章末检测卷(一)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.给出下列四个关系式：①∈R；②Z∈Q；③0∈；④⊆{0}，其中正确的个数是(　　)

A.1    B.2 

C.3   D.4

答案　B

解析　①④正确；

对于②，Z与Q的关系是集合间的包含关系，不是元素与集合的关系；

对于③，是不含任何元素的集合，故0∉.

2.已知命题p：“某班所有的男生都爱踢足球”，则命题綈p为(　　)

A.某班至多有一个男生爱踢足球

B.某班至少有一个男生不爱踢足球

C.某班所有的男生都不爱踢足球

D.某班所有的女生都爱踢足球

答案　B

解析　命题p：“某班所有的男生都爱踢足球”是一个全称量词命题，它的否定是一个存在量词命题，即命题綈p为“某班至少有一个男生不爱踢足球”.

3.已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　　)

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分又不必要条件

答案　B

解析　∵a＝3⇒A⊆B，而A⊆Ba＝3，

∴“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件.

4.已知M＝{y∈R|y＝|x|}，N＝{x∈R|x＝m2}，则下列关系中正确的是(　　)

A.MN   B.M＝N 

C.M≠N   D.NM

答案　B

解析　∵M＝{y∈R|y＝|x|}＝{y∈R|y≥0}，N＝{x∈R|x＝m2}＝{x∈R|x≥0}，

∴M＝N.

5.已知全集U＝R，M＝{x|x<－1}，N＝{x|－2<x<0}，则图中阴影部分表示的集合是(　　)

A.{x|－1≤x<0}

B.{x|－1<x<0}

C.{x|－2<x<－1}

D.{x|x<－1}

答案　A

解析　题图中阴影部分为N∩(∁UM)，

∵M＝{x|x<－1}，∴∁UM＝{x|x≥－1}.

又N＝{x|－2<x<0}，

∴N∩(∁UM)＝{x|－1≤x<0}.

6.命题p：ax2＋2x＋1＝0有实数根，若綈p是假命题，则实数a的取值范围为(　　)

A.{a|a<1}   B.{a|a≤1}

C.{a|a>1}   D.{a|a≥1}

答案　B

解析　因为綈p是假命题，所以p为真命题，即方程ax2＋2x＋1＝0有实数根.

当a＝0时，方程为2x＋1＝0，x＝－，满足条件.

当a≠0时，若使方程ax2＋2x＋1＝0有实数根，

则Δ＝4－4a≥0，即a≤1.

7.已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且y＝x2}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且y＝1－x}，则A∩B的元素个数为(　　)

A.无数个   B.3 

C.2   D.1

答案　C

解析　联立消去y得x2＋x－1＝0，

∵Δ＝12－4×(－1)×1＝5>0，

∴方程x2＋x－1＝0有2个不同的实数解，

∴方程组有2组解，∴A∩B的元素有2个.

8.已知对于实数a，α：a>1或a<－1，β：关于x的方程x2－ax＋1＝0有实数根，则α是β成立的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案　B

解析　α：a>1或a<－1，

β：若关于x的方程x2－ax＋1＝0有实数根，

则判别式Δ＝a2－4≥0，得a≥2或a≤－2，

∵{a|a≥2或a≤－2}{a|a>1或a<－1}，

∴α是β成立的必要不充分条件.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的不得分)

9.设集合S＝{x|－2≤x≤8}，T＝{x|0<x<4}，若集合P⊆(∁RT)∩S，则P可以是(　　)

A.{x|－2≤x≤0}   B.{x|5≤x≤7}

C.{x|－2≤x≤8}   D.{x|1≤x≤5}

答案　AB

解析　(∁RT)∩S＝{x|－2≤x≤0或4≤x≤8}.

由P⊆(∁RT)∩S，知P可以为{x|－2≤x≤0}或{x|5≤x≤7}.

10.设全集为U，在下列选项中，是B⊆A的充要条件的有(　　)

A.A∪B＝B   B.(∁UA)∩B＝

C.(∁UA)⊆(∁UB)   D.A∪(∁UB)＝U

答案　BCD

解析　由Venn图可知，B，C，D都是充要条件，故选BCD.

11.设集合A＝{x|a－1<x<a＋1，x∈R}，B＝{x|1<x<5，x∈R}，则下列选项中，满足A∩B＝的实数a的取值范围可以是(　　)

A.{a|0≤a≤6}   B.{a|a≤2或a≥4}

C.{a|a≤0}   D.{a|a≥8}

答案　CD

解析　A＝{x|a－1<x<a＋1，x∈R}，B＝{x|1<x<5，x∈R}，

又因为A∩B＝，

所以a＋1≤1或a－1≥5，

即{a|a≤0或a≥6}，故选CD.

12.若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，则实数a的值为(　　)

A.2   B.－

C.   D.3

答案　BC

解析　由x2＋x－6＝0，可得x＝2或x＝－3.

对于ax＋1＝0，当a＝0时，方程无解；

当a≠0时，x＝－.

由题意知pq，q⇒p，则可得a≠0.

此时应有－＝2或－＝－3，

解得a＝－或a＝.

综上可得，a＝－或a＝.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)

13.命题：存在一个实数对(x，y)，使2x＋3y＋3<0成立的否定是____________________________________.

答案　对任意实数对(x，y)，2x＋3y＋3≥0恒成立

解析　存在量词命题的否定是全称量词命题.

14.若全集U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则(∁UA)∩B＝________，∁U(A∪B)＝________(本题第一空2分，第二空3分).

答案　{6}　{2，4，8}

解析　因为U＝{n|n是小于9的正整数}，所以U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，则A＝{1，3，5，7}，B＝{3，6}.

所以∁UA＝{2，4，6，8}，A∪B＝{1，3，5，6，7}.

所以(∁UA)∩B＝{6}，∁U(A∪B)＝{2，4，8}.

15.设集合S＝{x|x>5或x<－1}，T＝{x|a<x<a＋8}，S∪T＝R，则a的取值范围是________.

答案　{a|－3<a<－1}

解析　借助数轴可知∴－3<a<－1.

16.设a，b为正数，则“a－b>1”是“a2－b2>1”的________条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要” )

答案　充分不必要

解析　因为a－b>1，即a>b＋1，

又a，b为正数，所以a2>(b＋1)2＝b2＋1＋2b>b2＋1，即a2－b2>1成立；

反之，当a＝，b＝1时，满足a2－b2>1，但a－b>1不成立.

所以“a－b>1”是“a2－b2>1”的充分不必要条件.

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)设全集U＝R，已知集合A＝{1，2}，B＝{x|0≤x≤3}，集合C为不等式组的解集.

(1)写出集合A的所有子集；

(2)求∁UB和B∪C.

解　(1)A的所有子集为，{1}，{2}，{1，2}.

(2)C＝{x|－1≤x≤2}，∁UB＝{x|x<0或x>3}，

B∪C＝{x|－1≤x≤3}.

18.(12分)用符号“∀”与“∃”表示下面含有量词的命题，并判断真假.

(1)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0恰有唯一解；

(2)存在实数x，使得＝2.

解　(1)∀a∈R，b∈R，方程ax＋b＝0恰有唯一解，假命题.

当a＝0，b＝1时无解.

(2)∃x∈R，使得＝2，假命题.

∵|x＋1|＋1≥1，

∴≤1.

∴不存在x∈R，使得＝2.

19.(12分)已知集合A＝{x|x2－ax＋3＝0，a∈R}.

(1)若1∈A，求实数a的值；

(2)若集合B＝{x|2x2－bx＋b＝0，b∈R}，且A∩B＝{3}，求A∪B.

解　(1)∵1∈A，∴1－a＋3＝0，∴a＝4.

(2)∵A∩B＝{3}，∴3∈A，3∈B，

∴解得

∴A＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}，

B＝{x|2x2－9x＋9＝0}＝；

∴A∪B＝.

20.(12分)求证：方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是－<m<0.

证明　(1)充分性：∵－<m<0，

∴方程x2－2x－3m＝0的判别式Δ＝4＋12m>0，且－3m>0，

∴方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根.

(2)必要性：若方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根，

则有解得－<m<0.

综合(1)(2)知，方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是－<m<0.

21.(12分)已知集合A＝{x|－3<x<2}，B＝{x|0≤x<5}，C＝{x|x<m}，全集为R.

(1)求A∩(∁RB)；

(2)若(A∪B)⊆C，求实数m的取值范围.

解　(1)由B＝{x|0≤x<5}，得∁RB＝{x|x<0或x≥5}.

又A＝{x|－3<x<2}，

∴A∩(∁RB)＝{x|－3<x<0}.

(2)∵A∪B＝{x|－3<x<5}，(A∪B)⊆{x|x<m}，

∴m≥5，

∴实数m的取值范围为{m|m≥5}.

22.(12分)已知p：x－2>0，q：ax－4>0，其中a∈R.

(1)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；

(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

解　(1)设命题p：A＝{x|x－2>0}，即p：A＝{x|x>2}，命题q：B＝{x|ax－4>0}，

因为p是q的充分不必要条件，所以AB，

即解得a>2.

所以实数a的取值范围为{a|a>2}.

(2)由题意得BA.

①当a＝0时，B＝，满足题意；

②当a>0时，由BA，得>2，即0<a<2；

③当a<0时，显然不满足题意.

综合①②③得，实数a的取值范围为{a|0≤a<2}.