求参数范围

例3 已知函数f(x)＝loga(ax2－2x＋5)(a>0，且a≠1)在区间上单调递增，则a的取值范围为(　　)

A.∪[2，＋∞)   B.∪(1，2]

C.∪[2，＋∞)   D.∪(1，2]

答案　C

解析　当0<a<1时，由复合函数单调性知函数u＝ax2－2x＋5在上单调递减且u>0恒成立.

所以解得≤a≤.

当a>1时，由复合函数单调性知函数u＝ax2－2x＋5在上单调递增且u>0恒成立，

所以解得a≥2.

综上，a的取值范围为∪[2，＋∞).

类型三　与函数有关的恒成立问题

例4 已知函数f(x)＝log2是奇函数，a∈R.

(1)求a的值；

(2)对任意的x∈(－∞，0)，不等式f(2x＋1)>log2(m－2x)恒成立，求实数m的取值范围.

解　(1)法一　令＋1>0，则>0.

∴x<－a－1或x>－a.

∵f(x)是奇函数，∴其定义域关于原点对称，

∴－a－1－a＝0，∴a＝－.

此时，f(x)＝log2＝log2，

则f(－x)＋f(x)＝log2＋log2＝0，

∴f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数.

因此a＝－.

法二　f(x)＝log2＝log2，

则>0，解得：A＝{x|x<－a－1或x>－a}，

因为f(x)是奇函数，故∀x∈A，f(－x)＝－f(x)，

即log2＝－log2＝log2，

所以＝，

即(1＋a)2－x2＝a2－x2，

解得a＝－.

(2)f(2x＋1)>log2(m－2x)，

即log2>log2(m－2x)，

整理得m<2x＋＋＋，

令u＝2x＋，x∈(－∞，0)，

所以u∈，令g(u)＝u＋＋.

易知g(u)≥，

当u＝1时取等号，所以m<，

又由m－2x>0，即m>2x，故m≥1，

所以m的取值范围是.

类型四　指(对)数型函数的综合应用

例5 已知函数f(x)＝ln(ax2＋2x＋1).

(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；

(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.

解　(1)由f(x)的定义域为R，

得ax2＋2x＋1>0恒成立，

当a＝0时，2x＋1>0，x>－，不符合题意；

当a≠0时，

由得a>1.

即实数a的取值范围为(1，＋∞).

(2)因为f(x)的值域为R，

所以{y|y＝ax2＋2x＋1}⊇(0，＋∞)，

(也可以说y＝ax2＋2x＋1取遍一切正数)

①当a＝0时，y＝2x＋1可以取遍一切正数，符合题意；

②当a≠0时，需即0<a≤1.

综上，实数a的取值范围为[0，1].

例6 定义在R上的函数f(x)＝4x－m·2x＋1＋m2－3.

(1)当m＝1时，解不等式f(x)>1；

(2)若在R上存在x0使得f(－x0)＝－f(x0)成立，求实数m的取值.

解　(1)当m＝1时，f(x)＝4x－2x＋1－2.

由f(x)>1得(2x)2－2·2x－3>0，

则(2x－3)>0，得2x>3，得x>log23，

故不等式的解集为(log23，＋∞).

(2)∵f(－x)＝4－x－m·2－x＋1＋m2－3，

由f(－x)＝－f(x)，

得4－x－m·2－x＋1＋m2－3＝－(4x－m·2x＋1＋m2－3)，

于是4x＋4－x－2m(2x＋2－x)＋2(m2－3)＝0①在R上有解，

令t＝2x＋2－x(t≥2)，则4x＋4－x＝t2－2，

∴方程①变为t2－2mt＋2m2－8＝0在区间[2，＋∞)内有解，

令g(t)＝t2－2mt＋2m2－8，由题意需满足以下条件：

g(2)≤0或

则m2－2m－2≤0或

得1－≤m≤1＋

或

解得1－≤m≤1＋或1＋≤m≤2，

综上1－≤m≤2，

故实数m的取值范围是[1－，2].