2021-2022学年江苏省南通市如皋市高二上学期教学质量调研（二）数学试题（解析版）

2021-2022学年江苏省南通市如皋市高二上学期教学质量调研（二）数学试题

一、单选题

1．若空间向量，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据空间向量的运算法则进行求解.

【详解】解：，

.

故选：D

2．已知双曲线两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为（       ）

A．2 B． C．或2 D．或2

【答案】C

【分析】利用两条渐近线的夹角得到的值，再利用的关系即可求得结果，需注意两条渐近线的夹角有两种情况.

【详解】   

如图所示，两条渐近线的夹角为有两种情况，可得渐近线与轴的夹角为或，

所以，或，又，

可求得或2.

故选：C

3．在等比数列{}中，已知，，则的值为（       ）

A． B．－ C．或6 D．－或1

【答案】C

【分析】由等比数列通项公式、前n项和有，即可求基本量.

【详解】由，可得或.

故选：C

4．已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（       ）

A．（－3，1） B．（－3，5）

C．（4，5） D．

【答案】A

【分析】由方程表示椭圆，结合椭圆的性质有，即可求m范围.

【详解】由题设，，可得.

故选：A

5．如图所示，一只装有半杯水的圆柱形水杯，将其倾斜使杯底与水平桌面成，此时杯内水面成椭圆形，此椭圆的离心率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题干条件作出辅助线，求出，即，进而求出离心率.

【详解】如图，由题意得：∠BAC=30°，，，且AC=DE，则在直角三角形ABC中，，所以，所以此椭圆的离心率.

故选：C

6．一百零八塔位于宁夏青铜峡市，是中国现有的最大喇嘛式实心塔群.塔群随山势凿石分阶而建，每一层的塔数按1，3，3，5，5，7，9，11，.……的奇数排列，去除第三层和第四层，剩下的各层塔数依次构成等差数列，则一百零八塔共有的层数为（       ）

A．10 B．11 C．12 D．13

【答案】C

【分析】由题设写出每一层的塔数的通项公式，再应用等差数列前n项和公式有求n，进而可得一百零八塔共有的层数.

【详解】由题设，除去第三层和第四层，剩下的各层塔数为首项为1，公差为2的等差数列，

所以，则，故，

所以一百零八塔共有的层数为.

故选：C

7．已知直线l：与抛物线C：交于A，B两点，点在抛物线C上，且，，则实数m值为（       ）

A．3 B．－3 C．0 D．0或3

【答案】A

【分析】由题知，进而设，联立方程，结合韦达定理解方程且满足即可.

【详解】解：因为点在抛物线C上，所以，

设，联立方程得，

所以，即，，

所以，，

所以，

因为，所以，

所以，解得或

当时，，舍去；当时，满足条件.

所以.

故选：A

8．已知数列的通项为，记为数列中满足的项的个数，则数列的前项和为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】分析可知当时，，当时，，利用错位相减法求得数列的前项和.

【详解】当时，由可得，此时，

当时，由可得，而，

所以，的整数部分为，此时，

所以，数列的前项的和为

，

令，则，

所以，，

因此，数列的前项的和为.

故选：B.

二、多选题

9．在正方体ABCD－中，E为的中点，则下列结论中正确的是（       ）

A．BD∥平面

B．直线与平面所成角的正弦值为

C．直线与所成的角为

D．平面截正方体所得截面为梯形

【答案】BD

【分析】若为中点，连接，易得直线与所成的角为，设正方体棱长应用余弦定理求大小判断C；由等体积法有求到面距离，即可得直线与平面所成角的正弦值判断B；由正方体性质知共面，即可判断D；由的关系知延长线必交于一点，即可判断A.

【详解】若为中点，连接，又E为的中点，则，

所以直线与所成的角为，若正方体棱长为2，

则，，，则，，

所以，C错误；

由，若到面距离为，而，

所以，故，又，

则直线与平面所成角的正弦值为，B正确；

又，则，故共面，即面截正方体的截面为梯形，D正确；

由且，则将延长必交于一点，而面，即直线与面必交于一点，A错误；

故选：BD

10．已知数列{}为等比数列，下列结论正确的是（       ）

A．数列为等比数列

B．数列为等比数列

C．数列为等差数列

D．数列为等差数列

【答案】BCD

【分析】根据等比数列的定义和等差数列的定义或通项公式判断，结合对数运算依次判断即可．注意等比数列的所有项不能为0．

【详解】解：设等比数列{}的公比为，

对于A选项，当时，，故错误；

对于B选项， ，,是等比数列，故正确；

对于C选项，，是等差数列，故正确；

对于D选项，，是等差数列，故正确.

故选：BCD．

11．已知数列{}满足，，下列结论正确的是（       ）

A． B．，，成等差数列

C． D．

【答案】AB

【分析】赋值法求解A选项，根据得到，两式相加即可得到证明；C选项，利用构造法得到是等比数列，从而得到通项公式；D选项，在C选项基础上，用分组求和及等比数列求和公式进行求解.

【详解】令得：①，令得：②，①＋②得：，A正确；

由得：，两式相加得：，所以，，成等差数列，B正确；

，故，所以，所以是首项为为首项，为公比的等比数列，所以，所以，C错误；

因为，所以，D错误.

故选：AB

12．2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo.设计师的灵感来源于曲线C：.其中星形线E：常用于超轻材料的设计.则下列关于星形线说法正确的是（       ）

A．E关于y轴对称

B．E上的点到x轴、y轴的距离之积不超过

C．E上的点到原点距离的最小值为

D．曲线E所围成图形的面积小于2

【答案】ABD

【分析】A由、均在曲线上即可判断；B应用基本不等式即可判断；C由，结合立方和公式及B的结论即可判断；D根据与图形的位置关系判断.

【详解】若在星形线E上，则也在E上，故E关于y轴对称，A正确；

由，则当且仅当时等号成立，B正确；

由，当且仅当时等号成立，故E上的点到原点距离的最小值为，C错误；

曲线E过，，由，则在所围成的区域内部，而所围成的面积为2，故曲线E所围成图形的面积小于2，D正确.

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：应用基本不等式有，由及立方和公式求两点距离，利用与图形的位置判断面积大小.

三、填空题

13．空间向量，，若，则的值是___________．

【答案】

【分析】由，可得存在实数使得，即可得出．

【详解】解：∵，∴存在实数使得，

∴，解得，，．

，．

．

故答案为：.

14．已知集合{a，b，－2}（，）中的三个实数，按一定顺序排列后可以排成一个等差数列和一个等比数列，则___________.

【答案】5

【分析】根据等比中项和等差中项列出方程，求出的值，进而求出答案.

【详解】因为，，所以是a与b的等比中项，所以，若，则b为a与-2的等差中项，有，解得：（舍去）或4，此时b=1，；若，a是b与-2的等差中项，所以，解得：（舍去）或4，此时a=1，，综上：

故答案为：5

15．已知等轴双曲线C的中心为O，焦点为、，若双曲线C上一点P满足：，，则＝________.

【答案】

【分析】根据双曲线的定义求出a、b、c，求出、，设P为(x，y)，根据，解出P点坐标，根据两点间距离公式即可求﹒

【详解】，∴，，

，，

设P(x，y)，则①，②，

由①②解得，，

.

故答案为：.

16．如下图所示：一个正三角形被分成四个全等的小正三角形，将其中间小正三角形挖去如图（1）；再将剩余的每一个正三角形都分成四个全等的小正三角形，并将中间的小正三角形挖去，得到图（2）……如此继续下去，设原正三角形边长为4，则第5张图中被挖掉的所有正三角形面积的和为_________.

【答案】

【分析】设第次挖去的正三角形个数为，对应的每一个正三角形面积为，进而得第次挖去的正三角形总面积为，进而根据题意得，，，再求的前项和即可.

【详解】解：设第次挖去的正三角形个数为，对应的每一个正三角形面积为，

所以第次挖去的正三角形总面积为，

由题知，，即为等比数列，公比为，首项为，

所以；

设原正三角形的面积为，由于原正三角形边长为4，故.

由题知，，即为等比数列，公比为，首项为，

所以，

所以，

由于，故为等比数列，

所以的前项和为，

所以当时，图中被挖掉的所有正三角形面积的和为

故答案为：

四、解答题

17．已知为等差数列{}前n项和，满足，.

(1)求；

(2)若，若数列{}的前n项的和为，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接求出首项和公差，再写出数列{}的通项公式即可；

（2）写出数列{}的通项公式，由等差数列求和公式求和即可.

【详解】(1)设等差数列{}公差为，则由，得，解得，

故.

(2)，，

故数列{}是以3为首项，2为公差的等差数列，

则.

18．如图，在平行六面体ABCD－中，所有棱长均为，底面ABCD为正方形，且顶点在底面上的射影为正方形ABCD的中心.

(1)求直线与直线所成角的余弦值；

(2)直线与平面所成角的余弦值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）建系后转化为两个直线的方向向量的余弦值的绝对值；

（2）线面角的正弦值，转化为直线与平面法向量的夹角的余弦值的绝对值，进而利用同角三角函数基本关系式求出线面角的余弦值.

【详解】(1)

如图所示，记交点为O，以方向为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

所以，

所以.

故直线与直线所成角的余弦值为.

(2)， ，，假设平面的一个法向量为

则有：

令，得 ，

所以，

与平面所成角的正弦值，

故与平面所成角的余弦值= =.

19．已知椭圆E：的离心率为，且点（1，）在椭圆E上，A为椭圆E的右顶点，O为坐标原点，过点A的直线l与椭圆E的另外一个交点为P，线段PA的中点为M.

(1)若直线l的方程为，求直线OM的斜率；

(2)若，求三角形OPM的面积.

【答案】(1)；

(2)三角形OPM的面积为

【分析】（1）根据离心率与点（1，）得到方程组，求出，得到椭圆方程，进而联立求出的坐标，得到直线OM的斜率；（2）设出直线方程，联立后得到两根之和，进而表达出的坐标，利用得到，从而求出的坐标，PM的长，利用点到直线距离公式求出高，进而求出三角形面积

【详解】(1)由离心率可得：，又，，解得：，所以椭圆方程为，则，将与椭圆方程联立得：，设，则，所以，所以，设，则有，，所以直线OM的斜率为；

(2)设直线l的方程为，则联立椭圆方程得：，设，则，则，则，则，则，解得：或（舍去），所以，当时，此时，直线为，所以，点O到直线l的距离为，则三角形OPM的面积为，同理，当时，求得三角形OPM的面积为，综上：三角形OPM的面积为

20．已知为数列{}前n项和，满足，.

(1)求；

(2)若，数列{}的前n项的和为，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用进行求解通项公式；（2）先求出数列{}的通项公式，进而利用错位相减法求和.

【详解】(1)因为，所以当时，，两式相减得：，又当时，，解得：，不满足，所以当时，数列{}是公比是2的等比数列，所以，综上：；

(2)当时，，所以①，则②，②－①得：

21．如图，在四棱锥中，SA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB⊥BC，且SA=AB=BC=2AD=2，M是AB的中点.

(1)求平面SAB与平面SCD所成二面角的余弦值；

(2)直线SD上是否存在点N使得SM⊥CN，若存在，指出点N的位置；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)；

(2)存在，N在延长线上且是线段靠近N的三等分点.

【分析】（1）由线面垂直的性质及已知有两两垂直，构建空间直角坐标系，确定相关点坐标，进而求面SAB、面SCD的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求二面角的余弦值.

（2）由（1）所得空间直角坐标系，设并确定、的坐标，根据向量垂直关系的坐标表示求N坐标，结合坐标系即可确定N的位置.

【详解】(1)由SA⊥平面ABCD，面，则，，又AB⊥AD，

所以两两垂直，

则可构建以为原点，为x、y、z轴的空间直角坐标系，如下图示，

则，，，故，，

若为面的一个法向量，则，令则，

又是面的一个法向量，若面SAB与面SCD所成二面角为，

所以，故锐二面角的余弦值为.

(2)由（1）知：，则，

由SA⊥平面ABCD，面，则面面ABCD，

又面且N是直线上一点，设，则，

若SM⊥CN，则，可得，此时，

由，则，即.

所以直线SD上存在N使得SM⊥CN，且N在延长线上，是线段靠近N的三等分点.

22．已知曲线E上的点到的距离比它到直线的距离小1.

(1)求曲线E的方程；

(2)若直线l经过点F，与曲线相交于A，B两点，与直线相交于点C，已知点，设直线PA，PB，PC的斜率分别为，，，求证：为定值，并求出该定值.

【答案】(1)；

(2)证明见解析，.

【分析】（1）利用两点距离公式有，讨论x范围求曲线E的方程；

（2）由题意令，联立抛物线方程应用韦达定理求、、等关于k的表达式，再结合斜率的两点式化简，即可证结论.

【详解】(1)由题设，令曲线E上的点为，则，

当时，，整理得且，满足前提；

当时，，整理得且，不满足前提；

所以曲线E的方程为.

(2)由题设，直线l的斜率必存在且不为0，设，则，

联立，整理可得：，则，，

所以，

又，，且，，，

则，故为定值.