高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）习题课件ppt

章末检测卷(二)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.设a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，则下列结论中正确的是(　　)

A.ac>bd   B.a－c>b－d

C.a＋c>b＋d   D.>

答案　C

解析　∵a>b，c>d，∴a＋c>b＋d.

2.不等式－x2－5x＋6≥0的解集为(　　)

A.{x|－6≤x≤1}

B.{x|2≤x≤3}

C.{x|x≥3，或x≤2}

D.{x|x≥1，或x≤－6}

答案　A

解析　－x2－5x＋6≥0⇔x2＋5x－6≤0，

∴(x＋6)(x－1)≤0，解之得－6≤x≤1.

3.已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集是{x|－1<x<2}，则a＋b的值为(　　)

A.1   B.－1 

C.0   D.－2

答案　C

解析　易知⇒

∴a＋b＝0.

4.若a<b<0，下列不等式中成立的是(　　)

A.<1   B.<

C.|a|>－b   D.b2>a2

答案　C

解析　若a<b<0，

对于A，－1＝>0，所以>1，故A不成立；

对于B，－＝>0，所以>，故B不成立；

对于C，因为a<b<0，所以－a＝|a|>－b，所以|a|>－b，故C成立；

对于D，由－a>－b>0，所以(－a)2>(－b)2，即a2>b2，故D不成立.

5.已知a>0，b>0，且满足＋＝1，则ab的最大值是(　　)

A.2   B.3 

C.4   D.6

答案　B

解析　因为a>0，b>0，且满足＋＝1，

所以1≥2，化为ab≤3，

当且仅当a＝，b＝2时取等号，

则ab的最大值是3.

6.若规定＝ad－bc，则不等式0<<2的解是(　　)

A.{x|－1<x<1}

B.{x|－<x<}

C.{x|1<x<}

D.{x|－<x<－1或1<x<}

答案　D

解析　因为＝ad－bc，

所以＝3－x2，

所以0<3－x2<2，即1<x2<3，

解得1<x<或－<x<－1.

7.在R上定义运算：x⊗y＝x(1－y)，若∃x∈R使得(x－a)⊗(x＋a)>1成立，则实数a的取值范围是(　　)

A.a<－或a>

B.－<a<

C.－<a<

D.a<－或a>

答案　A

解析　由题意知(x－a)⊗(x＋a)

＝(x－a)[1－(x＋a)]＝－x2＋x＋a2－a

＝－＋a2－a＋，

若∃x∈R，使得不等式(x－a)⊗(x＋a)>1 成立，

则需函数y＝－＋a2－a＋的最大值大于1，

即x＝时，y＝a2－a＋>1成立，

解得a<－ 或a>.

8.若a>0，b>0，与不等式－b<<a等价的是(　　)

A.－<x<0或0<x<

B.－<x<

C.x<－或x>

D.x<－或x>

答案　D

解析　若x>0，则不等式－b<<a等价为<a，即x>，

若x<0，则不等式－b<<a等价为－b<，即x<－.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的不得分)

9.若<<0，则下列不等式中，正确的是(　　)

A.a＋b<ab   B.|a|>|b|

C.a<b   D.＋>2

答案　AD

解析　 ∵<<0，∴b<a<0，

∴a＋b<0<ab，|a|<|b|.

∵>0，>0，a>b，

∴＋>2＝2.

10.已知a>0，b>0，则下列不等式中成立的是(　　)

A.a＋b＋≥2

B.(a＋b)≥4

C.≥2

D.>

答案　ABC

解析　a＋b＋≥2＋≥2，

当且仅当a＝b＝时，等号成立，A成立；

(a＋b)≥2·2＝4，

当且仅当a＝b时，等号成立，B成立；

∵a2＋b2≥2ab>0，

∴≥2，

当且仅当a＝b时，等号成立，C成立；

∵a＋b≥2，a>0，b>0，

∴≤1，≤，

当且仅当a＝b时，等号成立，D不成立.

11.下列说法正确的是(　　)

A.x＋(x>0)的最小值是2

B.的最小值是

C.的最小值是2

D.2－3x－的最大值是2－4

答案　AB

解析　由基本不等式可知，x>0时，x＋≥2，当且仅当x＝即x＝1时取等号，故A正确；

＝≥，当x＝0时取得等号，故B正确；

＝＋≥2，当且仅当＝，即x2＋4＝1，显然无实根，不成立，故C错误；

2－在x<0时，没有最大值，故D错误.

12.已知函数y＝x2＋ax＋b(a>0)有且只有一个零点，则(　　)

A.a2－b2≤4

B.a2＋≤4

C.若不等式x2＋ax－b<0的解集为{x|x1<x<x2}，则x1x2>0

D.若不等式x2＋ax＋b<c的解集为{x|1<x<3}，则c＝1

答案　AD

解析　因为y＝x2＋ax＋b(a>0)有且只有一个零点.

故可得Δ＝a2－4b＝0，即a2＝4b>0.

a2－b2≤4等价于b2－4b＋4≥0，显然(b－2)2≥0，故A正确.

a2＋＝4b＋≥2＝4，故B错误.

因为不等式x2＋ax－b<0的解集为{x|x1<x<x2}，

故可得x1x2＝－b<0，故C错误.

因为不等式x2＋ax＋b<c的解集为{x|1<x<3}，

所以实数1与3是方程x2＋ax＋b－c＝0的两根，

所以－a＝1＋3＝4，则a＝－4，从而b＝4.

又b－c＝1×3＝3，所以c＝b－3＝1，故D正确.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)

13.一元二次不等式x2＋ax＋b>0的解集为{x|x<－3或x>1}，则ab＝________，一元一次不等式ax＋b<0的解集为________(第一空2分，第二空3分).

答案　　

解析　由题意知，－3和1是方程x2＋ax＋b＝0的两根，

所以解得

故ab＝.

不等式ax＋b<0即为2x－3<0，

所以x<.

14.已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝________.

答案　3

解析　y＝x－4＋＝(x＋1)＋－5，

因为x>－1，所以x＋1>0，

所以y≥2－5＝2×3－5＝1，

当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立，

此时a＝2，b＝1，则a＋b＝3.

15.若不等式ax2＋2ax－1<0的解集为R，则a的取值范围是________.

答案　{a|－1<a≤0}

解析　当a＝0时，不等式ax2＋2ax－1<0化为－1<0，解集为R；

当a≠0时，不等式ax2＋2ax－1<0解集为R时，

应满足

解得－1<a<0.

综上，实数a的取值范围是－1<a≤0.

16.某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系(二次函数的图象如图所示)，则每辆客车营运________年时，年平均利润最大.

答案　5

解析　二次函数顶点为(6，11)，

设为y＝a(x－6)2＋11，

代入(4，7)得a＝－1，

∴y＝－x2＋12x－25，

年平均利润为＝

＝－＋12≤－2 ＋12＝2，

当且仅当x＝，即x＝5时等号成立.

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)当x>3时，求的最小值.

解　∵x>3，∴x－3>0.

∴＝

＝2(x－3)＋＋12

≥2＋12＝24.

当且仅当2(x－3)＝，

即x＝6时，上式等号成立，

∴的最小值为24.

18.(12分)若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3<x<1}.

(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；

(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R.

解　(1)由题意知1－a<0且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，

∴解得a＝3.

∴不等式2x2＋(2－a)x－a>0，

即为2x2－x－3>0，解得x<－1或x>.

∴所求不等式的解集为.

(2)ax2＋bx＋3≥0，即为3x2＋bx＋3≥0，

若此不等式的解集为R，则b2－4×3×3≤0，

∴－6≤b≤6.

19.(12分)设a>0，b>0且a≠b，试证明＋>a＋b.

证明　∵－(a＋b)

＝－b＋－a

＝＋＝(a2－b2)

＝(a2－b2)＝.

又a>0，b>0，a≠b，

∴(a－b)2>0，a＋b>0，ab>0，

∴－(a＋b)>0，

∴＋>a＋b.

20.(12分)已知二次函数y＝x2－2tx＋t2－1(t∈R).

(1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式x2－2tx＋t2－1≥0；

(2)若关于x的方程x2－2tx＋t2－1＝0的两个实数根均大于－2且小于4，求实数t的取值范围.

解　(1)∵二次函数y＝x2－2tx＋t2－1有两个互为相反数的零点，

∴方程x2－2tx＋t2－1＝0有两个互为相反数的实数根，

设为x1，x2，∴x1＋x2＝0.

由根与系数的关系可得，

x1＋x2＝2t＝0，解得t＝0.

∵x2－2tx＋t2－1≥0，

∴x2－1≥0，解得x≥1或x≤－1.

∴该不等式的解集为{x|x≥1或x≤－1}.

(2)∵Δ＝(－2t)2－4(t2－1)＝4t2－4t2＋4＝4>0，

∴∀t∈R，该方程总有两个不相等的实数根.

∵方程的两个实数根均大于－2且小于4，

∴解得－1<t<3.

∴实数t的取值范围是{t|－1<t<3}.

21.(12分)某建筑队在一块长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地块AMPN上施工，规划建设占地如图中矩形ABCD的学生公寓，要求顶点C在地块的对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，假设AB长度为x米.

(1)要使矩形学生公寓ABCD的面积不小于144平方米，AB的长度应在什么范围？

(2)长度AB和宽度AD分别为多少米时矩形学生公寓ABCD的面积最大？最大值是多少平方米？

解　(1)依题意知△NDC∽△NAM，所以＝，

即＝，则AD＝20－x.

故矩形ABCD的面积为S＝20x－x2.

根据条件0<x<30，要使学生公寓ABCD的面积不小于144平方米，

即S＝20x－x2≥144，化简得x2－30x＋216≤0，

解得12≤x≤18.

故AB的长度应在12米～18米内.

(2)S＝20x－x2＝x(30－x)

≤＝150，

当且仅当x＝30－x，即x＝15时，等号成立.

此时AD＝20－x＝10.

故AB＝15米，AD＝10米时，学生公寓ABCD的面积最大，最大值是150平方米.

22.(12分)(1)对任意－1≤x≤1，函数y＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于0，求a的取值范围.

(2)不等式x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，求实数λ的取值范围.

解　(1)∵x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，

即x2＋ax－4x＋4－2a>0恒成立.

∴(x－2)·a>－x2＋4x－4.

∵－1≤x≤1，∴x－2<0.

∴a<＝＝2－x.

令y＝2－x，则当－1≤x≤1时，y的最小值为1，∴a<1.

故a的取值范围为{a|a<1}.

(2)因为x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，

所以x2＋8y2－λy(x＋y)≥0对于任意的x，y∈R恒成立，

即x2－λyx＋(8－λ)y2≥0恒成立，

由二次不等式的性质可得，

Δ＝λ2y2＋4(λ－8)y2＝y2(λ2＋4λ－32)≤0，

所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.

故实数λ的取值范围为{λ|－8≤λ≤4}.